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Vor Jahren hörte ich mal einen Kolloquiumsvortrag, in dem ein australischer Professor über eine Theorie referierte, in der aus der Verneinung der Verneinung nicht die Richtigkeit einer Aussage folgt. Zum Abschluß meinte er noch geheimnisvoll, seine Theorie sei “not without applications” und war sich der Komik dieses Statements – aus dem in seiner Logik ja eben nicht das Vorhandensein von Anwendungen folgt – offenkundig gar nicht bewußt.

Konstruktive Mathematik nimmt nicht von vornherein an, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist, sondern sie muss das in jedem Einzelfall beweisen. Zum Beispiel muss sie erst aus den Peano-Axiomen der natürlichen Zahlen herleitne, dass zwei Zahlen entweder gleich oder ungleich sind. Man kann in der konstruktiven Mahematik, dass nicht gleichzeitig P und nicht-P gelen können, aber man weiss im Allgemeinen nicht, dass eines von beiden richtig ist.

Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Man kann aus dem Auswahlaxiom herleiten, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist. Konstruktive Mathematik muss also auf das Auswahlaxiom verzichten.

Im Oktober-Heft des Bulletin of the American Mathematical Society versucht Andrej Bauer zu begründen, dass auch konstruktive Mathematik interessant sei: Five stages of accepting constructive mathematics

Bauer zeigt zunächst, dass man auch in der konstruktiven Mathematik viele Sätze beweisen kann, deren klassische Beweise eigentlich Widerspruchsbeweise sind, und dass sogar viele üblicherweise als Widerspruchsbeweise geführte Beweise eigentlich keine sind, sondern einfach nur eine Negation beweisen (also nicht benutzen, dass entweder P oder nicht-P gilt, sondern nur dass nicht P und nicht-P gelten können): zum Beispiel die Irrationalität der Wurzel aus 2, die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen oder dass es keine Menge aller Mengen gibt. Außerdem zeigt er auch, dass man Teile der Mathematik retten kann, wenn man statt des Auswahlaxioms nur die Existenz einer Auswahlfunktion auf abzählbaren Mengenfamilien annimmt. Mit dieser Variante kann man zum Beispiel immer noch den Lebesgueschen Überdeckungssatz beweisen.

Konstruktive Mathematik war zur Zeit ihrer Entstehung in den 20er Jahren sehr umstritten. Bauer führt dies darau zurück, dass mit dem konstruktivistischen Ansatz beim damaligen Stand weite Teile der Mathematik nicht mehr funktioniert hätten und Hilbert deshalb dagegen war. (Und, was Bauer nicht schreibt, man aber versucht ist zu vermuten, Brouwer wohl aus genau diesem Grund dafür.) Laut Bauer ist konstruktive Mathematik erst seit 1967, dem Jahr des Erscheinens von Bishops Buch über konstruktive Analysis, in der Lage grundlegende mathematische Fragen anzugehen. Er zitiert aus einer Besprechung von Bishops Buch:

The thrust of Bishop’s work was that both Hilbert and Brouwer had been wrong about an important point on which they had agreed. Namely both of them thought that if one took constructive mathematics seriously, it would be necessary to “give up” the most important parts of modern mathematics (such as, for example, measure theory or complex analysis). Bishop showed that this was simply false …

Bauer diskutiert dann verschiedene konstruktivistische Modelle, darunter eines das Grothendiecks Theorie der Topoi von Garben verwendet:

In the topos the truth values are the open subsets of X. The truth value of a
statement is the largest open set on which it holds, and the logic is dictated by the topology of X:
• falsehood and truth are ∅ and X, the least and greatest open sets, respec- tively;
• conjunction U ∧V is U ∩V, the largest open set contained in U and V;
• disjunction U ∨V is U ∪V, the least open set containing U and V;
• negation ¬U is the topological exterior ext(U), the largest open set disjoint
from U;
• implication U ⇒ V is ext(U \ V ), the largest open set whose intersection
with U is contained in V .
Excluded middle amounts to saying that U ∪ ext(U) = X for all open U ⊆ X, a condition equivalent to open and closed sets coinciding. Only a very special kind of space X satisfies this condition, for as soon as it is a T0-space (points are uniquely determined by their neighborhoods), it has to be discrete.

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Kommentare (27)

  1. #1 Manuel Rodriguez
    https://trollheaven.wordpress.com/
    7. Dezember 2016

    Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom.

