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Dreiecksnotation?

Von / 22. August 2016 / 30 Kommentare
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Der populäre YouTube-Kanal “3Blue1Brown” schlägt eine neue Notation für Wurzeln und Logarithmen vor, 127.000 Klicks und 2.000 “Thumb-Up”s in knapp 2 Monaten scheinen ihm recht zu geben.

Er findet die unterschiedlichen Notationen für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen kontraintuitiv:
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Und präsentiert als Lösung einen Vorschlag, der vor 4 Jahren auf stackexchange gemacht wurde: man schreibe die drei Einträge (die Basis, den Exponenten und das Ergebnis) in die Ecken eines Dreiecks. Die drei Rechenoperationen entsprächen dann der Auswahl einer Ecke:

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Und die Rechenregeln liessen sich einfacher visualisieren:
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Mich überzeugt das nicht, ich finde es einfacher “log” zu schreiben als ein Dreieck zu zeichnen. Was meint ihr?

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Kommentare (30)

  1. #1 Joachim
    22. August 2016

    Man muß das Rad nicht immer wieder neu erfinden, oder? Aber irgendwie paßt es, alles Alte muß durch Neues ersetzt werden, ob nötig oder nicht. Daran krankt seit geraumer Zeit die Gesellschaft.

  2. #2 Kai
    22. August 2016

    Ich finde es schwer zu lesen – da ich die Notation nicht gewohnt bin. Ich könnte mir aber vorstellen, dass es gerade Schülern erleichtert die Zusammenhänge zwischen Logarithmus/Wurzel/Potenz zu verstehen.

    @Joachim: Mir ist nicht so ganz klar, inwiefern unsere Gesellschaft daran “erkranken” kann.

  3. #3 Statistiker
    22. August 2016

    Ich kann mich da Kai anschließen. Benutzen im Alltag würde ich es auch nicht, aber zum Darlegen der Zusammenhänge finde ich es sehr anschaulich. Es wird deutlich, dass de facto immer über das gleiche, bloß “anders” geredet wird, um es mal simplifiziert auszudrücken.

    Und ich finde es auch sehr schön, dass das Alte durch Neues ersetzt wird. Schon meine Großmutter selig fand “früher alles Sch****… da hatten wir keinen Kühlschrank, keine Gefriertruhe und keine Waschmaschine. Guckt euch doch mal meine Hände an!”. Gut beobachtet…..

  4. #4 Jokep
    22. August 2016

    Ich finds interessant … meine erste Reaktion war nämlich: “Was hat bitte der Logarithmus mit Wurzeln und Potenzen zu tun?” – und das, obwohl ich ein technisches Studium hinter mir habe!

    Für die Verdeutlichung der Zusammenhänge sicher sehr wertvoll – aber die Notation ist unbrauchbar, da muss man sich was lineareres einfallen lassen, was in eine Textzeile passt.

  5. #5 rolak
    23. August 2016

    Auch wenn es noch so ungewohnt ist: Es klingt sinnvoll und sieht insbesondere bei den Rechenregeln auch noch gut aus. Typographische Bedenken (á la ‘muß in eine Zeile passen’) hege ich keine – herkömmliche sowie vorgeschlagene Notation sind in Einzelzeichen am Rechner schwierig, in Handschrift simpel und für Rechner gibts doch TeX oä.

  6. #6 CM
    23. August 2016

    Intutiv, sieht hübsch aus – ABER: Ich muß so viel “Kram” lernen (Mathematik, Informatik, Genetik, etc.) im Rahmen meiner Arbeit, dass ich ohnehin kaum hinterherkomme.

  7. #7 CS
    23. August 2016

    Zuerst sieht es ungewohnt aus. Es verlangt auch sicherlich etwas mehr Zeit beim Aufschreiben (selbst mit Hand), oder liegt dieser Fakt etwa schon an der Gewöhnung?
    Kann es ein Nebeneinander geben? Die neue (Dreiecks-)Notation zum Erlernen der Zusammenhänge, die bisherige Notation quasi als “Umgangssprache”?

    Etwas OT, aber in eine ähnliche Richtung gehend: Es gab doch einmal Ansätze, im Deutschen die Aussprache der Zahlen der Stellung der Ziffern anzupassen (also 54 als fünfzigundvier anstatt als vierundfünfzig). Ich erlebe es gerade wieder einmal bei einem Grundschüler, der noch in der 4. Klasse Probleme hat, gesprochene Zahlen zu verschriften bzw. geschriebene Zahlen auszusprechen.
    Wie weit ist hier die Entwicklung gediehen?

  8. #8 Guido
    23. August 2016

    Ich empfinde diese Notation ist sehr eingängig und muss sagen, dass mir das wohl in der Schule (vielleicht nicht am direkt Anfang aber später) und auch im Studium sehr geholfen hätte komplexe Zusammenhänge zu verstehen/darzustellen.
    Wenn ich versuche die beiden Notationen objektiv zu vergleichen, würde ich sagen dass die Dreiecksnotation die Fortschrittlichere ist.

