IMG_0437

Vor Jahren hörte ich mal einen Kolloquiumsvortrag, in dem ein australischer Professor über eine Theorie referierte, in der aus der Verneinung der Verneinung nicht die Richtigkeit einer Aussage folgt. Zum Abschluß meinte er noch geheimnisvoll, seine Theorie sei “not without applications” und war sich der Komik dieses Statements – aus dem in seiner Logik ja eben nicht das Vorhandensein von Anwendungen folgt – offenkundig gar nicht bewußt.

Konstruktive Mathematik nimmt nicht von vornherein an, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist, sondern sie muss das in jedem Einzelfall beweisen. Zum Beispiel muss sie erst aus den Peano-Axiomen der natürlichen Zahlen herleitne, dass zwei Zahlen entweder gleich oder ungleich sind. Man kann in der konstruktiven Mahematik, dass nicht gleichzeitig P und nicht-P gelen können, aber man weiss im Allgemeinen nicht, dass eines von beiden richtig ist.

Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Man kann aus dem Auswahlaxiom herleiten, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist. Konstruktive Mathematik muss also auf das Auswahlaxiom verzichten.

Im Oktober-Heft des Bulletin of the American Mathematical Society versucht Andrej Bauer zu begründen, dass auch konstruktive Mathematik interessant sei: Five stages of accepting constructive mathematics

Bauer zeigt zunächst, dass man auch in der konstruktiven Mathematik viele Sätze beweisen kann, deren klassische Beweise eigentlich Widerspruchsbeweise sind, und dass sogar viele üblicherweise als Widerspruchsbeweise geführte Beweise eigentlich keine sind, sondern einfach nur eine Negation beweisen (also nicht benutzen, dass entweder P oder nicht-P gilt, sondern nur dass nicht P und nicht-P gelten können): zum Beispiel die Irrationalität der Wurzel aus 2, die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen oder dass es keine Menge aller Mengen gibt. Außerdem zeigt er auch, dass man Teile der Mathematik retten kann, wenn man statt des Auswahlaxioms nur die Existenz einer Auswahlfunktion auf abzählbaren Mengenfamilien annimmt. Mit dieser Variante kann man zum Beispiel immer noch den Lebesgueschen Überdeckungssatz beweisen.

Konstruktive Mathematik war zur Zeit ihrer Entstehung in den 20er Jahren sehr umstritten. Bauer führt dies darau zurück, dass mit dem konstruktivistischen Ansatz beim damaligen Stand weite Teile der Mathematik nicht mehr funktioniert hätten und Hilbert deshalb dagegen war. (Und, was Bauer nicht schreibt, man aber versucht ist zu vermuten, Brouwer wohl aus genau diesem Grund dafür.) Laut Bauer ist konstruktive Mathematik erst seit 1967, dem Jahr des Erscheinens von Bishops Buch über konstruktive Analysis, in der Lage grundlegende mathematische Fragen anzugehen. Er zitiert aus einer Besprechung von Bishops Buch:

The thrust of Bishop’s work was that both Hilbert and Brouwer had been wrong about an important point on which they had agreed. Namely both of them thought that if one took constructive mathematics seriously, it would be necessary to “give up” the most important parts of modern mathematics (such as, for example, measure theory or complex analysis). Bishop showed that this was simply false …

Bauer diskutiert dann verschiedene konstruktivistische Modelle, darunter eines das Grothendiecks Theorie der Topoi von Garben verwendet:

In the topos the truth values are the open subsets of X. The truth value of a
statement is the largest open set on which it holds, and the logic is dictated by the topology of X:
• falsehood and truth are ∅ and X, the least and greatest open sets, respec- tively;
• conjunction U ∧V is U ∩V, the largest open set contained in U and V;
• disjunction U ∨V is U ∪V, the least open set containing U and V;
• negation ¬U is the topological exterior ext(U), the largest open set disjoint
from U;
• implication U ⇒ V is ext(U \ V ), the largest open set whose intersection
with U is contained in V .
Excluded middle amounts to saying that U ∪ ext(U) = X for all open U ⊆ X, a condition equivalent to open and closed sets coinciding. Only a very special kind of space X satisfies this condition, for as soon as it is a T0-space (points are uniquely determined by their neighborhoods), it has to be discrete.

1 / 2 / Auf einer Seite lesen

Kommentare (19)

  1. #1 Manuel Rodriguez
    https://trollheaven.wordpress.com/
    7. Dezember 2016

    Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom.

    Falsch. Es sei denn mit “heute” ist gemeint die Zeit um 1900 herum, als Alan Turing und Kurt Gödel noch nicht geboren waren. Aber dazu mehr weiter unten.

