Die Gaußsche Korrelationsungleichung wird gerne mit einem Dartspiel erklärt: wenn man auf zwei konzentrische Formen wirft, dann ist die Wahrscheinlichkeit beide gleichzeitig zu treffen mindestens so groß wie das Produkt der beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

Ein bei der WELT erschienener Artikel Deutscher Experte löst jahrzehntealtes Mathe-Rätsel erklärt die Gaußsche Korrelationsungleichung mit dem folgenden Bild:

IMG_0583

Bemerkenswert ist der fett gedruckte Teil der Erläuterung: Durch Überlappung der Formen steigt die Wahrscheinlichkeit (P), dass beide getroffen werden.

Das ist natürlich nicht falsch, denn wenn sich die Formen nicht überlappen würden, dann könnte man nicht beide gleichzeitig treffen – mithin wäre die Wahrscheinlichkeit Null.

Es ist aber Unsinn, denn natürlich ist diese Trivialität nicht die Aussage der Gaußsche Korrelationsungleichung. (In der mathematischen Formulierung der Ungleichung wird vorausgesetzt, dass die beiden Formen symmetrisch um den Nullpunkt und außerdem konvex sind. Insbesondere liegt der Nullpunkt in beiden, das “Überlappen” ist also Teil der Voraussetzung.)

Ebenso verwirrend ist aber das Bild selbst: der Kreis dort ist vollständig im Quadrat enthalten, damit ist die Wahrscheinlichkeit beide zu treffen genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit nur den Kreis zu treffen und die Gaußsche Korrelationsungleichung folgt einfach aus der trivialen Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit das Quadrat zu treffen höchstens 1 ist.

Also kein gutes Bild, um die Ungleichung zu illustrieren. Man fragt sich, warum das als Quelle angegebene Quanta Magazine zu diesem Bild gegriffen haben sollte. Das hat es aber gar nicht: das Bild im Artikel A Long-Sought Proof, Found and Almost Lost sieht in Wirklichkeit so aus:
IMG_0584
Dort überlappen sich Kreis und Rechteck also wirklich und es ist nicht das eine im anderen enthalten. Die WELT fand anscheinend die Darstellung des Quanta Magazines zu kompliziert und wollte sie durch eine einfachere ersetzen.

Ein anderes Bild wiederum verwendet der Artikel Der Wunderopa der Mathematik auf SPIEGEL Online:
IMG_0585
Hier ist das Problem, dass ein Dreieck nicht zentralsymmetrisch bzgl. des Nullpunktes sein kann und mithin die Voraussetzungen der Gaußschen Korrelationsungleichung nicht erfüllt, also nicht für deren Illustrierung geeignet ist. (Nachtrag 11.4.: das Bild wurde inzwischen korrigiert.)

Mit Dank an Thomas Royen für den Hinweis und Günter Ziegler für die Weiterleitung.

Kommentare (21)

  1. #1 Karl Mistelberger
    10. April 2017

    > Die WELT fand anscheinend die Darstellung des Quanta Magazines zu kompliziert und wollte sie durch eine einfachere ersetzen.

    Wie schon hier angemerkt: http://scienceblogs.de/mathlog/2017/04/03/grosse-zahlen-5-millionen-bauarbeiter/#comment-199017

    Ballhorn ist immer und überall (frei nach EAV).

  2. #2 hubert taber
    10. April 2017

    meine erklärung des scheinbegriffes “wahrscheinlichkeit” im vorherigen mathlog wurde also von nicht aufnahme-fähigen gelesen.

    post ist auch auf der seite “nichteuklidischer”-raum.
    der aber wie auch der minkowski-raum und räume “höherer” ordnung nur irrationales hirngespinst ist.

    mfg.h.t.

  3. #3 Günter M. Ziegler
    FU Berlin
    10. April 2017

    … interessanterweise steht aber schon bei Quanta “The overlap of the two shapes increases your probability (P) of striking both.” Das macht keinen Sinn, und wird eben auch durch Übersetzen ins Deutsche nicht besser….

