Große Zahlen im SPIEGEL

Von Thilo / 30. Januar 2016 / 31 Kommentare

Im neuen Spiegel findet sich die folgende erstaunliche Meldung (in der Online-Ausgabe, ich habe noch nicht gesehen, ob es in der gedruckten Fassung genauso aussieht):

Man muß wohl kein Mathematiker sein um zu erkennen, dass es für die Anordnung von mehr als hundert Bällen nicht nur zehntausend Möglichkeiten geben wird. Bekanntlich ist schon 70! so groß, dass es ein mit hundert Stellen arbeitender Taschenrechner nicht mehr anzeigen kann.

Gemeint ist natürlich 10²⁵⁰.

Was genau in der zitierten Arbeit Turning intractable counting into sampling nun eigentlich berechnet wird, habe ich aus deren Abstrakt jedenfalls nicht verstanden (und auf die Arbeit habe ich keinen Zugriff). 10²⁵⁰ könnte ungefähr in der Größenordnung von 128! liegen, aber das wären ja dann die Anordnungen auf einer Geraden und nicht die viel zahlreicheren im 3-dimensionalen Raum. (Oder hat man ein vorgegebenes Stück Raum, wohinein genau 128 Bälle passen? Dann wäre 128! natürlich korrekt.) Aber laut Abstrakt geht es ja eigentlich um die Berechnung der Konfigurationsentropie als Funktion des Drucks….

Kommentare (31)

#1 Joseph Kuhn
30. Januar 2016

In der gedruckten Fassung ist es korrekt, als Potenz.
#2 kdm
30. Januar 2016

Steht doch korrekt im “Kleingedruckten” direkt unter der nur etwas falsch getippten Zahl = Das ist eine Zahl [nämlich 10] mit 250 Nullen.
#3 rolak
30. Januar 2016

Tja, früher hatte man beim Spiegel noch richtiges Format ;‑)

könnte ungefähr in der Größenordnung von 128! liegen

Wollt grad sagen ‘Dafür gibts doch Wolfram AmaGeo Mathealpha‘, doch das ging in die Hose: Nach längerem Favicon-animierten Warten erschien “This Wolfram|Alpha server is temporarily unavailable” evtl als leichte Andeutung für SamstagsNie, gefolgt von “Click here to try another server” was eine blanke Lüge war, weil falsch verlinkt.
#4 kdm
30. Januar 2016

Musik: Ich rätsel seit Jahren (bin kein Rechengenie) wie viele Möglichkeiten der Tonsetzung es gibt bei 12 verschiedenen Tönen (ohne Berücksichtigung von Rhythmik, Stimmung., Klangfarbe, etc. Nur 12 verschiedene Töne. A la “Zwölftonmusik”). In der vergangenheit hatte ich drei (leider verschiedene) Antworten bekommen. Vielleicht kann man das hier für mich endlich (und auch für mich Laien nachvollziehbar) auflösen?
#5 MartinB
30. Januar 2016

@kdm
Du meinst, du hast 12 Töne und fragst dich, wie viele Melodien du damit erzeugen kannst?
Das ist eigentlich einfach: Mit einem Ton 12, für den zweiten Ton nochmal 12, also 12*12=12²=144, für Melodien mit 3 Tönen 12*12*12=12^3=1738 usw.
Oder hab ich die Frage falsch verstanden?
#6 Herr Senf
30. Januar 2016

Nur, die hören sich alle nicht schön an, oder bist du auch so unmusikalisch wie ich.
Aber wie kann man mit einem Ton 12 verschiedene Melodien machen?
Bei mir, der nicht eine Note singen kann bzw trifft, macht es da nur tuuuuuuut.
#7 rolak
30. Januar 2016

Melodien mit 3 Tönen 12*12*12=12^3=1738 usw.
(..)
alle nicht schön

Du hast das ‘usw.’ übersehen, ne, Herr Senf? Falls Du auch schon alle Dreier durch haben solltest, nicht verzagen! Irgendwo in den Vierern ist auch diese Tonfolge untergebracht, die sich bis jetzt circa über fantastilliardenmal verkauft hat. An der muß doch was dran sein…
#8 Engywuck
30. Januar 2016