    Insofern ist mir nicht recht klar geworden, welche Erkenntnis man also damit gewinnt, dass sich manche bekannten Sätze auch in der konstruktiven Mathematik beweisen lassen.

    Das ist eine gute Frage, die sich leicht aufklären lässt. Vor Erfindung des Computers war das niemandem klar, vielleicht mit Ausnahme der hochbegabten Ada Lovelace die ihrer Zeit voraus war. Nach Kurt Gödel gibt es mathematische Sätze in formalen Systemen, die nicht beweisbar sind (Unvollständigkeitssatz). Man kann dies über die Turing-Machine zeigen. Wenn man dennoch einen Beweis haben möchte für eine konkrete Aussage wie z.B. “ist die Zahl 245023 eine Primzahl?”, benötigt man einen Algorithmus, den man auf einer Rechenmaschine ausführt. Ob man damit jedoch ein Ergebnis findet hängt vom Algorithmus und von der Computerhardware ab.

  2. #2 Thilo
    7. Dezember 2016

    Sowas ähnliches hatte ich ja im letzten Abschnitt auch geschrieben:

    Tatsächlich könnte man ja argumentieren, dass konstruktive Beweise in manchen Fällen für den Anwender nützlicher sein könnten, wenn sie denn nicht nur die Existenz eines mathematischen Objektes beweisen, sondern auch einen Hinweis auf seine Konstruktion geben.

    […] der Beweis des Zwischenwertsatzes ist ohnehin ein Beweis, den die meisten Mathematiker wohl trotz des benötigten Grenzwertes als einen konstruktiven (im Sinne von algorithmisch umsetzbaren) Beweis ansehen würden. Und der Beweis der umformulierten Aussage unterscheidet sich auch nicht grundsätzlich vom bekannten Beweis des Zwischenwertsatzes.

    Insofern ist mir nicht recht klar geworden, welche Erkenntnis man also damit gewinnt, dass sich manche bekannten Sätze auch in der konstruktiven Mathematik beweisen lassen.

  3. #3 UMa
    7. Dezember 2016

    @Thilo:

    Konstruktive Mathematik nimmt nicht von vornherein an, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist, sondern sie muss das in jedem Einzelfall beweisen. Zum Beispiel muss sie erst aus den Peano-Axiomen der natürlichen Zahlen herleitne, dass zwei Zahlen entweder gleich oder ungleich sind. Man kann in der konstruktiven Mahematik, dass nicht gleichzeitig P und nicht-P gelen können, aber man weiss im Allgemeinen nicht, dass eines von beiden richtig ist.

    Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Man kann aus dem Auswahlaxiom herleiten, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist. Konstruktive Mathematik muss also auf das Auswahlaxiom verzichten.

    Das irritiert mich jetzt etwas. Widerspricht das nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz?
    https://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz

  4. #4 Thilo
    7. Dezember 2016

    Bauer zitiert Diaconescu, ich copy-paste den Beweis mal hier hinein:

    The axiom of choice implies excluded middle.

    Proof: Consider an arbitrary proposition P. To decide P, define

    A = {x ∈ {0, 1} | P ∨ (x = 0)} and B = {y ∈ {0, 1} | P ∨ (y = 1)}.

    Every member of {A, B} is inhabited because 0 ∈ A and 1 ∈ B. By the axiom of
    choice there is a function f : {A, B} → A ∪ B such that f(A) ∈ A and f(B) ∈ B.
    Because f(A) ∈ {0, 1}, we have f(A) = 0 or f(A) = 1, and because f(B) ∈ {0, 1},
    we have f(B) = 0 or f(B) = 1. We consider four cases organized as follows:

    (1) if f(A) = 1, then 1 = f(A) ∈ A, so P ∨ (1 = 0), which is equivalent to P;
    (2) if f(B) = 0, then 0 = f(B) ∈ B, so P ∨ (0 = 1), which is equivalent to P;
    (3) if f(A) = 0 and f(B) = 1, then ¬P: if P were true, we would have
    A = B = {0, 1}, and so 0 = f(A) = f(B) = 1, a contradiction.

    In each case we decided whether P or ¬P holds.

  5. #5 Manuel Rodriguez
    7. Dezember 2016

    Das irritiert mich jetzt etwas. Widerspricht das nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz?

    https://www.youtube.com/watch?v=_RT7fiWFaTg
    Zeitindex 3:44

  6. #6 alex
    7. Dezember 2016

    @Thilo:
    Macht der letzte Schritt

    (3) if f(A) = 0 and f(B) = 1, then ¬P: if P were true, we would have A = B = {0, 1}, and so 0 = f(A) = f(B) = 1, a contradiction.

    nicht die Annahme, dass entweder P oder nicht-P richtig ist? Es wird doch nur gezeigt, dass P nicht wahr sein kann. Nicht dass nicht-P wahr sein muss.