    Falsch. Es sei denn mit “heute” ist gemeint die Zeit um 1900 herum, als Alan Turing und Kurt Gödel noch nicht geboren waren. Aber dazu mehr weiter unten.

    Insofern ist mir nicht recht klar geworden, welche Erkenntnis man also damit gewinnt, dass sich manche bekannten Sätze auch in der konstruktiven Mathematik beweisen lassen.

    Das ist eine gute Frage, die sich leicht aufklären lässt. Vor Erfindung des Computers war das niemandem klar, vielleicht mit Ausnahme der hochbegabten Ada Lovelace die ihrer Zeit voraus war. Nach Kurt Gödel gibt es mathematische Sätze in formalen Systemen, die nicht beweisbar sind (Unvollständigkeitssatz). Man kann dies über die Turing-Machine zeigen. Wenn man dennoch einen Beweis haben möchte für eine konkrete Aussage wie z.B. “ist die Zahl 245023 eine Primzahl?”, benötigt man einen Algorithmus, den man auf einer Rechenmaschine ausführt. Ob man damit jedoch ein Ergebnis findet hängt vom Algorithmus und von der Computerhardware ab.

  2. #2 Thilo
    7. Dezember 2016

    Sowas ähnliches hatte ich ja im letzten Abschnitt auch geschrieben:

    Tatsächlich könnte man ja argumentieren, dass konstruktive Beweise in manchen Fällen für den Anwender nützlicher sein könnten, wenn sie denn nicht nur die Existenz eines mathematischen Objektes beweisen, sondern auch einen Hinweis auf seine Konstruktion geben.

    […] der Beweis des Zwischenwertsatzes ist ohnehin ein Beweis, den die meisten Mathematiker wohl trotz des benötigten Grenzwertes als einen konstruktiven (im Sinne von algorithmisch umsetzbaren) Beweis ansehen würden. Und der Beweis der umformulierten Aussage unterscheidet sich auch nicht grundsätzlich vom bekannten Beweis des Zwischenwertsatzes.

    Insofern ist mir nicht recht klar geworden, welche Erkenntnis man also damit gewinnt, dass sich manche bekannten Sätze auch in der konstruktiven Mathematik beweisen lassen.

  3. #3 UMa
    7. Dezember 2016

    @Thilo:

    Konstruktive Mathematik nimmt nicht von vornherein an, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist, sondern sie muss das in jedem Einzelfall beweisen. Zum Beispiel muss sie erst aus den Peano-Axiomen der natürlichen Zahlen herleitne, dass zwei Zahlen entweder gleich oder ungleich sind. Man kann in der konstruktiven Mahematik, dass nicht gleichzeitig P und nicht-P gelen können, aber man weiss im Allgemeinen nicht, dass eines von beiden richtig ist.

    Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Man kann aus dem Auswahlaxiom herleiten, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist. Konstruktive Mathematik muss also auf das Auswahlaxiom verzichten.

    Das irritiert mich jetzt etwas. Widerspricht das nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz?
    https://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz

  4. #4 Thilo
    7. Dezember 2016

    Bauer zitiert Diaconescu, ich copy-paste den Beweis mal hier hinein:

    The axiom of choice implies excluded middle.

    Proof: Consider an arbitrary proposition P. To decide P, define

    A = {x ∈ {0, 1} | P ∨ (x = 0)} and B = {y ∈ {0, 1} | P ∨ (y = 1)}.

    Every member of {A, B} is inhabited because 0 ∈ A and 1 ∈ B. By the axiom of
    choice there is a function f : {A, B} → A ∪ B such that f(A) ∈ A and f(B) ∈ B.
    Because f(A) ∈ {0, 1}, we have f(A) = 0 or f(A) = 1, and because f(B) ∈ {0, 1},
    we have f(B) = 0 or f(B) = 1. We consider four cases organized as follows:

    (1) if f(A) = 1, then 1 = f(A) ∈ A, so P ∨ (1 = 0), which is equivalent to P;
    (2) if f(B) = 0, then 0 = f(B) ∈ B, so P ∨ (0 = 1), which is equivalent to P;
    (3) if f(A) = 0 and f(B) = 1, then ¬P: if P were true, we would have
    A = B = {0, 1}, and so 0 = f(A) = f(B) = 1, a contradiction.

    In each case we decided whether P or ¬P holds.

