Ramsey-Zahlen, Euler-Charakteristiken und das Stomachion.
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Der Eintrag bei der 1 zeigt den Graphen von f(x)=x^x, der sein Minimum in 1/e hat und für x->0 gegen 1 strebt, was man zum Beispiel mittels der Substitution x=1/n aus \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 oder auch aus \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0 herleiten kann.

Der Eintrag bei der 2 zeigt die Eulersche Polyederformel: für einen konvexen Polyeder mit V Ecken, E Kanten und F Flächen hat man V-E+F=2. Mit heutiger Mathematik läßt sich das so begründen, dass konvexe Polyeder homöomorph zur Sphäre sind und die Euler-Charakteristik der Sphäre 2 ist. Siehe TvF 4.

Der Eintrag bei der 3 bezieht sich auf das 1796 von Gauss bewiesene Eureka-Theorem, demzufolge sich jede natürliche Zahl als Summe dreier Dreieckszahlen zerlegen läßt, eine der vielen unbewiesenen Vermutungen von Pierre de Fermat.

Der vollständige Graph auf 5 Ecken (Bild unten) läßt sich nicht kreuzungsfrei in die Ebene einbetten, beweisen kann man das zum Beispiel mit der Euler-Charakteristik.

Den Sinus von pi/9 kann man im Prinzip mittels der trigonometrischen Identität sin(3x)=3sin(x)-4sin3(x) berechnen, mit der Lösungsformel für kubische Gleichungen erhält man sin(\frac{\pi}{9})=2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{i+\sqrt{3}}). Wie man daraus die Formel mit den vielen 8 bekommt… der Grenzwert der auf der linken Seite stehenden Folge ist eine Lösung von \sqrt{8-\sqrt{8+x}}=x , äquivalent von x^4-16x^2-x+56=0 und ich nehme mal an, dass sich dann durch Einsetzen die Gleichheit bestätigt (habe es aber nicht nachgerechnet).

Bei der 9 geht es um die fixpunktfreien Permutationen von 4 Elementen.

Die 14 zeigt das Stomachion, ein Puzzle, das sich auf sehr viele verschiedene Weisen zu einem Quadrat zusammensetzen läßt.

Eine Smith-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl, bei der die Summe ihrer Ziffern gleich der Summe aller Ziffern ihrer Primfaktoren ist. Nach der 4 ist die 22 die zweitkleinste.

Die verschiedenen Ramsey-Zahlen R(r,b) bei 6, 25, 28 sind jeweils die kleinsten Zahlen, so dass jeder vollständige Graph mit R(r,b) Knoten und blau/rot gefärbten Kanten entweder einen roten r-Teilgraphen oder einen blauen b-Teilgraphen enthält.

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Kommentare (8)

  1. #1 Gast
    19. Februar 2016

    Der Eulersche Polyedersatz lautet aber
    E+F = K+2 oder auch
    E+F-K =2

  2. #2 Thilo
    19. Februar 2016

    Das sind halt die englischen Abkurzungen im Kalender.

  3. #3 손님
    19. Februar 2016

    ☺ Smiley vergessen

  4. #4 Thilo
    20. Februar 2016

    Die koreanische Variante ist übrigens v-e+f, also mit Kleinbuchstaben: https://ko.wikipedia.org/wiki/오일러의_다면체_정리

  5. #5 Frank
    Bellem
    20. Februar 2016

    Liebe Freunde dieses Blogs.
    mein Kalenderblatt für den Februar 2016 sieht anders aus, d.h. andere mathematische Zusammenhänge.
    @ Thilo: Kann man ein Bild von meinem Kalender in einem Kommentar einfügen?
    Insgesamt finde ich alles von Thilos Foto vom Februar in meinem Kalender wieder, nur ein anderes Datum, es wiederholt (Von Thilo schon im Januar angemerkt.) sich vieles. Es ist aber auch schwierig, auf die Jahre gerechnet, immer was Neues, Monat für Monat und Jahr für Jahr, zwischen den Zahlen von 1 bis maximal 31 zu finden.
    LG Frank

  6. #6 Thilo
    20. Februar 2016

    Du kannst mir das Foto per Email schicken, dann verlinke ich es als Kommentar.

  7. #7 Thilo
    22. Februar 2016

    Hier die Bilder: imageimageimage

  8. #8 Thilo
    22. Februar 2016

    Hier nochmal in größerer Auflösung: imageimageimage