  7. #7 Thilo
    7. Dezember 2016

    @alex: Der Punkt mit der konstruktiven Mathematik ist gerade, dass ein Beweis “nehme an P gilt, erhalte einen Widerspruch, also gilt nicht-P” erlaubt ist, während ein Beweis “”nehme an nicht-P gilt, erhalte einen Widerspruch, also gilt P” nicht erlaubt wäre.
    Das ist etwas verwirrend, es wird aber gleich im ersten Kapitel von Bauers Arbeit erklärt.

  8. #8 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2015/06/25/quadratur-des-kreises/
    8. Dezember 2016

    In der Überschrift vielleicht Konstruktivismus, nur wegen der Suchmaschinen; wir Leser könnten damit kleben.

    • #9 Thilo
      8. Dezember 2016

      Oh, wie peinlich. Ist korrigiert.

  9. #10 Volker Birk
    http://blog.fdik.org
    8. Dezember 2016

    Wer den Gödelschen Unvollständigkeitssatz in eine Diskussion wie diese einbringt, könnte den Vollständigkeitssatz von Gödel noch einmal lesen, und überlegen, wodurch sich jener vom Unvollständigkeitssatz unterscheidet (und weshalb beide richtig sind).

    Das hängt nun durchaus mit der konstruktivistischen Mathematik zusammen:

    Den Sätze, also die mathematische Sprache, sprechen über mathematische Objekte. Und Logik lässt sich (im mathematischen Sinne) strukturell mit mathematischen Objekten beschreiben.

    Aber Sprache ist immer mehr als eine Ansammlung mathematischer Objekte, sogar die Sprache der Mathematik ist das. Sie ist es zwingend, sonst ist sie ohne Bedeutung.

    Die Forderung, alle mathematischen Objekte konstruieren zu wollen – verschärft meistens formuliert, dass andere mathematischen Objekte nicht bestehen sollen – fordert die (mathematische) Strukturidentität zwischen den mathematischen Objekten und der mathematischen Sprache, schwächer mindestens einen Homomorphismus.

    Es besteht jedoch keiner, ausser man nimmt künstlich alles an mathematischer Sprache weg, was einem nicht in den Kram passt. Und genau das machen die Konstruktivisten ja auch.

    Eine gute Begründung liefern sie dafür keine. Denn die mathematische Sprache ausserhalb solcher Beschränkung ist praktikabel – sie beweist das jeden Tag aufs Neue.

    Man kann es auch anders formulieren:

    Sprachen sind abzählbar, alle. Das Überabzählbare muss dann auch aus der konstruktivistischen Mathematik verschwinden. Und wiederum, es ist jedoch höchst praktisch, über überabzählbare mathematische Objekte zu sprechen – und man verliert eine Menge Aussagekraft, wenn man’s nicht macht.

    Insofern ist konstruktivistische Mathematik vor allem eines: beschränkt, und zwar künstlich, ohne Nutzen.

  10. #11 Volker Birk
    http://blog.fdik.org
    8. Dezember 2016

    Zur ZF(C): die ist heute so gängig, dass ich das Argument nicht verstehe, der Blogautor hätte etwa unrecht.

  11. #12 UMa
    8. Dezember 2016

    Also ich habe die Aussage

    Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Man kann aus dem Auswahlaxiom herleiten, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist.

    so aufgefasst, dass die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre vollständig sei.

  12. #13 Manuel Rodriguez
    https://trollheaven.wordpress.com/
    8. Dezember 2016

    Volker Birk wrote:

    Wer den Gödelschen Unvollständigkeitssatz in eine Diskussion wie diese einbringt, könnte den Vollständigkeitssatz von Gödel noch einmal lesen, und überlegen, wodurch sich jener vom Unvollständigkeitssatz unterscheidet (und weshalb beide richtig sind).

    Vermutlich ist das eine Anspielung auf die Prädikatenlogik zweiter Stufe und die Programmiersprache APL. Das letzte Mal als ich dazu einen Vortrag gesehen habe, war auf der Bühne eine Art von Borg Drohne zu sehen die exakt so aussah wie die aus Startrek TNG. Das hat mir dann doch etwas Angst gemacht, ich glaube das ist zu hart für mich.

  13. #14 Volker Birk
    http://blog.fdik.org
    11. Dezember 2016

    @UMa: das ist die alte Diskussion über die Unterscheidung von Satz und Proposition. Sätze gibts nur abzählbar viele, Propositionen gibt es viel mehr.