  5. #5 Manuel Rodriguez
    7. Dezember 2016

    Das irritiert mich jetzt etwas. Widerspricht das nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz?

    https://www.youtube.com/watch?v=_RT7fiWFaTg
    Zeitindex 3:44

  6. #6 alex
    7. Dezember 2016

    @Thilo:
    Macht der letzte Schritt

    (3) if f(A) = 0 and f(B) = 1, then ¬P: if P were true, we would have A = B = {0, 1}, and so 0 = f(A) = f(B) = 1, a contradiction.

    nicht die Annahme, dass entweder P oder nicht-P richtig ist? Es wird doch nur gezeigt, dass P nicht wahr sein kann. Nicht dass nicht-P wahr sein muss.

  7. #7 Thilo
    7. Dezember 2016

    @alex: Der Punkt mit der konstruktiven Mathematik ist gerade, dass ein Beweis “nehme an P gilt, erhalte einen Widerspruch, also gilt nicht-P” erlaubt ist, während ein Beweis “”nehme an nicht-P gilt, erhalte einen Widerspruch, also gilt P” nicht erlaubt wäre.
    Das ist etwas verwirrend, es wird aber gleich im ersten Kapitel von Bauers Arbeit erklärt.

  8. #8 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2015/06/25/quadratur-des-kreises/
    8. Dezember 2016

    In der Überschrift vielleicht Konstruktivismus, nur wegen der Suchmaschinen; wir Leser könnten damit kleben.

    • #9 Thilo
      8. Dezember 2016

      Oh, wie peinlich. Ist korrigiert.

  9. #10 Volker Birk
    http://blog.fdik.org
    8. Dezember 2016

    Wer den Gödelschen Unvollständigkeitssatz in eine Diskussion wie diese einbringt, könnte den Vollständigkeitssatz von Gödel noch einmal lesen, und überlegen, wodurch sich jener vom Unvollständigkeitssatz unterscheidet (und weshalb beide richtig sind).

    Das hängt nun durchaus mit der konstruktivistischen Mathematik zusammen:

    Den Sätze, also die mathematische Sprache, sprechen über mathematische Objekte. Und Logik lässt sich (im mathematischen Sinne) strukturell mit mathematischen Objekten beschreiben.

    Aber Sprache ist immer mehr als eine Ansammlung mathematischer Objekte, sogar die Sprache der Mathematik ist das. Sie ist es zwingend, sonst ist sie ohne Bedeutung.

    Die Forderung, alle mathematischen Objekte konstruieren zu wollen – verschärft meistens formuliert, dass andere mathematischen Objekte nicht bestehen sollen – fordert die (mathematische) Strukturidentität zwischen den mathematischen Objekten und der mathematischen Sprache, schwächer mindestens einen Homomorphismus.

    Es besteht jedoch keiner, ausser man nimmt künstlich alles an mathematischer Sprache weg, was einem nicht in den Kram passt. Und genau das machen die Konstruktivisten ja auch.

    Eine gute Begründung liefern sie dafür keine. Denn die mathematische Sprache ausserhalb solcher Beschränkung ist praktikabel – sie beweist das jeden Tag aufs Neue.

    Man kann es auch anders formulieren:

    Sprachen sind abzählbar, alle. Das Überabzählbare muss dann auch aus der konstruktivistischen Mathematik verschwinden. Und wiederum, es ist jedoch höchst praktisch, über überabzählbare mathematische Objekte zu sprechen – und man verliert eine Menge Aussagekraft, wenn man’s nicht macht.

    Insofern ist konstruktivistische Mathematik vor allem eines: beschränkt, und zwar künstlich, ohne Nutzen.

  10. #11 Volker Birk
    http://blog.fdik.org
    8. Dezember 2016

    Zur ZF(C): die ist heute so gängig, dass ich das Argument nicht verstehe, der Blogautor hätte etwa unrecht.

  11. #12 UMa
    8. Dezember 2016

    Also ich habe die Aussage

    Die heute gebräuchliche Mathematik benutzt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Man kann aus dem Auswahlaxiom herleiten, dass für jede Aussage entweder P oder nicht-P richtig ist.

    so aufgefasst, dass die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre vollständig sei.

  12. #13 Manuel Rodriguez
    https://trollheaven.wordpress.com/
    8. Dezember 2016

    Volker Birk wrote:

    Wer den Gödelschen Unvollständigkeitssatz in eine Diskussion wie diese einbringt, könnte den Vollständigkeitssatz von Gödel noch einmal lesen, und überlegen, wodurch sich jener vom Unvollständigkeitssatz unterscheidet (und weshalb beide richtig sind).

