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Die Vierfarbenvermutung besagte, dass man jede ebene Landkarte mit vier Farben einfärben kann, so dass benachbarte Länder stets unterschiedliche Färbungen erhalten. Sie war ein schon im 19. Jahrhundert gestelltes, lange offenes Problem. Martin Gardner behauptete in einem Aprilscherzartikel 1975 (neben einigen offensichtlich abwegigen Behauptungen), dass die unten abgebildete Karte nicht mit vier Farben gefärbt werden könne.
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Eine nicht funktionierende Färbung zeigt das Bild unten. Andere Leser fanden aber in oft tagelanger Arbeit Lösungen zu Gardner Karte.
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Bewiesen wurde die Vierfarbenvermutung dann 1976 von Appel und Haken, ersterer ein Computerspezialist, letzterer ein bekannter 3-Mannigfaltigkeits-Topologe, nach dem die Theorie der Normalflächen benannt ist. Sie fanden 1825 unvermeidbare Strukturen, von denen zumindest eine in jeder Landkarte vorkommen muß und aus deren Unvermeidbarkeit der Vierfarbensatz mittels eines Induktionsarguments folgt, was sie freilich nur mit sehr umfangreichem Computereinsatz beweisen konnten.
Die Zahl der unvereinbaren Strukturen ist inzwischen reduziert worden, am grundsätzlichen Problem einer Beweisbarkeit nur mit Computerhilfe hat sich aber nichts geändert.

Es gibt eine Reihe äquivalenter Formulierungen des 4-Farben-Satzes, die aber genauso schwer zu bearbeiten sind. Eine davon geht auf das Jahr 1884 und den Physiker Peter Tait zurück. Sie besagt, dass ein 3-valenter Graph (d.h. ein Graph, bei dem an jedem Knoten drei Kanten zusammenstoßen), der sich nicht durch Entfernen einer Kante in zwei Komponenten zerlegen lässt, mit 3 Farben gefärbt werden kann, so dass an jedem Knoten die Kanten 3 unterschiedliche Farben haben.
PlanarNonHamil
Auch bei dieser Vermutung sind alle elementaren Beweisversuche gescheitert.

Einen ganz anderen Zugang zur Tait-Vermutung und damit zum Vierfarbensatz bearbeiten seit einigen Jahren die bekannten 4-Mannigfaltigkeits-Topologen Kronheimer und Mrowka. Sie haben eine Homologietheorie für 3-valente Graphen entwickelt, von der sie beweisen können, dass sie für die Graphen aus der Tait-Vermutung nie Null ist, und von der sie vermuten, dass ihre Dimension gerade die Anzahl der Tait-Färbungen ist. Damit gäbe es dann stets mindestens eine Tait-Färbung.
In einer neuen Arbeit haben sie jetzt eine andere Homologietheorie entwickelt, von der sie beweisen können dass ihre Dimension die Anzahl der Tait-Färbungen ist. Für diese Homologietheorie können sie nun allerdings nicht beweisen, dass sie für die Graphen aus der Tait-Vermutung nie Null ist. Sie können beweisen, dass die Dimension der neuen Homologietheorie höchstens so groß wie die der anderen ist, aber für den Beweis des Vierfarbensatzes ist das natürlich die falsche Ungleichung.
Die Konstruktion ihrer Homologietheorien benutzt Methoden, die man in der Graphentheorie nicht vermuten würde. Ohne mir ihre Arbeiten genauer angeschaut zu haben, zitiere ich mal aus ihrer neuesten Arbeit A deformation for instanton homology of webs:

The homology J(K) is constructed from the Morse theory of the Chern-Simons functional on a space of connections B associated with K. In this paper, we introduce a system of local coefficients Γ on B and use it to define a variant, J(K;Γ), which is module over the ring R = F[Z3] (elements of which we write as finite Laurent series in variables T1, T2, T3). The property that is conjectural for J(K) is a theorem for its deformation J(K;Γ).

Kommentare (36)

  1. #1 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2017/11/21/hirndrang/
    24. November 2017

    Das ist ja schwieriger, als es auf den ersten Moment scheint.