  4. #4 Corinne Freundt (TH Bingen)
    Bingen
    10. April 2017

    Hier skizziert Prof. Royen persönlich seine Erklärung: https://youtu.be/Lgt_Gcwmz1w

  5. #5 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    10. April 2017

    . . . .. “Falsches Bild, falsche Erläuterung” ???
    Wie muss denn ein “richtiges” Bild, “richtige” Erläuterung aussehen?
    Bei mir entsteht das Bild einer “Lügen-Presse”? Kann ein solches Trugbild mathematisch aufgelöst werden? Kann mir das jemand RICHTIG erläutern?

    . . . .. Ich fand die beiden Artikel sehr interessant und aufschlussreich. Selber kenne ich zwei mathematisch begabte Personen, welche von der Kaste der Mathematiker nicht angehört / anerkannt wurden. Mich hat die erzählte Geschichte angesprochen und ich kann den Inhalt entsprechend zuordnen . . . ..

  6. #6 Lercherl
    11. April 2017

    @erik||e oder wie auch immer . . . .

    In der Mathematik kommt es auf Details an. Wenn ein Satz bewiesen wird: “Unter den Voraussetzungen A, B und C gilt D” – dann macht der Satz keinerlei Aussagen darüber, was gilt, wenn z.B. C nicht erfüllt ist, oder wenn statt C eine ähnliche, aber andere Bedingung erfüllt ist. Das ist der Fehler mit dem Bild mit der Pistole und dem Dreieck. Das Dreieck ist nämlich nicht zentralsymmetrisch, d.h. wenn ein Punkt innerhalb des Dreiecks liegt, muss der im selben Abstand dem Mittelpunkt gegenüberliegende Punkt nicht unbedingt im Dreieck liegen. Das ist eine der Voraussetzungen für den Beweis.

    Das Bild aus der “Welt” ist zwar nicht falsch, die zugrundeliegende Ungleichung ist aber trivial, und illustriert daher nicht das von Royen gelöste Problem.

    Ein richtiges Bild ist das aus “Quanta”.

  7. #7 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    11. April 2017

    @Lercherl
    . . . .. Wie gross darf die “Standardabweichung” der “Lügen-Presse” vom, von den “Mathematikern” gesetzten, “Erwartungswert” sein?

    Die vielen ” ” setze ich deshalb, weil sich mathematische Begriffe und Medienbegriffe in einem Satz vermengen . . . ..

  8. #8 hubert taber
    11. April 2017

    @ erik||e
    nicht lügen-presse.
    die sind nur dämlich.
    lügen-mathematiker.
    die sind hochnäsig und dämlich.

    es will nicht in deren schädeln dass die “wahrscheinlichkeit” nur ein wirres konstrukt ist.

    jedes sich ergebende ereignis und jeder chronologischer ablauf der dinge scheisst auf deren scheinlogische “wahrscheinlichkeit”.

    http://scienceblogs.de/mathlog/2017/02/15/nichteuklidische-virtuelle-realitt/#comments

    mfg. hubert taber

  9. #9 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    11. April 2017

    @hubert taber
    . . . .. “Mathematik” trägt in sich die Möglichkeit zu verstehen, woran die “Religion” (eine systematisch geordnete Menge von Individuen (Menschen)) glaubt.

    . . . .. “Wahrscheinlichkeitsrechnung” zeigt, das “zufällige” Ereignisse in einem gemeinsamen räumlichen / zeitlichen Zusammenhang stehen . . . .. und widerlegt die angenommene Zufälligkeit.

    . . . .. die mathematischen Konstanten e und π bilden in meiner Vorstellung einen diskreten geometrischen Raum|Zustand|Objekt absoluter Grösse . . . .. mit welchen man “rechnen” kann . . . ..

