1 – 2 + 3 – 4 + – … = 1/4 (Eulers paradoxe Gleichung) ist einer der Einträge im aktuellen Kalenderblatt.
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(Die Bilder lassen sich durch Anklicken vergrößern.)

Die Formel bei der 2 ergibt sich per vollständiger Induktion aus der Gleichung \cos(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{\cos(x)+1}{2}} .

Es gibt nur 3 regelmäßige Pflasterungen der euklidischen Ebene, nämlich durch gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäße Sechsecke. (Viel mehr regelmäßige Pflasterungen hat man in der hyperbolischen Geometrie, siehe TvF 59.)

Die 4 (Bild unten) zeigt die Reihe 1-2+3-4+-…, welche ein Spezialfall der Reihe 1-2x+3x^2-4x^3+-\ldots=\frac{1}{(1+x)^2} ist, aus der man durch Einsetzen von x=1 das Ergebnis 1-2+3-4+-\ldots=\frac{1}{4} erhält. Die englische Wikipedia hat zu dieser Reihe einen eigenen Artikel.

Die 5 zeigt Eulers Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Fermat, dass alle Zahlen der Form 2^{2^n}+1 Primzahlen sind.

Das Symbol bei der 8 finde ich nicht einmal mit Detexify.

Die 11 zeigt eine Identität für Fibonacci-Zahlen, die ich vor 2 Jahren mal im Jahresendrätsel gestellt hatte. (Ebenso wie den Eintrag bei der 2 übrigens, die Auflösungen sind hier.)

Jeder rot und blau kantengefärbte vollständige Graph auf 14 Knoten hat mindestens einen vollständig roten Teilgraphen auf 3 Knoten oder vollständig blauen Teilgraphen auf 5 Knoten. Ähnlich bei der 23.

Ein pandigitaler Ausdruck wie bei der 21 oder 25 ist einer, der jede der 10 Ziffern genau einmal verwendet.

Es gibt 8 invertierbare Elemente modulo 24.

Magische Summen kennt man sonst aus magischen Quadraten. Bei der 26 geht es aber um einen Würfel, dessen Seitenflächen alle dieselbe Kantensumme haben.

Die 27 Geraden auf einer kubischen Fläche sind ein beliebtes Thema für Bachelor- und Master-Arbeiten.

Die Bernoulli-Zahlen B4 und B8 sind beide 30. Warum man das gerade auf diese Weise mit dieser Gleichung ausdrückt verstehe ich nicht.

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Kommentare (15)

  1. #1 MX
    18. September 2016

    Das Symbol bei der 8 ist bestimmt das von Hyundai neu designte Wurzelzeichen. Elegante Linienführung, der gelungene Ausdruck von Stärke und Dynamik unter Bezug auf die koreanische Schrifttradition 😉

    Oder ein Fall für Klausis Krypto Kolumne nebenan!

  2. #4 Draalo
    20. September 2016

    @Karl-Heinz: Danke 🙂
    ein Unwissender weniger 😉

  3. #5 Karl-Heinz
    20. September 2016

    @Draalo

    ⟌ ⟌ ⟌ ⟌ ⟌

    Bitte sehr 😉

  4. #6 volki
    20. September 2016

    @Thilo

    Die Bernoulli-Zahlen B4 und B8 sind beide 30. Warum man das gerade auf diese Weise mit dieser Gleichung ausdrückt verstehe ich nicht.

    Das liegt daran, dass B_4=B_8=-\frac{1}{30} und nicht beide 30 sind. Siehe z.B. Wikipedia:

    https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Zahl

  5. #7 Thilo
    20. September 2016

    Ja klar, du hast natürlich recht. Ich weiß auchnicht, was ich da gesehen hatte.

  6. #8 Laie
    21. September 2016

    Wer auf Nummer sicher gehen will summiert lieber (-1)^n/(n+1) konvergiert viel braver als (-1)^n*(n+1)! mit n=0,1,2,… 🙂

  7. #9 Karl-Heinz
    21. September 2016

    @Laie

    Konvergiert ist das falsche Wort, da keine von den beiden Reihen konvergiert.

    Beide Reihen sind alternierend.
    Bei deiner Reihe strebt zumindest der Betrag mit wachsendem n gegen 1,
    während bei der anderen Reihe der Betrag mit wachsendem n grösser wird.

  8. #10 Karl-Heinz
    21. September 2016

    @Laie

    Interessant ist die Tatsache, dass für die Reihe 1-2x + 3x^2 – 4x^3 +…
    ein linkseitiger Grenzwert für x =1 existiert.

    Allgemein: die Reihe ist konvergent für |x| < 1

  9. #11 Laie
    22. September 2016

    @Karl-Heinz:
    Das Rufezeichen ist da oben fehl am Platze, Tippfehler meinererseits, gemeint war die Reihe mit a(n)=(-1)^n*(n+1)
    Mit “Summe” 1/4.

    Aber meine erste Reihe 1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6 sollte doch brav konvergieren, so viel ich noch weiß durch Umordnen sogar gegen jeden beliebigen Grenzwert.

  10. #12 Karl-Heinz
    22. September 2016

    @Laie

    Ups… sorry

    Ich hatte die Gleichung falsch gelesen.
    a(n)=((-1)^n) * n /(n+1) anstatt a(n)=(-1)^n*(n+1).

    Selbstverständlich konvergiert deine Gleichung Σ (-1)^n * 1/(n+1).

    Frage: Und gegen was konvergiert sie?

  11. #13 Karl-Heinz
    22. September 2016

    @Laie

    Die Reihe 1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6 ist eine alternierende harmonische Reihe
    und der Grenzwert = ln(2) = 0,693147180…

  12. #14 Laie
    23. September 2016

    @Karl-Heinz,
    Macht nix, ich verlese mich auch öfters mal.
    Dass es der ln(2) ist, hab ich leider vergessen…
    Diese mathematischen Zahlenspielereien finde ich interessant, wie auch einer divergenten Reihe eine (nicht ernst gemeinte) Summe zuordnen zu können.

  13. #15 Thilo
    23. September 2016

    Zu Letzterem interessiert vielleicht http://scienceblogs.de/mathlog/2014/01/19/123456-112/