Zur Geschichte der hyperbolischen Geometrie

Von Thilo / 27. April 2016 / 4 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen

Artikel zum Thema:
– On Lobachevsky’s trigonometric formulae
– On Klein’s so-called non-euclidean geometry
– On hyperbolic analogues of some classical theorems in spherical geometry
– Hyperbolic geometry in the work of Johann Heinrich Lambert

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Kommentare (4)

#1 Frank Wappler
https://www.google.de/?gws_rd=ssl#q=%22hypometric+space%22
27. April 2016

Thilo schrieb (27. April 2016):
> dass sich die Formeln der hyperbolischen Trigonometrie ergeben, wenn man in den Formeln der sphärischen Trigonometrie konsequent $x$ durch $x \sqrt{ -1 }$ ersetzt. […]

Sofern der Wechsel zwischen sphärischer und hyperbolischer Trigonometrie einem Vorzeichenwechsel der Gaußschen Krümmung (oder deren Verallgemeinerungen), $\kappa$ , entspricht,
ergibt sich die beschriebene “Ersetzung” dadurch,
dass (bzw. sofern) sich jedes betreffende Argument “ $x$ ” konsequent als “ $\sqrt{\kappa}~d$ ” ausdrücken lässt.
(Die entsprechenden Werte $d$ verstehen sich dann typischer weise als Distanzen.)

Die Formeln, in denen die Größe $\kappa$ so auftritt, hängen natürlich eng damit zusammen, wie deren Werte überhaupt Fall für Fall aus (gegebenen) Distanzen (oder Distanzverhältnissen) zu ermitteln sind (Stichwort: Kokkendorff).
#2 Frank Wappler
https://frisch.bezweifelt--ist.halb.betreut
29. April 2016

p.s. – Beispiel und Anschlussfrage:

Wie im vorausgegangenen Kommentar angedeutet, ist durch die (gegebenen) Distanzverhältnisse zwischen jeweils (mindestens) vier verschiedenen Punkten ein Wert ihrer (normierten) Krümmung $\kappa$ gegenüber einander festgelegt, für den nämlich die entsprechende Kokkendorff-Gram-Determinante ihrer (gegebenen) Distanzverhältnisse gleich Null ist.

Es scheint allerdings schwierig, die Größe $\kappa$ explizit als Funktion der gegebenen Distanzverhältnisse darzustellen (und ggf. sogar auszurechnen).

Um die vermeintlich einfachsten Fälle zu betrachten, seien die Distanzverhältnisse zwischen Punkten $A, B, P$ und $Q$ zum Beispiel so gegeben, dass

$\frac{\text{d}[~A, P~]}{\text{d}[~A, B~]} = \frac{\text{d}[~P, B~]}{\text{d}[~A, B~]} = \frac{\text{d}[~P, Q~]}{\text{d}[~A, B~]} = \frac{1}{2}$

und

$\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~Q, B~]} = 1$ .

(Durch diese Bedingungen und die entsprechend anwendbaren Dreiecksungleichungen wird das Distanzverhältnis $\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~A, P~]}$ auf den Wertebereich $1 … 2$ eingeschränkt.)

Das Verschwinden der entsprechenden Kokkendorff-Gram-Determinante führt dann auf

$\text{Cos}[~\sqrt{\kappa}~\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~A, P~]}~] = (\text{Cos}[~\sqrt{\kappa}~])^2$ ,

wobei sich $\kappa$ als normierte Krümmung versteht, d.h. bezogen auf Distanz $\text{d}[~A, P~]$ und mit Wert im Bereich der reellen Zahlen nicht größer als $(\pi / 2)^2$ .

Durch einfaches Umformen kann das Distanzverhältnis $\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~A, P~]}$ als Funktion der normierten Krümmung $\kappa$ ausgedrückt werden:

$\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~A, P~]} = \text{ArcCos}[~(\text{Cos}[~\sqrt{\kappa}~])^2~] / \sqrt{\kappa}.$

Diese Funktion von $\kappa$ , d.h. die rechte Seite der Gleichung, ist monoton (fallend) im relevanten Wertebereich. Folglich existiert auch eine entsprechende Umkehrfunktion, mit der sich die normalisierten Krümmung $\kappa$ aus dem gegebenen Wert $\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~A, P~]}$ ermitteln ließe.

Frage:
Lässt sich diese Umkehrfunktion explizit ausdrücken?
Ist eine Formel bekannt, um in den beschriebenen Beispielfällen den Wert der normierten Krümmung $\kappa$ aus einem gegebenen Wert des Distanzverhältnisses $\frac{\text{d}[~A, Q~]}{\text{d}[~A, P~]}$ zu berechnen?
#3 Thilo
30. April 2016

Ich verstehe nicht recht das Problem. Ânderung der Krümmung um einen Faktor k entspricht Änderung der Abstände um einen Faktor 1/Wurzel(k). Wenn man Abstände kennt, kann man also die Krümmung berechnen. (Wenn man denn schon weiß, dass die Krümmung konstant ist.) Das Verhältnis zweier Abstände wiederum ist unabhängig von der Krümmung.
#4 Frank Wappler
1. Mai 2016

Thilo schrieb (#3, 30. April 2016):
> Wenn man Abstände kennt, kann man also die Krümmung berechnen.

Dabei ist ja sicherlich von Interesse, wie solch eine Berechnung konkret auszuführen wäre
(nämlich offenbar, wie in den obigen Kommentaren skizziert, durch Null-Setzen der entsprechenden Kokkendorff-Gram-Determinante);
und insbesondere, wie viele Abstandswerte (paarweise zwischen wie vielen Punkten) dafür mindestens verrechnet werden müssten
(offenbar lassen sich schon für lediglich vier Punkte mit geeigneten Abstandsverhältnissen relevante Berechnungen ausführen).

> (Wenn man denn schon weiß, dass die Krümmung konstant ist.)

Aber auch wenn man das noch nicht wüsste, könnte man die besagten Berechnungen dennoch ausführen (d.h. separat insbesondere für alle Quadrupel von Punkten, die sich aus der eventuell zahlreicheren Menge aller gegebenen Punkte auswählen lassen).

Und um auf die Betrachtungen im obigen Artikel zurückzukommen:
offenbar könnte man die besagten Berechnungen sogar ausführen, ohne zu wissen, ob “das Vorzeichen” der Krümmung konstant ist; ohne “das Vorzeichen” der Krümmung Fall für Fall überhaupt zu kennen.

Und anhand der Resultate dieser Berechnungen ließe sich womöglich sogar herausfinden, ob die gegebene Menge von (mehr als vier) Punkten durch konstante Krümmung charakterisiert ist, oder nicht.

> Das Verhältnis zweier Abstände wiederum ist unabhängig von der Krümmung.

In anderen Worten:
nur drei gegebene Punkte, mit ihren drei Abständen (bzw. zwei unabhängigen Abstandsverhältnissen) untereinander, erlauben keine spezifische Aussage hinsichtlich deren Krümmung; nicht einmal hinsichtlich “des Vorzeichens”.
Vier oder mehr Punkte allerdings doch.

(Falls es einer Erklärung bedarf, warum ich die besagten Berechnungen lieber anhand von Abstandsverhältnissen und entsprechend hinsichtlich eines bestimmten Abstandes normierter Krümmung diskutiere, anstatt mit eigentlichen Abständen und Krümmung:
nicht zuletzt, um ausdrücklich mit reellen Zahlen rechnen zu können, anstatt mit eventuell Dimensions-behafteten Größen; so dass Abschätzungen wie $\kappa \le (\pi/2)^2$ aus dem Beispiel in Kommentar #2 gemacht werden können.)