    Vermutlich ist das eine Anspielung auf die Prädikatenlogik zweiter Stufe und die Programmiersprache APL. Das letzte Mal als ich dazu einen Vortrag gesehen habe, war auf der Bühne eine Art von Borg Drohne zu sehen die exakt so aussah wie die aus Startrek TNG. Das hat mir dann doch etwas Angst gemacht, ich glaube das ist zu hart für mich.

  13. #14 Volker Birk
    http://blog.fdik.org
    11. Dezember 2016

    @UMa: das ist die alte Diskussion über die Unterscheidung von Satz und Proposition. Sätze gibts nur abzählbar viele, Propositionen gibt es viel mehr.

    Man sollte also jeweils festlegen, was von beiden man mit “Aussage” meint. Insofern ist die ZF(C) als Theorie vollständig (bezüglich der Propositionen), als Kalkül unvollständig (Gödel).

  14. […] hatten vor zwei Monaten mal über mathematische Theorien geschrieben, in denen aus der Verneinung einer Verneinung nicht die Richtigkeit der doppelt verneinten Aussage […]

  15. #16 quadrocopterversicherung.com
    26. April 2017

    Bemerkenswerter Einfall. Allerdings will ich auch sehen, dass Dinge nicht jedes Mal so einfach sind. Bodenständigkeit ist manchmal besser als Wolkenkuckungsheime.

    Werbelink entfernt. TK

  16. #17 Ingo Blechschmidt
    Augsburg
    12. Juli 2018

    “Insofern ist mir nicht recht klar geworden, welche Erkenntnis man also damit gewinnt, dass sich manche bekannten Sätze auch in der konstruktiven Mathematik beweisen lassen.”

    Manuel hat dazu ja schon eine gute Antwort gegeben, die Frage nach konkreten Berechnungen betreffend.

    Es gibt noch eine ganz andere Antwort: Sätze, die sich konstruktiv beweisen lassen, gelten in viel größerer Allgemeinheit als zunächst sichtbar — sie gelten nämlich in allen Topoi, nicht nur dem Standardtopos der Mengen. Etwa zieht jeder konstruktive Satz eine “Garbenversion” seiner selbst nach sich.

    Das hat konkrete Anwendungen in Analysis, Algebra und Geometrie. Ich gab mir Mühe, in dem verlinkten Foliensatz kein Vorwissen aus Kategorien- oder Garbentheorie vorauszusetzen. Fragen sind sehr willkommen!

  17. #18 Frank Wappler
    https://de.wikipedia.org/wiki/Operator_(Mathematik)#Operatoren_der_Physik
    13. Juli 2018

    Ingo Blechschmidt schrieb (#17, 12. Juli 2018):
    > Sätze, die sich konstruktiv beweisen lassen, gelten in viel größerer Allgemeinheit als zunächst sichtbar — sie gelten nämlich in allen Topoi, nicht nur dem Standardtopos der Mengen.
    > […] Foliensatz [ https://rawgit.com/iblech/internal-methods/master/slides-leipzig2018.pdf … ]

    Zumindest einen kleinen Ausschnitt davon finde ich unmittelbar einleuchtend:

    [S. 11/30:] Given just the promise of an inhabited subset [of the natural numbers N], we can’t algorithmically determine its minimum.

    Deshalb möchte ich daran eine Frage knüpfen (deren eventuelle Antwort auch weiterreichende Relevanz haben mag):

    Was ist die konkrete symbolische Notation für (“die mathematisch-konstruktivistische Sprechweise”):
    just the promise of (a specific mathematical object)” ?

    In der (Experimental-)Physik ist an vermutlich vergleichbarer Stelle die “Hut”- bzw. “Operator”-Notation gebräuchlich, d.h. z.B. \hat A als Symbol für

    – “das Versprechen, eine bestimmte, festgesetzte und festhaltbare Mess- bzw. Bewertungsmethode auf versprochene Beobachtungsdaten \hat \psi anzuwenden, falls und wenn diese als \psi zur Verfügung stehen (werden)”, und insbesondere

    – “das Versprechen, ggf. diese Daten \psi \equiv \psi^A_a zu nennen, falls \langle \psi | \psi \rangle \ge 0 und \langle \hat A \, \psi | \hat A \, \psi \rangle \, \langle \psi | \psi \rangle = \langle \hat A \, \psi | \psi \rangle \, \langle \psi | \hat A \, \psi \rangle gefunden würde, wobei a den Wert der Zahl \frac{\langle \psi^A_a | \hat A \, \psi^A_a \rangle}{ \langle \psi^A_a | \psi^A_a \rangle} symbolisiert”.

    p.s.
    Da im o.g. Foliensatz u.a. auch Turing-Maschinen erwähnt wurden, möchte ich anmerken, dass (mir insbesondere) Antworten oder auch weiterführende Fragen dazu sehr willkommen sind.