    Leider ist es so groß, dass es auch ganz schön dauert, bis man sieht, dass man sich verrannt hat. Ich würde es, wenn ich müsste, über eine Numerierung der Felder lösen, für jedes Feld erfassen, welches die Nachbarn sind. Dann mit Brute-force und Backtracking vom Computer lösen lassen, aber alleine die Nachbarschaft der Felder zu codieren dauert ja Stunden. :)

    Das Feld oben links kann man willkürlich als a bezeichnen, das große daneben als b, das in Zeile 2, welche an beide grenzt, als c. Die daran angrenzenden Felder sind dann bcd, bd, ad, acd also schon etwas eingegrenzt, wobei ein Buchstabe (abcd) für eine Farbe steht. Vielleicht unterschätze ich aber auch die Zeit, die dieser Ansatz benötigen würde. :) Ca. 100 Felder mit 3 Möglichkeiten je Feld macht ja 3¹°° Möglichkeiten. Bei (3²)²° (3^40) gibt es schon einen Long-Überlauf. Aber für viele Felder ist die Suche ja doch rasch eingeschränkt und wer weiß wie viele früh ins Backtracking laufen. Also schwer abzuschätzen.

  2. #2 anderer Michael
    24. November 2017

    Vielleicht bin ich blind, aber wo stoßen Felder mit gleichen Farben aneinander. In dem Beispiel, welches nicht funktionieren soll. Ich übersehe irgendetwas.

  3. #3 michael
    24. November 2017

    @am
    Die beiden obersten Felder (in der ersten Reihe) haben die gleiche Farbe.

    • #4 user unknown
      https://demystifikation.wordpress.com/2017/11/24/der-kleine-bernd/
      25. November 2017

      In der Lösung ist einfach die Feldgrenze übermalt worden, um das Foul zu kaschieren. Ich habe mir auch einen Wolf gesucht. :)

  4. #5 Mars
    24. November 2017

    … und die letzte zeile ebenfalls.

  5. #6 Robert
    26. November 2017

    Permutationen,
    ich habe jetzt keine Ahnung ob das Problem gelöst ist oder nicht.
    Das ist ja ein abstraktes Problem und das Einfärben von Teilflächen ist ja nur ein Sonderfall.
    Also ich denke, man sollte es über Permutationen probieren.
    Wenn man zeigen könnte , dass jede Fläche als Matrix dargestellt werden kann, dann müsste man zeigen, dass alle Matrixe auf eine der 4 ! Möglichkeiten zurückgeführt werden kann.
    Mal so auf die Schnelle.

  6. #7 tomtoo
    26. November 2017

    @Robert
    Aber für eine Mathematikerin muss sowas unbefriedigend sein. Klar kann ich auf einem Supercomposter sowas 10^X mal durcheiern. Aber ist halt kein Beweis..Könnte beim 10^x^x’ten mal doch anders sein.

  7. #8 Robert
    27. November 2017

    tomtoo,
    ganz richtig, es geht um einen grundätzlichen Beweis, deduktiv.
    Ich bin kein Zahlentheoretiker und weiß nicht, wie eine Fläche definiert ist. Es geht darum, ob eine Matrix als Fläche gesehen werden kann.
    Ich kam auf diese Idee, weil ich einen Beweis gelesen habe, bei dem über Permutation bewiesen wurde, dass es nur 5 Platonische Körper geben kann.
    Vielleicht kann sich jemand an diesen Beweis erinnern.

  8. #9 Tox
    27. November 2017

    @Robert
    Mit Zahlentheorie hat das alles herzlich wenig zu tun. Der Vierfarbensatz ist ein Problem aus der Graphentheorie (bzw. die Lösung dieses Problems). Man stellt die Landkarte als Graph dar (die Länder sind die Knoten des Graphen, und zwei Länder sind genau dann mit einer Kante verbunden, wenn sie in der Landkarte benachbart sind).
    Graphen lassen sich als Matrizen darstellen (etwa als die Adjazenzmatrix oder die Inzidenzmatrix). Eine Schwierigkeit dabei das auf diesen Fall anzuwenden ist, dass man an einer solchen Matrix nur schwer erkennen kann, ob der zugehörige Graph planar ist. D.h. ob es eine Landkarte gibt, die zu diesem Graph führt.
    Generell verstehe ich nicht, was genau du mit Matrizen hier anstellen willst. Oder mit Permutationen.

  9. #10 anderer Michael
    27. November 2017

    In der Tat ,Michael und Mars , habe ich übersehen. Bei Kenntnis des Sachverhaltes ist die Lösung nicht zu übersehen.
    Danke für die Hinweise.