  9. #9 Czentovic
    23. August 2016

    Null Vorteile,
    der Funktionenkalkül geht vollstaändi verloren.
    F(a,b)=c

    @CS
    völlig überflüssig, es gibt wohl Mathe-Experten, die kein ernstes Betätigungsfeld finden.
    Es gibt Sprachen, die sind viel komplizierter, bei Zahlen unter Tausend ist es sowieso problemlos, auch für die übergroße Mehrheit der Grundschüler. Für sehr große Zahlen behilft man sich sprachlich sowieso anders.

    Das Abbild der Zahl im Gehirn hängt nicht von der Reihenfolge derAussprache ab.

  10. #10 Bjoern
    23. August 2016

    Hm, wenn ich kommendes Schuljahr Zeit dafür habe (und dran denke 😉 ), werde ich mal mit meinen Schülern beim Einführen des Logarithmus’ darüber reden – mal schauen, wie es denen gefällt. 🙂

  11. #11 Thilo
    23. August 2016

    Nachtrag: den LaTeX-Code findet man übrigens hier: https://tex.stackexchange.com/questions/307833/how-to-represent-the-triangle-of-power-in-latex

  12. #12 hugo
    23. August 2016

    Problematisch erscheint mir die Dreiecksnotation für längere Ausdrücke. Ein Wurzelzeichen, das über eine halbe Zeile geht, mag zwar abschrekend wirken, fügt sich aber noch relativ gut in den restlichen Formelsatz ein. Ähnlich ist es für lange geklammerte Ausdrücke mit (kurzem) Exponenten oder für Logarithmen langer Ausdrücke (zur kurzen Basen).

    Einen solch langen Ausdruck aber an ein Eck eines Dreiecks zu schreiben, erscheint mir schwieriger. Macht man das Dreieck dann entsprechend größer und verschwendet viel Platz, oder zeichnet man es mit derselben Größe wie für kurze Ausdrücke, was (auf mich) unausgewogen wirkt?

  13. #13 rolak
    23. August 2016

    Wurzelzeichen .. über eine halbe Zeile

    ..sind eine der Wasserscheiden für die Leserschaft – die einen schaffen die Hürde, die anderen verlieren die Lust. Das soll jetzt kein pro- oder kontra-Argument sein, ist aber immer wieder ulkig zu beobachten :‑)

    btt, hugo: Ist halt die Frage, was (und als Zusatzfrage: aus welchem Grund) wem besser gefällt oder liegt, die ‘gute alte’ syntaktische Gruppierung durch funktionale Klammerung oder die räumliche Separierung.
    Doch gerade die geschachtelten Terme in jenem Kommentar im von Thilo eben verlinkten thread fand ich sehr angenehm zu lesen. Obwohl das naheliegenderweise bei weitem noch nicht flüssig vonstatten geht…

  14. #14 Julia
    23. August 2016

    @Czentovic
    Ich arbeite mit Kinder, die an Dyskalkulie leiden. Die Aussprache der Zahlen spielt eine immens wichtige Rolle, wenn es um das Verständnis der Größe einer Zahl geht. Diese Kinder haben häufig keinerlei Vorstellung von Wertigkeiten, dass eine 5 vorne nunmal nicht einfach nur eine 5 ist, sondern 5 * 10^1. Die Ausprache fünfzigvier kommt während der Therapie am Anfang durchgehend vor.

  15. #15 Laie
    23. August 2016

    Die Darstellung der neuen Schreibweise ist logisch und richtig und in der praktischen Anwendung unvorteilhaft, da dasselbe Symbol für 3 “zusammenhängende”, aber dennoch verschiedene Operationen verwendet wird, und ein Mehraufwand für das Zeichnen des Dreiecks und Kreises besteht. Die bisherige Potenzschreibweise hat ihre Vorteile.
    Zu den wenig beliebten Wurzeln: n.Wurzeln kann man auch praktischer mit ^/(1/n) ausdrücken.

  16. #16 Laie
    23. August 2016

    Korrektur: mit ^(1/n) ausrücken.

  17. #17 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2016/08/22/some-like-it-hot/
    23. August 2016

    Umzulernen wäre natürlich unangenehm, aber diese Notation erscheint mir deutlich logischer und sollte daher für Anfänger leichter sein, so dass man die einmaligen Umstellungskosten in Kauf nehmen sollte.

    Was an Wurzelzeichen, wie in den Kommentaren behauptet, einfacher zu schreiben sein soll, habe ich nicht verstanden.

  18. #18 Chris
    Henndorf
    23. August 2016

    Sieht selbsterklärend aus, entscheiden sollten So etwas Pädagogen. Darüber reden hilft offensichtlich schon im Sinne der Volksbildung.