Zwölftonmusik hat nach Schönberg die Eigenschaft, dass in einer Reihe von zwölf Tönen keiner wiederholt wird. Damit gibt es dort “nur” 12! “Zwölferreihen” (ohne Berücksichtigung von Oktaven etc.), also “nur” 479 Millionen. Wobei auf eine Zwölferreihe eine andere folgen kann, bei n=12*N Tönen also (12!)^n/12 Möglichkeiten (was kleiner ist als 12^n).
—
Anders ausgedrückt: mathematisch gibt es enorm viele Tonfolgen (speziell wenn Wiederholungen erlaubt sind, siehe “Alle meine Entchen”). Lange nicht alles davon geht unserem (mitteleuropäischen?) Gehör als “Melodie” durch. Zusätzlich erscheinen aus dieser immer noch ernomen Menge viele “melodische Tonfolgen) uns als (quasi) identisch, und davon wiederum nur eine “quasi Handvoll” als “richtig gute” Melodie. Wieviele das nun sind ist rein mathematisch schwer abzusschätzen, hier müsste inderdisziplinär geforscht werden, die Mathematik kann nur Obergrenzen angeben.

Juristisch interessant wird das Ganze, weil m.W. alles was ein “erkennbarer Ausschnitt” ist als Plagiat durchgeht – und das kann schon eine Handvoll Töne sein. Der “Westminsterschlag” von Glockentürmen besteht beispielsweise aus vier Tönen – eine von nur etwa 20736(=12^4) Möglichkeiten ohne Oktavsprünge aber inklusive Halbtöne. Da viele dieser Möglichkeiten dissonant klingen bleiben real noch viel weniger übrig – und damit die Wahrscheinlichkeit, ohne jedes Vorwissen diese (oder andere “bekannte”) Viertonfolge(n) zu wiederholen.
#9 miwi
30. Januar 2016

128! ist, sagt https://www.wolframalpha.com/input/?i=128+factorial , “nur” etwa 3,86*10^215.
#10 rolak
30. Januar 2016

sagt https://www.wolfram

Ah, da hat der Sever sein Nickerchen doch tatsächlich schon beendet…
#11 i
Irgendwo in Ö.
30. Januar 2016

Kennt die Sekretärin die Potenzschreibweise nicht, dann passieren halt solche Fehler. Hat man wirklich nur eine Zeile zur Verfügung, so kann man auch 10^250 schreiben.
#12 rolak
30. Januar 2016

kann man auch 10^250 schreiben

Das wurde da sicherlich auch eingetippt, i, doch diverse BeschreibungsFormat- und ZeichensatzFilter lassen ein einzelnes ‘^’ gerne mal unter den Tisch fallen. Das Erscheinungsbild ein und desselben Textes kann nach Publikationsweg A durchaus von dem nach Publikationsweg B abweichen, trotz einiger Etappensiege ist ‘device independent’ immer noch das Ziel, nicht allgemeine Realität.
#13 Alex
30. Januar 2016

Nein, kleiner Sexist, das hat nichts mit der “Sekretärin” zu tun. Die Daten aus dem Print-Spiegel werden automatisch für die App konvertiert ohne dass nochmal eine Schlussredaktion drüberschaut. Und weil InCopy (und welches Redaktionssystem auch immer inzwischen beim Spiegel eingesetzt wird) oft Darstellungsprobleme mit hochgestelltem Text hat, wird da manuell im Layout nachgeholfen – sprich das 250 wird zum Beispiel mit kleinerem Schriftgrad manuell hochgestellt. Solche Formatierungen gehen beim Umwandeln für die App leider leicht verloren.
#14 kdm
31. Januar 2016