  18. #19 hubert taber
    15. Juli 2018

    lieber nick frank wappler!
    sie sind ein vernunftbegabtes wesen.
    bitte lesen sie diesen link:
    https://diepresse.com/home/science/dissertation/5193677/Die-Metamorphose-des-Stroms#kommentare

    mfg. hubert taber

  19. #20 Frank Wappler
    http://scienceblogs.de/sic/2014/01/27/science-of-science-communication/#ScienceBlogs.SandBox
    17. Juli 2018

    hubert taber schrieb (15. Juli 2018):
    > lieber nick frank wappler! sie sind ein vernunftbegabtes wesen.

    Zumindest nehme ich es nicht gern unwidersprochen hin, dass mein Name durch Kleinschreibung verunstaltet wird, oder gar als “nick” missverstanden würde.

    (Den Rest meines Kommentars möchte ich in zwei getrennten teilen einreichen, in der Hoffnung, dass die darin enthaltenen \LaTeX-Formeln wie erwartet dargestellt werden.)

    > bitte lesen sie diesen link:
    > https://diepresse.com/home/science/dissertation/5193677/Die-Metamorphose-des-Stroms#kommentare

    Diese Aufforderung beinhaltet vermutlich auch den Wunsch, dass darauf reagiert wird.
    Dem möchte ich hinsichtlich zweier Aussagen, die ich dort erkennen kann, nachkommen:

    z.b. die pseudoerklärung eines rechteckimpulses durch fourier.
    er bewerktstellig diese durch oberwellenaddition.
    nur ungerade (1te, 3te, 5te …), auch die amplituden und die phase müssen stimmen.
    also eine realitätsfremde sinnentleerte math. spielerei.
    und wenn er noch so lange addiert wird dieses konstrukt NIE zu einer exakten sprungfunktion.

    Mir fällt zur Fourier-Darstellung der (unendlichen, periodischen) Rechteckfunktion immerhin etwas auf, dass ich mir aus meinem Analysis-Unterricht zumindest nicht gemerkt hatte (falls es überhaupt angesprochen wurde; es ist ja schon etwas länger her):

    Für eine Rechteckfunktion entsprechend der folgenden Definition

    r : \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \qquad r[ \, t \, ] \mapsto \begin{cases} 0, & \text{ wenn } \frac{2 \, t}{T} = \lfloor \frac{2 \, t}{T} \rfloor \cr h, & \text{ wenn }  0 < \frac{t}{T} - \lfloor \frac{t}{T} \rfloor < \frac{1}{2} \cr -h, & \text{ wenn }  \frac{1}{2} < \frac{t}{T} - \lfloor \frac{t}{T} \rfloor < 1 \end{cases}

    gilt: [… fortgesetzt im 2. Teil]

  20. #21 Frank Wappler
    http://scienceblogs.de/mathlog/2016/12/07/kontruktivismus/#comment-234444
    17. Juli 2018

    [Fortsetzung des 1. Teils: …] gilt:

    \forall t \in \mathbb R : \begin{cases} \text{ entweder } & \frac{2 \, t}{T} = \lfloor \frac{2 \, t}{T} \rfloor  \text{ sodass } \forall k \in \mathbb N : \text{Sin}\left[ \, 2 \, (2 k - 1) \, \pi \, \left(\frac{t}{T}\right) \, \right] = 0 \cr \text{ oder } & \forall \epsilon > 0 \in \mathbb R : \, \exists \delta > 0 \in \mathbb R : \exists n \in \mathbb N : \cr \, & \forall \theta \in \mathbb R \text{ f\"ur die } \| \theta - t \| < \delta : \cr \, & \left| r[ \, t \, ] - \left(\frac{4 \, h}{\pi}\right) \sum_{k = 1}^n \left[ \, \frac{1}{(2 \, k - 1)} \, \text{Sin}\left[ \, 2 \, (2 k - 1) \, \pi \, \left(\frac{t}{T}\right) \, \right] \, \right] \right| < \cr \, & \qquad \frac{h}{n} < \epsilon. \end{cases}

    Es erscheint mir deshalb zumindest ungenau zu sagen, dass die Partial-Fourier-Summen an den "Sprungstellen r[ \, t \, ] = 0" im Sinne des “\epsilon\delta-Kriteriums” konvergieren.