  10. #11 Robert
    27. November 2017

    Tox
    Danke für den Hinweis mit der Graphentheorie. Da muss ich mich erst einarbeiten.Bei den Matritzen geht es mir genaus so, das war nur ein geistiger Schnellschuss.

    Also, du hast eine 2 x 2 Matrix gefüllt mit den Zahlen 1 bis 4.
    Es gibt jetzt 24 Möglichkeiten die Zahlen 1 bis 4 anzuordnen.
    Frage : Kann man jetzt eine 3 x 3 Matrix auf eine 2 x 2 Matrix reduzieren?
    Davon hängt es ab, ob ich meinen Gedanken weiterverfolgen kann.

  11. #12 Tox
    27. November 2017

    @Robert
    Was genau meinst du mit “reduzieren”? Und was hat das alles mit dem Vierfarbensatz zu tun?

  12. #13 Robert
    27. November 2017

    tox,
    ersetze mal 4 Farben durch die Zahlen 1 bis 4 .
    Na, schnagglt’s ?
    Ich habe zu wenig Übung im Umgang mit Matrizen.
    Du kannst dir eine 2 x 2 Matrix als Fläche vorstellen. Eine 2 x 3 Matrix als Körper.
    Es geht hier um Abbildungen von Flächen auf Matrizen.
    Jetzt muss ich aber Wichtigeres tun!

  13. #14 Tox
    27. November 2017

    @Robert
    Nicht wirklich. Anscheinend möchtest du Landkarten durch Matrizen darstellen (warum auch immer). Wie das gehen soll, und vor allem welchen Vorteil das haben soll, ist mir allerdings nicht klar.
    Sollen die Länder Einträgen der Matrix entsprechen? Wenn ja, wie wird dann dargestellt, welche Länder zueinander benachbart sind? (In der Matrix “benachbart” zu sein, reicht ja offensichtlich nicht aus.)

  14. #15 Robert
    27. November 2017

    Tox,
    du hast es verstanden. Ich möchte aus dem topologischen Problem ein arithmetisches machen , damit ich damit rechnen kann.
    Nur soviel in der Matrix benachbart reicht aus, wenn die nichtNachbarschaft zweier Zahlen/Farben waagrecht und senkrecht besteht.
    Vorgestern, bei Lösen eines Sudokus ist mir ein guter Gedanke gekommen. Später mehr.

  15. #16 Tox
    27. November 2017

    @Robert
    Nicht wirklich. Ein Eintrag in einer Matrix hat maximal vier Nachbarn (oder acht, wenn man diagonale Nachbarschaft mitzählt). Ein Land in einer Landkarte kann beliebig viele Nachbarn und beliebig viele nicht-Nachbarn haben.
    Ein weiterer (ziemlich offensichtlicher) Punkt: Wenn die Matrix nicht eine einzige Zeile/Spalte sein soll (wo es noch weniger Struktur bezüglich Nachbarschaft gibt), kann die Gesamtzahl der Einträge keine Primzahl sein. Die Anzahl der Länder kann aber sehr wohl prim sein.

    Leider hast du den Sinn des ganzen noch nicht erklärt. Matrizen sind ja nicht einfach beliebige quadratische Schemata von Zahlen. Sie machen üblicherweise dann Sinn, wenn man es mit linearen Abbildungen oder Bilinearformen zu tun hat. Bislang kann ich hier weder das eine noch das andere erkennen.
    Ach ja: “Arithmetik” ist ja das Rechnen mit den Grundrechenarten. Hast du also vor, die Farben der Länder zu addieren oder zu multiplizieren? Da die Existenz einer Färbung invariant unter Permutation der Farben ist, die Grundrechenarten dies jedoch nicht sind, fällt es mir schwer, darin einen Sinn für dieses Problem zu sehen.

  16. #17 StefanL
    27. November 2017

    @Tox

    Bilinearformen

    …aber nicht, daß du den @Robert noch mit der Reduktion einer Matrix mittels Multilinearformen in den definierenden Ring überforderst…

    @Robert
    da, wenn A mit B eine Grenze gemein hat dann auch B mit A, sind die so definierten Inzidenzmatrizen sogar symmetrisch (und A hat mit A wieviel Grenze gemein?). Da sollte sich doch was mit “Wurzeln” machen lassen, oder?