Ich bemerke: ich bin nicht allein mit dem Problemchen.
Es geht auch nicht um “Schönheit”, Plagiate und Wiederholungen, nein. Nur pure Mathe.
.
Dann neh’m ich mal besser keine (offenbar emotional belegte) “Töne” sondern Steinchen, Hölzchen, Murmeln, irgendwas, von mir aus auch zwöl “Bälle, die man auf wieviele Arten im Raum verteilen kann”; die Frage ist dieselbe: Wieviel Möglichkeiten einer Anordnung gibt’s bei 12 Stück (egal, ob man nur zwei nimmt, oder 7 oder alle 12… = wieviel (Millionen wahrscheinlich) sind’s insgesamt?
PS: Wenig anfangen kann ich Laie mit solch’ sicher nett gemeinter Auskunft: “bei n=12*N Tönen also (12!)^n/12 Möglichkeiten (was kleiner ist als 12^n)”
.
Anfangs ging es mir um die oft gehörte Aussage: Es gibt keine neuen Melodien mehr, weil ja alles schon durchgespielt ist, denn schließlich gäbe es ja “nur” 12 Töne. Ein befreundeter Informatiker hat mir dann mal eine Formel gegeben, und danach kam ich auf über neun Milliarden Möglichkeiten… Ein anderer, auch Informatiker, sagte mir wieder eine ganz andere Formel und Zahl…
Und deshalb hier die Frage.
#15 kdm
31. Januar 2016

Ich glaube, Martin B. ist auf dem vernünftigsten Weg.
Aber wieviel sind’s nun?
#16 kdm
31. Januar 2016

…obwohl: “mit einem Ton 12, für den zweiten Ton nochmal 12, ..” scheint mir abwegig.
Mit einem Ton = eine “Melodie” aber doch nicht zwölf(!?) Und mit einem zweiten Ton zusätzlich sind’s dann schon: vier (nur den ersten, nur den zweiten, beide 1+2, und 2+1).
#17 Herr Senf
31. Januar 2016

Eine Melodie ist abstrakt nur eine Abfolge von Intervallen.
Ich nehme zwei unterscheidbare Töne a und b und mache wieviel Melodien?
aaabbbaaa oder ababab oder bbbbbba oder usw, wie lang soll/darf sie sein.
#18 Karl Mistelberger
31. Januar 2016

> Gemeint ist natürlich 10250.

Diese Zeile ist durch einen stinknormales Copy&Paste von ganz oben nach hier transportiert worden.

Der Vorgang kann alternativ auch (wie es rolak getan hat) so wiedergeben:

“Das wurde da sicherlich auch eingetippt, i, doch diverse BeschreibungsFormat- und ZeichensatzFilter lassen ein einzelnes ‘^’ gerne mal unter den Tisch fallen. Das Erscheinungsbild ein und desselben Textes kann nach Publikationsweg A durchaus von dem nach Publikationsweg B abweichen, trotz einiger Etappensiege ist ‘device independent’ immer noch das Ziel, nicht allgemeine Realität.”

Das Volk der Dichter und Denker ist auch im Fabulieren Spitze.
#19 Karl Mistelberger
31. Januar 2016

Und weil es vom Computer kommt steht da heute, am Samstag, den 30 Januar 2016 über dem Kommentar das Erstellungsdatum 31. Januar 2016
#20 FirstQuant
31. Januar 2016

@kdm:
Ich verstehe deine Frage so: Du hast alle zwölf Töne vorliegen und darfst jeden einmal benutzen, musst es aber nicht. Dan hast du die Möglichkeiten:
1 Ton = 12 Möglichkeiten (Es gibt zwölf verschiedene “Melodien”, die aus einem Ton bestehen)
2 Töne = 11 Möglichkeiten dazu, also 12*11 Möglichkeiten
Jetzt sind wir schon bei 12+12*11. Das Muster müsste sich jetzt eigentlich fortpflanzen: 12+12*11+12*11*10+…+12!
(Das 12! bedeutet 12 Fakultät, also 12 mal 11 mal 10 usw. bis zur 1)
Ich bin auch kein Experte, aber wenn ich alles richtig gerechnet habe, komme ich auf den Wert 1.302.061.344, also etwas über eine Milliarde Möglichkeiten.
#21 wereatheist
31. Januar 2016