  19. #19 Siskin
    23. August 2016

    Alles, was didaktisch hilft, Menschen zu erreichen, die über herkömmliche Wege Schwierigkeiten im Verständnis haben, ist gut und zu befürworten.
    Ob sich didaktische Hilfsmittel dann in den Alltagsgebrauch derer einfügen, die dann wissenschaftlich damit arbeiten – wird wohl auch von denen abhängen, die durch die neuen Methoden neu hinzugewonnen werden konnten.

  20. #20 schlappohr
    23. August 2016

    Ich war im ersten Moment beeindruckt. Aber wie stellt man verschachtelte Ausdrücke dar, z.B. 2^(2^3)? Das führt zu Strukturformeln, die sich kaum noch überschauen lassen.

  21. #21 tomtoo
    23. August 2016

    @schlappor
    hab keinen plan von mathe abet stell mier sowas wie sqrt(x*log(a)/…….) vor.
    sieht mann ja nur noch dreiecke
    (schulterzuck) ?

  22. #22 Richard
    Langen
    23. August 2016

    @schlappohr

    Aber wie stellt man verschachtelte Ausdrücke dar, z.B. 2^(2^3)?

    So wie hier: https://i.stack.imgur.com/yqT1g.png (aus dem auch in #11 verlinkten https://tex.stackexchange.com/questions/307833/how-to-represent-the-triangle-of-power-in-latex).

    Kann für wirklich tief geschachtelte Ausdrücke zwar schon etwas unhandlich sein, aber das sind andere Notationen auch (Brüche z.B., oder auch die “klassische” Exponentialschreibweise wenn man mehr als zwei bis drei Exponenten “stapelt”).

    Alles in allem gefällt mir die Notation ganz gut – vor allem weil sie die Zusammenhänge so schön intuitiv darstellt.

  23. #23 Thorsten
    24. August 2016

    Der Grundgedanke ist nicht schlecht, aber ich befürchte, dass es bei verschachtelten Ausdrücken tatsächlich sehr unübersichtlich wird.

    Über eine einfachere Notation sollte man aber zumindest Nachdenken. Bei anderen Rechenoperationen hat man zwar auch jeweils zwei unterschiedliche Operatoren, z.B.:

    2+3=5
    5-2=3
    5-3=2

    2*3=6
    6/2=3
    6/3=2

    aber das Hochstellen von Zahlen (2³), das Wurzelzeichen und der Ausdruck “log” sind doch schon ganz andere Kaliber :).

    Vielleicht so etwas wie:

    2#3=8
    8;3=2
    8,2=3

    Die angegebenen Zeichen sind nur beispielhaft. Man müsste ggf. auch eine neue Aussprache etablieren. Aber so etwas international zu vereinheitlichen wird wohl nicht funktionieren. 🙂

  24. #24 cero
    24. August 2016

    Das Video scheint ja gerade seine Runde zu machen. Es ist natürlich immer schwer etwas komplett Neues gegen etwas, an das man sich jahrelang gewöhnt hat, abzuwägen.

    Spontane Kritikpunkte von meiner Seite wären aber erstens, dass sich die Notation meiner Meinung nach die Folgenden:

    1. Die Schreibweise fügt sich nicht besonders gut in die Funktionsschreibweise ein.

    2. Gerade in der Informatik möchte man häufig gerne von der Basis des Logarithmus abstrahieren (da alle Logarithmenfunktionen asymptotisch äquivalent sind) und einfach log n schreiben. Ich sehe nicht, wie das mit der Schreibweise angenehm geht.

    3. Der wichtigste Punkt ist meiner Meinung nach, dass die drei Operationen ganz unterschiedlichen Stellenwert haben. Potenzen sind nun einmal wesentlich “wichtiger” (im Sinne von präsenter) als Logarithmen, auch in der höheren Mathematik. Es ergibt daher Sinn für das Potenzieren eine wesentlich einfachere Notation zu wählen, als für das Logarithmieren.

    4. Generell wirkt die Notation auf mich umständlich, insbesondere durch das “Auslassen” von Stellen.
    log(n+n^2) = (2,*,n+(n,2,*))

  25. #25 Justus Jonas
    24. August 2016

    Das sieht interessant aus, bei komplexen Termen wird es dann aber unübersichtlich.
    Als Einführung in die Thematik und für das Verständnis wäre das aber eine schöne Sache, insbesondere um den Zusammenhang dieser Rechenoperationen zu veranschaulichen.

  26. #26 Martin Lohner
    Oberägeri
    25. August 2016

    Und wie wär’s damit?
    2^3 = 8 (2 hoch 3)
    8v3 = 2 (8 tief 3)
    2^?8 = 3 (2 hoch was ist 8)

  27. #27 Anna
    31. August 2016

    Für Legastheniker/Dyslexiker würde eine solche Notation verwirrend sein.