    Außerdem:

    ein reckteckgenerator wird an den beginn der kupferschiene angeschlossen und ebenso der kanal 1 des oszilloskops.
    der kanal 2 wird am ende der schiene angeschlossen.
    und damit ist die laufzeit des impulses messbar und die geschwindigkeit errechenbar.
    pro 1 meter 1,6 nanosekunden = 6 E 8 m/s
    also DOPPELT LICHTSCHNELL.

    Was ist der konkrete detaillierte Rechenweg, der zu diesem Ergebnis führt ?
    Falls dabei Signalfrontgeschwindigkeit eine Rolle spielt, gehe ich jedenfalls davon aus, dass die Signalfront eines Signals, das von einem bestimmten Ende einer Schiene dargestellt/angezeigt und vom anderen Ende wahrgenommen wurde, das (jeweils) allererste ist, was das andere Ende vom Signal wahrnahm.

  21. #22 hubert taber
    17. Juli 2018

    lieber Frank Wappler!
    unter einer sprungfunktion verstehe ich eine unendlich schnelle addition.
    das konstrukt von fourier wird aber nie zu einem idealen rechteckpuls.

    der versuch beweist doppelt lichtschnelle signalübertragung.
    und damit ist c kein maximum.

    welche rechnung dahintersteht?
    s / v = t
    diese division wird niemals relativ auch nicht bei kleinsten strecken und auch nicht bei geschwindigkeiten über c.

    möglich wird diese schnelle übertragung durch die völlige selbstinduktionfreiheit der kupferschiene.

    dieser fakt ist auch nicht durch miesmache wegzudiskutieren die von allen mitpostern im SB betrieben wird.
    mfg. hubert taber

  22. #23 Frank Wappler
    18. Juli 2018

    Frank Wappler schrieb (#21, 17. Juli 2018):
    > […] Es erscheint mir deshalb zumindest ungenau zu sagen, dass die Partial-Fourier-Summen an den “Sprungstellen r[ \, t \, ] = 0” im Sinne des “\epsilon\delta-Kriteriums” konvergieren.

    Richtiger bzw. sorgfältiger lässt sich wohl sagen, dass die Partial-Fourier-Summen
    \sum_{k = 1}^n \left[ \, \frac{1}{(2 \, k - 1)} \, \text{Sin}\left[ \, 2 \, (2 k - 1) \, \pi \, \left(\frac{t}{T}\right) \, \right] \, \right]
    auf offenen Intervallen, die an Nullstellen der (oben, in Kommentar #20 definierten) Sprungfunktion r grenzen, nicht gleichmäßig konvergent sind.

  23. #24 Frank Wappler
    18. Juli 2018

    hubert taber schrieb (#22, 17. Juli 2018):
    > […] der versuch beweist doppelt lichtschnelle signalübertragung.

    Mit “licht” im Rahmen der (Geometrie bzw. Kinematik der) RT ist aber jeweils genau die Signalfront und damit die grundsätzlich “schnellstmögliche Signalübertragung” gemeint;
    und die Behauptung “Signalübertragung doppelt so schnell wie die schnellstmögliche Signalübertragung” ist von vornherein absurd, ungeachtet irgendwelcher experimenteller Befunde oder gar sogenannter “beweise“.

    > welche rechnung dahintersteht?
    > s / v = t

    In den durch #19 (15. Juli 2018) verlinkten und von mir in #21 (17. Juli 2018) zitierten Kommentaren war aber ausdrücklich die Rede davon, dass “die geschwindigkeit errechenbar” sei.

    Folglich müsst eine entsprechende Rechnung doch eher mit “v = …” anfangen, nicht wahr ?