  17. #18 Robert
    27. November 2017

    Tox,
    der Begriff Matrix hat euch in die Irre geführt.
    Nennen wir es 2 dimensionales Array.

    Um jetzt auf meinen Grundgedanken zurückzukommen.
    Stell dir vor du hast ein Array mit 81 Elementen. Das können Zahlen sein, Farben, Buchstaben, was auch immer.
    Wenn du für 81 Plätze des Array 81 Elemente hast, kannst du mit Bestimmtheit behaupten, kein Element könne ein gleiches Element berühren. Das ist evident, ja trivial, aber genau deshalb will ich von dieser Behauptung ausgehen.
    Jetzt nehmen wir als Beispiel die Zahlen von 1 bis 81.
    und wollen die reduzieren auf die Zahlen 1 bis 9.
    Dabei müssen wir jeder Zahl von 1 bis 9 eine Position in diesem Array zuordnen. Deshalb 2-dimensional.
    Die erste Dimension gibt die Zahl an, die zweite Dimension ihre Position in dem Array.
    Und jetzt sollen die Zahlen 1 bis 9 so auf die 81 Felder verteilt werden, dass sich keine 2 gleichen Zahlen (Farben) berühren können. Sowohl waagrecht als auch senkrecht nicht.
    Das hat die Form eines sudoku.
    Und wenn du Sudokus anschaust, dann werden die der Übersichtlichkeit wegen in 9 3×3 Arrays dargestellt. Oder bildlicher formuliert , in 9 3×3 Tabellen. Das bedeutet ein 9×9 array lässt sich in 9 3×3 arrays zerlegen. Und dabei berührt keine Zahl eine gleiche, weder waagrecht, noch senkrecht.
    Auf eine Fläche übertragen, wir können mit Bestimmtheit zeigen, dass 9 farben ausreichen eine Fläche vollständig zu füllen, ohne dass sich 2 gleichen Farben berühren.
    Jetzt betrachten wir so eine 3×3 tabelle genauer. Wieviele Möglichkeiten gibt es, diese Tabelle mit 9 Zahlen zu füllen? Es sind 9 Fakultät Möglichkeiten.
    Eine sehr große Zahl. Ist aber jede 3×3 tabelle geignet eine 9×9 Tabelle auszufüllen, ohne das sich gleiche Zahlen/Farben berühren?
    Überraschenderweise gibt es nur sehr wenige 3×3 Arrays, die diese Bedingung erfüllen.

    Und jetzt kommen wir zum entscheidenden Schritt. Wir reduzieren die Zahlen/Farben nochmal auf 4 und bekommen eine 2×2 Tabelle.
    Es gibt jetzt 4 Fakultät Möglichkeiten , die Zahlen 1 – 4 darin unterzubringen.
    Du hast also nur noch 24 Möglichkeiten, deine 4 Zahlen auf einer größeren Tabelle also , eine 4×4 Tabelle unterzubringen. Die Größere Tabelle repräsentiert die Fläche.
    Wenn man jetzt zeigen kann, dass manalle24 2×2 Tabellen auf der 4×4 Tabelle unterbringen kann, dann hat man bewiesen, dass 4 Zahlen/Farben ausreichen, eine Fläche vollständig zu füllen, ohne das sich 2 gleiche Farben/Zahlen berühren.

  18. #19 Tox
    28. November 2017

    Dabei müssen wir jeder Zahl von 1 bis 9 eine Position in diesem Array zuordnen. Deshalb 2-dimensional.
    Die erste Dimension gibt die Zahl an, die zweite Dimension ihre Position in dem Array.

    Das verstehe ich nicht. Zunächst einmal muss jeder Zahl ja nicht eine Position zugeordnet werden, sondern Neun. Und zweidimensional ist das Array, weil jede Position durch die Angabe zweier Größen (Zeilen- und Spaltenindex) eineindeutig bezeichnet wird. Wie das Array “gefüllt” wird, spielt dabei keine Rolle.

    Und wenn du Sudokus anschaust, dann werden die der Übersichtlichkeit wegen in 9 3×3 Arrays dargestellt.

    Naja, die Übersichtlichkeit ist ein ziemlich unwichtiger Grund. Die Unterteilung in 3×3-Arrays wird hauptsächlich deshalb gemacht, da es eine Regel gibt, die explizit auf diese Unterarrays bezug nimmt.

