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KIAS-Kalender März 2016

Von / 22. März 2016 / 2 Kommentare
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Fourierreihen, Riemann Zeta und die Quaternionengruppe.
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Die Reihe bei der 2 sollte sich mit zweimaliger Partialbruchzerlegung berechnen lassen (siehe hier), der Eintrag bei der 3 (Bild unten) bezieht sich auf den Satz von Sarkovskii und der bei der 4 auf den 4-Farben-Satz.

Ed Pegg Jr. fand seinerzeit zahlreiche Dreieckszerlegungen, bei denen nicht nur die Seitenlänge des Dreiecks, sondern auch die Längen der teilenden Strecken jeweils ganze Zahlen sind. Eine Liste von Beispielen gibt es hier. Das Dreieck bei der 7 ist aber keines.

Die Quaternionengruppe Q8 besteht aus den 8 Einheitsquaternionen also \pm1,\pm i,\pm j,\pm k. Das Bild zeigt ihren Zykelgraphen: die Kreise entsprechen den 8 Gruppenelementen, die Zykel im Graphen bestehen aus den Potenzen jeweils eines Elements.

Der Satz von Pappus besagt dass für das Bild bei der 9 die drei in der Mitte liegenden Schnittpunkte wieder auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Die 12 ist die maximale Anzahl 3-dimensionaler Einheitskugeln, die eine weitere Einheitskugel berühren ohne dass Überschneidungen auftreten.

Die Gleichung bei der 17 ist eine Anwendung der Formel für zeta(4), die man z.B. mit Fourier-Reihenentwicklung beweisen kann.

Der Zauberwürfel kann aus jeder Position in höchstens 20 Zügen gelöst werden.

Bei der 26 geht es um die sogenannten minimalen Primzahlen, die keinen Substring haben, der selbst eine Primzahl ist. Daraus folgt dann, dass jede Primzahl eine dieser 26 Primzahlen als Substring enthält.

Wer Beweise zu 31 hat, möge sie als Kommentar posten.
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Kommentare (2)

  1. #1 Björn Sothmann
    Würzburg
    23. März 2016

    Zum Beweis bei 31 nutzt man aus, daß sich das Produkt über die Cosinusse umschreiben läßt in eine Summe von Cosinussen cos(p*x) wobei p gewisse Brüche sind, die sich durch Summation von 1, 1/2, 1/3 etc. mit beliebigen Vorzeichen ergeben.
    Wir müssen also das Integral sin(4x)/x*cos(p*x) berechnen (und dann später über die p summieren). Das Integral läßt sich mittels Laplace-Transformations-Trick erledigen (man schreibt den Integranden als Laplace-Trafo von sin(4x)*cos(p*x) und vertauscht dann die Integrationsreihenfolge) und man erhält pi/4(1+sign(4-p)). Solange p<4, überzeugt man sich leicht, daß alle auftretenden Terme den gleichen Beitrag liefern und sich am Ende zu pi/2 aufsummieren.

    Für N=31 ist die harmonische Zahl H_31 erstmals größer als 4 und dies ist genau das p in der obigen Summe, welches sich als der problematische Term erweist.

  2. #2 rolak
    23. März 2016

    Den 31er-Beweis würde ich sicherlich auch mit Genuß zu verstehen suchen ;‑)