Japanische Tempelkunst, Zerlegungen von Polygonen und Eulers verallgemeinerte Fermat-Vermutung im neuen Kalenderblatt.
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(Wie immer kann man die Bilder durch Anklicken vergrößern.)

Die 2 (im Bild oben) ist natürlich einfach die Summe einer geometrischen Reihe.

Sangakus sind Holztafeln mit geometrischen Rätseln, die zwischen dem 17. und 19. Jahrhundert oft in japanischen Tempeln aufgehängt wurden. Das bei der 4 (im Bild unten) abgebildete stammt aus dem Jahr 1824. Der allgemeine Zusammenhang für die Radien der drei Kreise ist \frac{1}{\sqrt{r_\text{Mitte}}} = \frac{1}{\sqrt{r_\text{links}}} + \frac{1}{\sqrt{r_\text{rechts}}} .

Bei der 5 scheint ein Fehler unterlaufen zu sein, jedenfalls ist mir nicht klar, was die blaue Fläche eigentlich sein soll. Sehr wahrscheinlich ist dieses Sangaku gemeint:
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das gibt es nämlich wirklich und die Lösung ist tatsächlich \frac{1}{5} .

Das Wortspiel bei der 6 soll wohl auf das trigonometrische Integral si(x) anspielen, dessen Definition aber eigentlich etwas anders geht, nämlich si(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

Der Achterknoten bei der 8 ist das einfachste Beispiel eines hyperbolischen Knotens und sein Komplement ist das einfachste Beispiel einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit.

Jede natürliche Zahl ist die Summe von 9 dritten Potenzen: das ist ein Spezialfall des Waringschen Problems und wurde erst Anfang des 20. Jahrhunderts bewiesen.

Joseph Malkevitch beschäftigte sich in einer 1969 veröffentlichten Arbeit mit der Frage, welche Polygone in gleichseitige Drei- und Vierecke zerlegt werden können. Das Bild bei der 11 zeigt eines der exotischeren Beispiele.

Beim Damenproblem sollen acht Damen auf dem Schachbrett sich nicht schlagen können. Man weiß schon seit dem 19. Jahrhundert, dass es genau 92 Lösungen gibt, diese lassen sich auf 12 “Fundamentallösungen” zurückführen.

Bei der 14 geht es um die Anzahl unterschiedlicher Triangulierungen des Sechsecks. Wir hatten in TvF 157 mal darüber geschrieben.

Bei der 16 geht es um die Formel, mit der man den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechnen kann.

Bei der 18 geht es um die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Man hat die zyklischen Gruppen, die alternierenden Gruppen und 16 Serien von Gruppen vom Lie-Typ, ausserdem noch einige sporadische Gruppen.

Bei der 19 geht es um den Ring {\mathbb Z}[\tfrac{-1+\sqrt{-3}}2] , also die Menge der komplexen Zahlen der Form a+b\tfrac{-1+\sqrt{-3}}2 mit ganzzahligen a,b. Der Ring {\mathbb Z}[\tfrac{-1+\sqrt{-3}}2] ist kein euklidischer Ring (der euklidische Algorithmus funktioniert nicht), aber trotzdem ein Hauptidealring (man hat in diesem Ring eine eindeutige Primfaktorzerlegung).

Bei der 21 geht es um die 4-uniform tilings (3:1).

23 ist die kleinste (ungerade) Primzahl, die nicht zu einem Primzahlzwilling gehört.

Bei der 27 geht es um Eulers Verallemeinerung der Fermat-Vermutung: sie besagte, dass die Summe von weniger als k k-ten Potenzen keine k-te Potenz sein kann, also \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k für n\le k-1 keine ganzzahligen Lösungen habe. Das angegebene Gegenbeispiel fanden Lander und Parkin erst 1966 mit einem CDC6600.

28 Ecken hat der Coxeter-Graph, einer von nur 13 kubischen distanz-regulären Graphen.

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Kommentare (8)

  1. #1 tomtoo
    20. August 2016

    @thilo
    ich wollte mal danke sagen.
    sangakus hab ich noch nie gehört.
    aber sind selbst für einen normalsterblichen wie mich greifbar.
    danke !

  2. #2 rolak
    20. August 2016

    nie gehört

    Das Ulkige ist ja, daß die wesentlich bekannteren Sudokus nicht nur nicht japanischen Ursprungs sind, sondern sich auch noch erst nach meiner Schulzeit entwickelt haben…

    Vom ´Üblichen´ war #16 neu für mich, bisher gabs nur KoordinatenDeterminanten für den Zweck – aber da käme ja keine 16 drin vor.

  3. #3 tomtoo
    20. August 2016

    wie du kennst nicht “sweet 16” ?

    entweder ich bekomme bald den ot preis oder hausverbot.
    🙁

  4. #4 tomtoo
    20. August 2016

    @rolak
    sry 😉

  5. #5 tomtoo
    20. August 2016

    @thilo
    der flächeninhalt eines allgemeinen dreiecks ist auch spannend ! hab aber von matrizen keinen plan. und wiki ist auch nicht wirklich hilfreich 🙁

  6. #6 Thilo
    21. August 2016

    Die Formel ist eine Variante des Satzes von Heron, die Herleitung findet man unter Formel (V4) in https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron

  7. #7 Frank Wappler
    http://free.wikipedia.now
    22. August 2016

    tomtoo schrieb (#5, 20. August 2016):
    > der flächeninhalt eines allgemeinen dreiecks ist auch spannend

    Die in der Formel auftretende Determinantenform nennt sich “Cayley-Menger-Determinante“.

    Spannend ist auch der Zusammenhang zwischen (bestimmten) Cayley-Menger-Determinanten und dem Grenzwert bestimmter Gramscher Determinanten für immer kleinere Werte des (Betrags des) Krümmungs-Parameters kappa.

    Wikipedia ist diesbezüglich aber leider (noch) nicht wirklich hilfreich …

  8. #8 Frank Wappler
    http://free.wikipedia.now
    22. August 2016

    tomtoo schrieb (#5, 20. August 2016):
    > der flächeninhalt eines allgemeinen dreiecks ist auch spannend

    Die in der Formel auftretende Determinantenform nennt sich “Cayley-Menger-Determinante“.

    Spannend ist auch der Zusammenhang zwischen (bestimmten) Cayley-Menger-Determinanten und dem Grenzwert bestimmter Gramscher Determinanten für immer kleinere Werte des (Betrags des) Krümmungs-Parameters \kappa.

    Wikipedia ist diesbezüglich aber leider (noch) nicht wirklich hilfreich …