    Und dabei berührt keine Zahl eine gleiche, weder waagrecht, noch senkrecht.

    Aber bei Sudoku gibt es noch wesentlich stärkere Regeln.

    Auf eine Fläche übertragen, wir können mit Bestimmtheit zeigen, dass 9 farben ausreichen eine Fläche vollständig zu füllen, ohne dass sich 2 gleichen Farben berühren.

    Nicht wirklich. Der Vergleich mit Sudoku zeigt dies nur für solche Situationen, in denen man es mit 9×9 Quadraten zu tun hat. Beim Vierfarbensatz werden aber auch wesentlich kompliziertere Fälle betrachtet. (Und eine quadratische Anordnung von Quadraten wie bei Sudoku kann man ja ganz offensichtlich mit nur zwei Farben einfärben, so dass sich keine Quadrate mit gleichen Farben berühren.)

    Das selbe Problem hat dein Ansatz mit 2×2 oder 4×4 Arrays. In jeder quadratischen Anordnung von Quadraten hat jedes einzelne Quadrat höchstens vier Nachbarn (oder acht, wenn man über Eck benachbarte Felder mitzählt). Im Vierfarbensatz geht es aber um viel allgemeinere Strukturen. Schau dir einfach mal eine politische Karte von Europa an. Da hat Deutschland schon neun Nachbarländer. Europa ist also mit deinen Arrays nicht abbildbar.

  19. #20 Robert
    28. November 2017

    tox,
    1)einer Zahl werden 9 Positionen zugewiesen, stimmt!
    2)Die Unterteilung in 3×3-Arrays wird hauptsächlich deshalb gemacht, da es eine Regel gibt, die explizit auf diese Unterarrays bezug nimmt. sehr gut , das ist der Kern meines Gedankens.
    3)Bei Sudokus gibt es stärkere Regeln. Welche? Bei einer 3×3 Tabelle beträgt der Abstand von gleichen Zahlen in einer Zeile einer 9×9 Tabelle genau 9 Positionen.
    4)Sudoku kann man ja ganz offensichtlich mit nur zwei Farben einfärben, so dass sich keine Quadrate mit gleichen Farben berühren.) Stimmt, das war ein großer Denkfehler von mir.
    5) allgemeinere Strukturen. Wie kriegt man die in den Griff?
    Ich bedanke mich für die ausführliche Stellungnahme.

  20. #21 Tox
    28. November 2017

    @Robert

    3)Bei Sudokus gibt es stärkere Regeln. Welche?

    Gleiche Einträge sind nicht nur für benachbarte Felder ausgeschlossen, sondern für alle Felder in der selben Spalte, Zeile, oder im selben 3×3-Unterarray.

    Bei einer 3×3 Tabelle beträgt der Abstand von gleichen Zahlen in einer Zeile einer 9×9 Tabelle genau 9 Positionen.

    Hä? Was für ein Abstand? Das ist doch alles rein kombinatorisch, wo kommt da ein Abstand her?

    5) allgemeinere Strukturen. Wie kriegt man die in den Griff?

    Indem man das ganze als Graph beschreibt und nicht als quadratisches Array. Es handelt es sich ja wie gesagt um ein Problem der Graphentheorie.

  21. #22 Robert
    28. November 2017

    Tox.
    Graphentheorie,
    also ich gebe noch nicht auf und versuche erst mal das Problem mit den unterschiedlichen Grenzformen in eine allgemeine Form zu bringen.
    Abstand, klar, das war nur eine bildhafte Beschreibung.

    Mich würde interessieren, wenn man die einzelnen Länder ausschneiden würde und sie an einem einzigen Faden aufhängen würde. Ist das möglich und könnte man eine Kurve konstruieren die praktisch alle Länder durchquert, so ähnlich wie beim Problem mit dem Handlungsreisenden. Dann könnte man jedem Land eine Eigenschaft zuweisen, die angibt, mit wieviel Ländern es Berührung hat.
    Oder als Modell: Die Länder sind hohle Behälter und sind mit Schläuchen miteinander verbunden (das sind die gemeinsamen Grenzen)
    Dann füllt man das ganze “Netz mit einer farbigen Flüssigkeit und beobachtet, wie sich die Flüssigkeit verteilt .
    Oder noch eine Idee. Man nimmt für jedes Land einen unterschiedlichen elektrischen Widerstand. Dann verbindet man die Länder mit Kabel und mißt den Stromfluss. Wo liegt eine Reihenschaltung vor, wo eine Parallelschaltung, das könnte man dann auch formelhaft darstellen und berechnen.
    So das reicht vorerst!