    . . . .. kosmische Konstanten verhalten sich anders . . . ..

    Danke für ihre Anregung
    Mit freundlichen Grüßen. . . ..

  10. #10 Chemiker
    11. April 2017

    Hier ist das Problem, dass ein Dreieck nicht zentral­symmetrisch bzgl. des Null­punktes sein kann und mithin die Voraus­setzungen der Gauß­schen Korrelations­ungleichung nicht erfüllt, also nicht für deren Illustrierung geeignet ist.

    Wozu wird denn diese Symmetriebedingung eigent­lich ge­braucht? Die Wahr­schein­lich­keits­dichte der Pfeile ist ja rotations­symmetisch, und daher sollte es doch egal sein, ob die Zipfel des Dreiecks jetzt links, rechts oben oder unten über den Kreis hinaus­ragen, oder ob es drei oder vier davon gibt. Kann man das qualitativ erklären, ohne den ganzen Beweis durchzuarbeiten?

  11. #11 hubert taber
    11. April 2017

    @ erik||e
    danke für deine belehrung.
    “wahrscheinlichkeit” gibts noch immer keine.
    ebensowenig “zufall”.

    mfg. h.t.

  12. #12 Thilo
    11. April 2017

    Nachtrag: das Bild mit dem Dreieck auf Spiegel Online wurde inzwischen korrigiert.

  13. #13 Karl Mistelberger
    12. April 2017

    > #10 Chemiker, 11. April 2017
    >> Hier ist das Problem, dass ein Dreieck nicht zentral­symmetrisch bzgl. des Null­punktes sein kann und mithin die Voraus­setzungen der Gauß­schen Korrelations­ungleichung nicht erfüllt, also nicht für deren Illustrierung geeignet ist.
    > Wozu wird denn diese Symmetriebedingung eigent­lich ge­braucht?

    Wahrscheinlich nur dafür, den Beweis zu führen. Ein früherer Beweis für einen Spezialfall verlangt zweidimensionale, konvexe Formen, zu denen das Dreieck zweifellos gehört:

    Special cases of the GCI have been proved — in 1977, for instance, Loren Pitt of the University of Virginia established it as true for two-dimensional convex shapes …

    Royen hat ja einen allgemeineren Fall bewiesen, wahrscheinlich gelang ihm das nur unter der Annahme von Zentralsymmetrie.

    Im Übrigen soll die Abbildung im Artikel von Natalie Wolchover eher die Natur der beiden erwähnten Probleme illustrieren. Dass die Abbildung die Aussage der Gaußsche Korrelationsungleichung veranschaulicht halte ich für eine Übertreibung.

  14. #14 hubert taber
    12. April 2017

    ich richte mich an diejenigen die sinnerfassend lesen können.

    sind meine erklärungen hier und im vorherigen mathlog “Zeitschriftenspam und die Gauß’sche Korrelationsungleichung” sichtbar und lesbar?

    oder schreibe ich ins leere?
    mfg. h.t.

  15. #15 Thilo
    12. April 2017

    Beides.

  16. #16 hubert taber
    12. April 2017

    wobei sich die frage stellt in welche “leere”.
    die des programmierers.
    die der leser.
    die des moderators.
    welche “leere”?
    h.t.

  17. #17 hubert taber
    12. April 2017

    hier noch etwas weniger “leeres”:
    https://derstandard.at/userprofil/postings/84963

    und tschüss.
    h.t.