@MartinB, #5:

Mit einem Ton 12, für den zweiten Ton nochmal 12, also 12*12=12²=144

Mit einer Note gibt es natürlich (danke @Herr Senf) genau eine Melodie (höher/tiefer setzen gilt nicht).
Mit 2 Noten, wenn maximal eine Oktave als Intervall erlaubt ist, sind es 25 ‘Melodien’.
Eingängige Melodien, die ich noch mitbrummen kann, schöpfen insgesamt maximal eine komplette Oktave aus, das gibt dann 13 Möglichkeiten für das 2. Intervall (und alle folgenden), also 325 ‘Melodien’, von denen einige schon ‘transponiert’ sind 🙂
#22 user unknown
https://demystifikation.wordpress.com/2016/01/11/tausend-pimmel-gemaechte/
31. Januar 2016

Meines Wissens war die Idee der 12-Tonmusik, dass alle Noten gleichberechtigt auftreten sollen. Dazu ersann Schönberg ein strenges Regelwerk, so dass Melodien aus weniger als 12 Tönen schlicht ausgeschlossen werden. Die Lösung lautet also erst mal 12!.

Dass das nicht alles schöne Melodien sind ist kein Ausschlusskriterium, sondern konstitutiv für die 12-Tonmusik. Schöne Melodien sind Dur- und Molltonleitern mit je 8 Tönen, wo sporadisch, des Effekts wegen, auch mal Tonleiterfremde Töne auftreten. Die Tonleiter liest man an der Partitur ab: Am Beginn der Notenlinien, vor dem ersten Takt, sind dazu Kreuze (#) und Behs (b) auf oder zwischen den Linien notiert, die angeben, welche Note um einen Halbton erhöht oder vermindert ist. Die angesprochenen Ausnahmen erkennt man daran, dass zwischen den Noten selbst individuell noch mal # oder b gesetzt sind, die dann nur für diesen einen Ton gelten.

Ganz ohne Vorzeichen hat man es mit C-Dur oder dem Molläquivalent a-Moll zu tun. Der Unterschied ergibt sich aus dem Grund- und Schlusston (meist, nicht zwingend) und den Dominaten Akkorden und Schritten, also der Reihenfolge und Gleichzeitigkeit, mit der aus dem Tonreservoir geschöpft wird.

Vor der 12-Tonmusik, aber auch im Pop, sind verschiedene Töne bevorzugt und das macht unsere Hörgewohnheiten aus. In C-Dur also v.a. das C, soweit ich weiß auch Terz, Quart und Quint (efg).

Da 12-Tonmusik oft länger als 12 Töne ist muss nach dem 12. dann jeder Ton erneut auftreten dürfen. Ob jede weitere Folge von 12 Tönen in sich wieder gerecht sein muss weiss ich nicht – ich glaube eher, dass über das ganze Stück die Töne gleich oft sein müssen, denn durch eine Folge die, sagen wir mit Cis, endet und eine weitere, die mit Cis beginnt, entsteht ja auch eine Ballung. Würde man in jeder Gruppe von 12 Tönen immer alle 12 finden müssen, so müsste man ja die erste Folge endlos wiederholen und könnte nur die Tonhöhe und Länge bzw. die Pausen variieren – in Wahrheit kenne ich mich damit überhaupt nicht aus, aber ich sehe: Die anderen noch viel weniger. 🙂

Wenn es harmonisch klingt, dann ist es jedenfalls keine 12-Tonmusik.
#23 Herr Senf
31. Januar 2016

Also daß ich als Matheallergiker mich mit großen Zahlen ärgern muß:
– ein mathematisches Gogol sind 10^100, das ist > 70!
– im sichtbaren Universum werden geschätzt 10^80 Protonen
– daraus kann man Atome machen und daraus Papier
– ein kurze Melodiefolge sei 120 Noten lang, kann man in <1 Minute klimpern
– dann gibt es uneingeschränkt mit 12 Noten 12^120 Liedchen
– das Papier im ganzen Universum reicht nicht, die aufzuschreiben