  22. #23 Tox
    28. November 2017

    @Robert
    Naja, es handelt sich halt um ein wirklich schwieriges Problem. Die Profis haben über 120 Jahre gebraucht, um einen Beweis zu finden. Und besonders schön ist der nicht; es müssen hunderte Einzelfälle im Computer überprüft werden. Dass das ein Laie mal auf die schnelle gelöst bekommt, halte ich für komplett ausgeschlossen.

    Übrigens ist es sehr einfach zu zeigen, dass sechs Farben ausreichen. Und dass fünf Farben ausreichen, ist auch nicht so schwer zu zeigen; den Beweis gibts bei Wikipedia unter dem Stichwort “Fünf-Farben-Satz”.

    Mich würde interessieren, wenn man die einzelnen Länder ausschneiden würde und sie an einem einzigen Faden aufhängen würde. Ist das möglich und könnte man eine Kurve konstruieren die praktisch alle Länder durchquert, so ähnlich wie beim Problem mit dem Handlungsreisenden.

    Das hängt davon ab, was genau du damit meinst. Wenn die Kurve nur benachbarte Länder direkt verbinden darf, und dabei jedes Land genau einmal vorkommen muss (also nicht z.B. Frankreich -> Spanien -> Portugal -> Spanien -> Andorra, weil dabei Spanien zweimal vorkommt), dann geht das nicht immer. (Das ist das sog. Hamiltonweg- oder Hamiltonkreisproblem; je nachdem ob die Kurve Anfang und Ende haben oder geschlossen sein soll.) Ansonsten schon.

    Aber ich sehe nicht, was das mit dem Vierfarbensatz zu tun haben soll. Ähnlich für deine beiden anderen Ideen.

    Dann könnte man jedem Land eine Eigenschaft zuweisen, die angibt, mit wieviel Ländern es Berührung hat.

    In der Graphentheorie nennt man diese Eigenschaft den Knotengrad.

  23. #24 Robert
    28. November 2017

    tox,
    zuerst einmal, ich finde dieses Thema spannender als ein Krimi und ich habe mir heute Nacht Gedanken darüber gemacht. Besonders ernüchternd war deine Festellung dass man mit quatratischen Tabellen mit 2 Farben auskommt.
    Das hat mich zu der Frage geführt: Was ist eine Fläche? Also wundere dich nicht, wenn ich dir jetzt sonderbare Fragen stelle!
    Mein erster Gedanke war: Stelle Dir ein Tetraeder vor. Diesen Vierflächner bemalen wir mit 4 Farben. Dann blasen wir den Tetraeder auf , bis er eine Kugelform angenommen hat. Dann ist die Kugel vollständig mit 4 Farben bemalt. Wenn ich jetzt diese Kugeloberfläche ablöse und in der Ebene darstellen will, dann geht das nicht. Und jetzt meine Frage: Ist eine Kugeloberfläche überhaupt eine Fläche?
    Sonderbar?
    Dazu eine zweite Frage: Gibt es undendliche Flächen, ich meine nicht unendlich in der Größe, sondern dass eine Fläche keine Begrenzung hat. Muss eine Fläche eine Begrenzung haben, dass sie zur Fläche wird?
    Wenn ja, dann gibt es bei einer Fläche ein Innen und ein Außen.
    Wo ist aber das Außen bei einer Kugeloberfläche (2 – dimensional) ?
    Es kommt noch mehr, aber später!

  24. #25 Tox
    28. November 2017

    @Robert
    Meines Wissens nach wird der Begriff “Fläche” in der Mathematik recht selten verwendet, und auch nicht immer mit exakt der selben Definition.