    > diese division wird niemals relativ auch nicht bei kleinsten strecken […]

    Hmm … Zweifellos ist die (einvernehmliche) chronometrische Distanz zweier (unterscheidbarer, voneinander getrennter) “Enden” A und B voneinander,

    \text{Distanz}[ \, A, B \, ] := \frac{c}{2} \, \tau A^{\text{ping}B} \equiv \frac{c}{2} \, \tau B^{\text{ping}A}

    nur für solche Paare von Enden definiert, die gegenüber einander ruhten; sodass deshalb auch ganz ausdrücklich die Gleichheit ihrer gegenseitigen Pingdauern feststellbar ist:

    \tau A^{\text{ping}B} = \tau B^{\text{ping}A}.

    Das gilt selbstverständlich ganz ungeachtet irgendwelcher anderer Beteiligter, die gegenüber diesen beiden Enden nicht ruhten (sofern solche Beziehungen mit “relativ” gemeint wären).

    > und auch nicht bei geschwindigkeiten über c.

    Offenbar lassen sich auch Arten von Geschwindigkeiten als Messgrößen definieren, die sich von Signalfrontgeschwindigkeit unterscheiden; insbesondere Phasen- sowie Gruppengeschwindigkeit;
    und diese Messgrößen haben (deshalb) auch andere Wertebereiche als der Wertebereich der Signalfrontgeschwindigkeit (der nur aus einem einzigen Wert besteht, der c_0 oder kurz c genannt wird).

    Es ist und bleibt aber absurd zu behaupten, dass ein Wert von Signalfrontgeschwindigkeit gefunden werden könne, der über dem Wert der Signalfrontgeschwindigkeit läge.

  24. #25 hubert taber
    18. Juli 2018

    @ Frank Wappler:
    absurd sind nur die behauptungen derer die von der RT nicht abrücken.
    wenn auch der 2te tastkopf am beginn angelegt wird sind die beiden flanken deckungsgleich.
    bein wegrücken vom beginn richtung ende wandert die 2te flanke synchron mit.
    da gibt es keine zweideutigkeiten.
    gruppenlaufzeiten etc. sind irrelevant da der rechteckpuls intakt bleibt.

    und damit verabschiede ich mich.
    mfg. hubert taber

  25. #26 hubert taber
    18. Juli 2018

    p.s. wie die geschwindigket erechnet wird:
    v = s / t
    und t wird am oszilloskopschirm in nanosekunden angezeigt.
    der abstand der beiden flanken.
    ohne jedes geschwafel.
    mfg. h.t.

  26. #27 Frank Wappler
    https://www.bipm.org/metrology/length/units.html
    19. Juli 2018

    hubert taber schrieb (#25, #26, 18. Juli 2018):
    > wenn auch der 2te tastkopf am beginn angelegt wird sind die beiden flanken deckungsgleich.

    Soweit ich ein wenig von Oszilloskopen verstehe, lässt sich die eventuelle Deckung oder Separation der Bildschirm-Darstellungen verschiedenen Kanäle “geeignet hindrehen”.
    (Was u.a. dafür nützlich sein kann, um gewisse “cable delays auszugleichen”.)

    > bein wegrücken vom beginn richtung ende wandert die 2te flanke synchron mit.

    Das beginnt allmählich nachvollziehbar zu werden.
    Und dabei bedeutet “synchron” genau: … Was?
    (Etwa: “dass das Verhältnis der Distanz zwischen den beiden Tastköpfen und der Distanz der beiden Bildschirm-Flanken stets konstant blieb” ?)

    > gruppenlaufzeiten etc. sind irrelevant da der rechteckpuls intakt bleibt.

    Ich bin zwar nicht Elektroniker genug, um bestreiten zu können, dass sich dabei überhaupt exakte Rechteck-Pulse einerseits injizieren und andererseits wiederum in den Bildschirmdarstellungen finden ließen …

    > wie die geschwindigket erechnet wird: v = s / t

    So dachte ich mir auch.

    > und t wird am oszilloskopschirm in nanosekunden angezeigt.

    Woher wissen wir das denn ??, bzw.
    Wie könnten wir denn zumindest im Prinzip überprüfen, ob und in wie fern das stimmt ??
    (Etwa: “weil das so auf den Oszilloskopknöpfen steht” ?,
    oder: “weil jemand eine Art Kuckuck auf’s Oszilloskop geklebt hat, der besagen soll, dass das, was auf den Oszilloskopknöpfen steht, stimmt” ?? …)

    Und dann bleibt noch etwas ebenfalls ganz Wesentliches, nämlich “s“, bzw.
    der (jeweilige) Wert der Distanz zwischen den beiden Tastköpfen …