    Man sollte also jeweils festlegen, was von beiden man mit “Aussage” meint. Insofern ist die ZF(C) als Theorie vollständig (bezüglich der Propositionen), als Kalkül unvollständig (Gödel).

  14. […] hatten vor zwei Monaten mal über mathematische Theorien geschrieben, in denen aus der Verneinung einer Verneinung nicht die Richtigkeit der doppelt verneinten Aussage […]

  15. #16 quadrocopterversicherung.com
    26. April 2017

    Bemerkenswerter Einfall. Allerdings will ich auch sehen, dass Dinge nicht jedes Mal so einfach sind. Bodenständigkeit ist manchmal besser als Wolkenkuckungsheime.

    Werbelink entfernt. TK

  16. #17 Ingo Blechschmidt
    Augsburg
    12. Juli 2018

    “Insofern ist mir nicht recht klar geworden, welche Erkenntnis man also damit gewinnt, dass sich manche bekannten Sätze auch in der konstruktiven Mathematik beweisen lassen.”

    Manuel hat dazu ja schon eine gute Antwort gegeben, die Frage nach konkreten Berechnungen betreffend.

    Es gibt noch eine ganz andere Antwort: Sätze, die sich konstruktiv beweisen lassen, gelten in viel größerer Allgemeinheit als zunächst sichtbar — sie gelten nämlich in allen Topoi, nicht nur dem Standardtopos der Mengen. Etwa zieht jeder konstruktive Satz eine “Garbenversion” seiner selbst nach sich.

    Das hat konkrete Anwendungen in Analysis, Algebra und Geometrie. Ich gab mir Mühe, in dem verlinkten Foliensatz kein Vorwissen aus Kategorien- oder Garbentheorie vorauszusetzen. Fragen sind sehr willkommen!

  17. #18 Frank Wappler
    https://de.wikipedia.org/wiki/Operator_(Mathematik)#Operatoren_der_Physik
    13. Juli 2018

    Ingo Blechschmidt schrieb (#17, 12. Juli 2018):
    > Sätze, die sich konstruktiv beweisen lassen, gelten in viel größerer Allgemeinheit als zunächst sichtbar — sie gelten nämlich in allen Topoi, nicht nur dem Standardtopos der Mengen.
    > […] Foliensatz [ https://rawgit.com/iblech/internal-methods/master/slides-leipzig2018.pdf … ]

    Zumindest einen kleinen Ausschnitt davon finde ich unmittelbar einleuchtend:

    [S. 11/30:] Given just the promise of an inhabited subset [of the natural numbers N], we can’t algorithmically determine its minimum.

    Deshalb möchte ich daran eine Frage knüpfen (deren eventuelle Antwort auch weiterreichende Relevanz haben mag):

    Was ist die konkrete symbolische Notation für (“die mathematisch-konstruktivistische Sprechweise”):
    just the promise of (a specific mathematical object)” ?

    In der (Experimental-)Physik ist an vermutlich vergleichbarer Stelle die “Hut”- bzw. “Operator”-Notation gebräuchlich, d.h. z.B. \hat A als Symbol für

    – “das Versprechen, eine bestimmte, festgesetzte und festhaltbare Mess- bzw. Bewertungsmethode auf versprochene Beobachtungsdaten \hat \psi anzuwenden, falls und wenn diese als \psi zur Verfügung stehen (werden)”, und insbesondere

    – “das Versprechen, ggf. diese Daten \psi \equiv \psi^A_a zu nennen, falls \langle \psi | \psi \rangle \ge 0 und \langle \hat A \, \psi | \hat A \, \psi \rangle \, \langle \psi | \psi \rangle = \langle \hat A \, \psi | \psi \rangle \, \langle \psi | \hat A \, \psi \rangle gefunden würde, wobei a den Wert der Zahl \frac{\langle \psi^A_a | \hat A \, \psi^A_a \rangle}{ \langle \psi^A_a | \psi^A_a \rangle} symbolisiert”.

    p.s.
    Da im o.g. Foliensatz u.a. auch Turing-Maschinen erwähnt wurden, möchte ich anmerken, dass (mir insbesondere) Antworten oder auch weiterführende Fragen dazu sehr willkommen sind.

  18. #19 hubert taber
    15. Juli 2018

    lieber nick frank wappler!
    sie sind ein vernunftbegabtes wesen.
    bitte lesen sie diesen link:
    https://diepresse.com/home/science/dissertation/5193677/Die-Metamorphose-des-Stroms#kommentare

    mfg. hubert taber