  28. #28 tomtoo
    31. August 2016

    @anna

    Könntest du das auch begründen ?

  29. #29 mfkns
    9. September 2016

    Ich finde die Idee richtig gut. Ich halte es auch durchaus für sinvoll gebräuchliche Notation zu überdenken. Schließlich benutzt die Mathematik die meisten Symbole eher aus historischen als aus praktischen Gründen.
    Ich denke da z.B. an die “Polnische Notation”, die ziemlich praktisch ist, da sie Klammern überflüssig macht. Sie konnte sich leider nie gegen die traditionelle Schreibweise durchsetzen.
    Aber zurück zur Dreiecksnotation: In der Praxis benutzt man ja meistens den natürlichen Logarithmus. Da bräuchte es dann noch dringend ein vereinfachtes Dreieck, damit man nicht ständig ein “e” schreiben muss.

  30. #30 Definition
    10. April 2017

    Auf den ersten Blick sah es zwar verlockend aus, aber ich finde diese Notation sehr unpraktisch. Ich fasse mal hier die wesentlichen Argumente zusammen, die hier schon erwähnt wurden:

    (1) Man würde ein Symbol für 3 (zwar zusammenhängende aber) vollkommen verschiedene Rechnenoperationen verwenden! Zum Vergleich: Plus und Minus sowie Mal und Geteilt sind auch verschiedene Symbole. Was mich zum nächsten Punkt führt.

    (2) Unübersichtlichkeit bei langen Ausdrücken: Damit meine ich noch nicht einmal dass es schlecht in eine Zeile passt. (Das ließe sich vermutlich leicht beheben, indem man z.B die Zahl über der Spitze ggf in der Mitte einfach in das Dreieck schreibt und die beiden Zahlen einfach mehr neben das Symbol.) Aber habt ihr euch mal überlegt, wie das bei langen geschachtelten Ausdrücken aussehen würde? Man hat dasselbe Symbol und muss jetzt höllisch aufpassen, dass man die 3 Rechenoperationen nicht miteinander verwechselt. Denn der vermeintliche Vorteil, dass sich alles wunderbar wegkürzt und auflöst, ist bei der Anwendung selten der Fall. (Das gibt es eigentlich nur, wenn man die Rechenoperationen gerade lernt. Wo man bisher auch immer leicht gelernt hat, dass die 3 Operationen Umkehrungen voneinander sind.) Oft muss man in der Wissenschaft die Terme mit langen geklammerten Ausdrücken eben anders vereinfachen, z.B. mit Reihenentwicklungen. Was mich zum nächsten Punkt führt.

    (3) Der Vorteil der Funktionenschreibweise f(a,b)=c geht vollkommen verloren. Bei der wüsste man nähmlich sofort, nach welcher Taylorreihenentwicklung man suchen muss. Außerdem benutzen ja Physiker fast ausschließlich die Exponentialfunktion exp(x) und den natürlichen Logarithmus ln(x). In anderen Wissenschaften/Teilgebieten verwendet man gerne den dekadischen, den binären oder eben einen beliebigen Logarithmus. Das sind dann de facto Funktionen mit nur einem Argument, was bisher immer ein riesiger Vorteil war. (Eine weitere solche Funktion ist mir den nächsten Punkt wert.)

    (4) Ich muss zwar zugeben, dass das Symbol für die Wurzel bisher immer etwas unpraktisch war, aber sofern man nicht gerade die Quadratwurzel benutzt, hat man statt der n-ten Wurzel (wo man den Wurzelexponenten ja wieder explizit hinschreiben muss) sowieso “hoch 1/n” geschrieben. Das heißt also, die häufig auftauchende Quadratwurzel ist wieder eine Funktion mit nur einem Argument und ansonsten sind Potenzen und Wurzeln im Wissenschaftsalltag sowieso schon fast ein- und dasselbe. Oftmals hat man ja auch sowas wie x^y und dabei ist y vielleicht so variable, dass garnicht klar ist, ob es nun eine Potenz, eine Wurzel oder eine Kombination aus beidem oder eben eine irrationale Zahl ist. In dem Sinne sind beide Operationen eh verallgemeinerte Potenzen. (Also neue Notationen, die keinen wirklichen Vorteil beitragen, könnten halt für nur mehr Verwirrung sorgen. Und in der heutigen interdisziplinären Wissenschaft führt das vielleicht nur zu einem verstärkten Aneinander-vorbei-reden. Also verschiedene Disziplinen verwenden häufig bestimmte verschiedene Schreibweisen und Bezeichnungen für diesselben Konzepte.)

    Das sind 4 gute Gründe, die für die bisherige Notation und gegen die Dreiecke sprechen. Es sieht also mau aus für die Dreiecksnotation.