Und für mich als Musikallergiker hören die sich alle irgendwie gleich an.
#24 wereatheist
31. Januar 2016

Erklärung: 325 melodien bei 3 Noten mit 13 möglichen Halbtönen (volle Oktave) und Einschränkung des Tonraums auf eine Oktave.
#25 Sax
31. Januar 2016

Hintergrund ist hier die sogenannte Edwards Entropie. Ein Ansatz für eine statistische Beschreibung granularer Packungen. Die der ursprünglichen Version wurde postuliert das man davon ausgehen kann, das jede mechanisch stabile Konfiguration eines granulats gleich wahrscheinlich ist, wenn sie das selbe Volumen überdeckt. Dies würde eine direkte Analogie zum mikrokanonischen Ensemble in der normalen statistischen Mechanik darstellen in der das überdeckte Volumen die selbe Rolle spielt, wie die Energie in der normalen statistischen Physik. Mittlerweile gibt es diverse Varianten der Hypothese, z.b. das nicht das Volumen, sondern der Kraft Moment Tensor, der mit dem Druck zusammenhängt, die entscheidend Größe ist. Die Anzahl dieser Konfigurationen bestimmen zu können ist eine der offenen Fragen in diesem Gebiet. Exakt geht das nur mit sehr speziellen Modellen.
#26 Frank Wappler
https://being.not.quite.played.with.a.full.deck.of.cards
31. Januar 2016

Thilo schrieb (30. Januar 2016):
> Im neuen Spiegel findet sich die folgende erstaunliche Meldung […]

10250

> Gemeint ist natürlich [ $10^{250}$ ].

Irgendwie schade, dass nicht bestimmte noch (viel) größere Zahlen gemeint waren; wie z.B. ${}^52$ .

p.s.
Test der Kohärenz zwischen Kommentarvorschau und Kommentarveröffentlichung:
“10<sup>250</sup>” wird dargestellt als: 10250.
#27 Thilo
1. Februar 2016

@Sax: Sehr interessant. Kann man das irgendwo nachlesen?
#28 rolak
2. Februar 2016

Sehr interessant

Allerdings – die Wartschlange ist soeben um eine Stelle länger geworden.

Was mir grad einfällt: Auf den Bildchen zu der Arbeit sieht es mehr so aus, als würden Bälle in ‘einen Topf’ gefüllt – was dem ‘auf 128 Plätze verteilen’ ziemlich ähnlich zu sein scheint und somit die fakultative Abschätzung besser aussehen läßt.
#29 sax
2. Februar 2016

@Thilo

Aber klar, da geben ich zuerst mal mein eigenes Paper zu dem Thema an:
https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.92.052201
oder frei zugänglich hier:
https://arxiv.org/abs/1506.03288
(inhaltlich identisch, es ist der stand vor den proofs beim PRE).
Wir haben in dem paper eine relativ ausführliche Introduction geschrieben.

Hier ist noch ein Review Artikel zu dem Gebiet:
https://www.annualreviews.org/doi/pdf/10.1146/annurev-conmatphys-031214-014336
von dem gibt es auch eine arxiv Version:
https://arxiv.org/abs/1404.1854
aber die ist nicht auf dem Stand des letztlich erschienenen Artikels, der meiner Ansicht nach wesentlich besser ist als der auf arxiv zugängliche Entwurf.
#30 Große Zahlen: Millionen unserer Vorfahren – Mathlog
6. Februar 2016

[…] Wir greifen hier im Mathlog ja gelegentlich auf, wenn Medien oder Politiker mit großen Zahlen durcheinanderkommen, letzte Woche zum Beispiel die 10250 im SPIEGEL. […]
#31 Thilo
18. Dezember 2016

Ein ähnlicher Fehler in der Online-Ausgabe des neuen Hefts 51/2016:
7,5 x 10 27
Euro muss das Galaktische Imperium aus der “Star Wars”-Welt täglich bezahlen, um den Todesstern zu betreiben