  18. #18 Nestiiii
    18. April 2017

    Hallo Hubert,

    Etwas weniger “leeres” – sehr witzig…

    Nachdem ich ja inzwischen schon öfter versucht habe Deinen Crank-Gedanken auf den Grund zu gehen, habe ich einen Teil Deiner derstandard-Postings bereits gelesen (geht ja nur in geringer Dosis)…
    Einfach weil ich verstehen möchte wie man zu all diesen Crank-Gedanken, und dieser “I-Know-It-Better” Mentalität kommt (nicht Du speziell, nur Du bist halt ein super Beispiel).
    Denkst Du Dir nicht selber, dass es etwas komisch ist von Leuten wie mir als “Crank” verunglimpft zu werden, wo Du doch all das weißt und z.B. die Überlichtgeschwindigkeitsgrenze mit simplen Versuchen durchbrochen zu haben glaubst? Also mich würde das Ärgern – vor Allem wenn ich meine “alternativen Theorien” auch noch zu beweisen können glaube. Du hast ja anscheinend genug Zeit all die “lustigen” Troll-Kommentare zu schreiben… Warum fasst Du nicht stattdessen Deine weltbewegenden Erkenntnisse in irgendeiner verständlichen Form mal zusammen? Und bitte verstehe mich nicht falsch, ich würde mich sehr freuen wenn Du wirklich irgendetwas spektakuläres herausgefunden hättest, und würde Dir den Ruhm auch gönnen.

    Fang z.B. gleich mal hier an. “Es gibt keine Wahrscheinlichkeit und keinen Zufall” – na Bumm! D.h. Gott (oder die Sterne oder was Du halt glaubst) will das ich beim Karten spielen immer verliere? Das ist gar kein Zufall? 😉
    Ich mein halt, wie kann man mit Deiner offensichtlichen Bildung und Intelligenz sowas in den Raum stellen, und erwarten, das Leser eines wissenschafts-Blogs das so hinnehmen? Du bist ja auf so einer Art “wachrüttel Mission” für all die vermeintlich “Verblendeten” die sich vielleicht ihr Leben lang mit Quantenmechanik beschäftigen, nur um dann von Dir im eleganten 1-Zeilen Beweis zu erfahren, dass es z.B. gar keine Wahrscheinlichkeit gibt. Ja dann mal her mit dem Beweis – das würde einschlagen!
    Du kannst Das natürlich nicht – ist ja auch Blödsinn – trotzdem “lehnst” Du Dich immer so “aus dem Fenster” mit Deinen provokanten Aussagen.
    Sicher, Dein Beruf als Astrologe unterstützt Deine Glaubwürdigkeit nicht unbedingt, würde mich aber jetzt nicht stören, wenn Du mal was handfestes vorbringen könntest…

    so – das war etwas weniger “leeres” von mir, genauso überflüssig wie Dein Kommentar, aber verbraucht mehr Platz – also weniger “Leere” 😉

  19. #19 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    18. April 2017

    @Nestiii
    “Einfach weil ich verstehen will…”
    Geht mir so wie dir . . . .. ich will verstehen, warum es im Universum [actio]=[reactio] gibt? Jede Bewegung erfährt eine Gegenbewegung und beide finden einen Bewegungsraum, wo sie zueinander finden . . . .. Gibt es einen Weg||Theorie diesem Bewegungsraum seine gesamte Energie “wegzunehmen”, ihm eine “Leere” zu verordnen? Um eine solche Leere zu erschaffen braucht es eine Ordnung des Verstandes, welcher diese Bewegungsenergie in einen anderen Bewegungsraum ohne [actio]=[reactio] transportiert . . . .. ein Beweis benötigt der Verstand dabei nicht, denn er erfährt ein Wachstum an Wissen, welches der wegzunehmenden Bewegungsenergie||-form entspricht . . . ..

    . . . .. aus diesem Gedanken heraus, kann man verstehen, warum es keinen Zufall gibt . . . ..

  20. #20 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    18. April 2017

    @Nestiiii
    “Einfach weil ich verstehen möchte…” . . . .. tut mir leid, habe dich falsch zitiert.

  21. #21 hubert taber
    1. Mai 2017

    @ Nestiiii
    noch zum “crank”:
    http://www.spiegel.de/forum/member-846693.html

    und zu meinem beruf:
    ich bin fernmeldetechniker.
    in den derstandard-posts erkennbar.

    und l.m.a.a.