    Ein Begriff, der dem was man anschaulich unter einer Fläche versteht sehr nahe kommt, ist der der Mannigfaltigkeiten, genauer der 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Leider ist es nicht ganz einfach, diesen Begriff anschaulich exakt zu erklären. Aber im Wesentlichen ist eine 2d-Mannigfaltigkeit ein Ding, das um jeden Punkt herum der Ebene gleicht. Es gibt dann verschiedene Unterkategorien, z.B. je nachdem ob das Ding “glatt” sein soll, oder Kanten zugelassen werden, oder ob es einen Rand hat oder nicht, oder ob es zwei klar getrennte Seiten hat (eine Schreibe hat zwei Seiten, ein Möbiusband nicht), etc.

    Die Oberfläche eines Tetraeders und die einer Kugel sind 2d-Mannigfaltigkeiten. Beide haben keinen Rand (ich vermute mal, dass das das ist was du mit Begrenzung meinst). Aber es gibt auch Mannigfaltigkeiten mit Rand.

    Eine 2d-Mannigfaltigkeit selbst hat kein Innen und Außen. Aber manche teilen den den 3d-Raum in Innen und Außen, wie z.B. die Kugeloberfläche. Andere tun das nicht, wie z.B. eine einfache Scheibe.

  25. #26 Robert
    29. November 2017

    Tox,
    das ist doch schon einmal ein Fortschritt. Da kann ich ja selbst Axiome konstruiren. Später mehr.

  26. #27 Robert
    29. November 2017

    Tox,
    noch weiter interessiert? Das Problem ist, dass ich nicht weiß, ob meine Einsichten nicht nur “kalter Kaffe ” sind, oder ob ich auf meinen wegen , neue wege eröffne.
    Also bei meiner Analyse bin ich jetzt bei den Kartenprojektionen angelangt. Deswegen, weil das Vierfarbenproblem nicht nur formal gelöst werden soll , sondern anschaulich.
    Zurück zur Toplogie. Eine Landkarte ist der Teil einer Kugeloberfläche, damit hat die Fläche einen Rand. Wie stellt man jetzt die Kugeloberläche in 2-d dar? Ein Kreis reicht nicht aus, weil dabei Eigenschaften nicht berücksichtigt werden. Wenn man aber einen Kreisring und 1 Kreis nimmt, dann lässt sich die gesamte Kugeloberfläche mit Rand darstellen.
    Wieder zur Vorstellung. Wir sind beim Tetraeder , der auf die Kugeloberfläche projeziert ist.
    Wir schauen von oben auf die Spitze des Tetraeders und färben die drei Seiten ganz patriotisch in die farben schwarz, rot und gold ein.
    Der Mittelpunkt des Tetraeders soll auch der Mittelpunkt des Kreises sein. Wenn wir jetzt um die Dreickesfläche am boden einen Kreis legen, dann soll das vorerst der Umfang des Kreises sein.
    Wir sehen also jetzt einen Kreis (Kugelumfung) mit drei Kreissektoren darin. Jeder Kreissektor entspricht einer Seite des Tetraeders. Wo bringen wir die 4. Tetraeder fläche unter? gan z einfach, die dehnen wir zuerst zu einer Halbkugeloberfläche , dann zu einer Kreisfläche, aber etwas größer als der Kugelquerschnitt. Das ist wichtig. Wir sehen dann diesen vergrößerten Halbkugelquerschnitt als Kreisringum den Kreis mit den drei Kreissegmenten gelegt.
    Erste Einsicht: Der Kreisring bleibt weiß, der innere Kreis mit den 3 Sektoren ist schwarz rot gold eingefärbt.
    Ziel: Alle Flächeneinteilungen auf diese grundform zurückzuführen . Kreisring mit Kreis und 3 Sektoren.
    Ob das möglich ist?

  27. #28 Tox
    30. November 2017

    @Robert
    Naja, das sind Themen, mit denen sich die Mathematiker schon seit Jahrzehnten oder gar Jahrhunderten beschäftigen. Da auf die Schnelle was wirklich neues zu entdecken (das dann auch noch interessant ist), halte ich für recht unwahrscheinlich.

    Als Vorbemerkung: Beim Vierfarbensatz geht es um Strukturen in der Ebene. Er gilt zwar auch für die Kugeloberfläche, aber nicht unbedingt für andere Mannigfaltigkeiten. Dort kann es sein, dass man mehr als vier Farben braucht. (Auf einem Torus z.B. 7.) Statt der Ebene die Kugeloberfläche zu betrachten, verkompliziert meiner Meinung nach das Problem unnötigerweise.

    Und: Der aktuelle Beweis des Vierfarbensatzes ist nicht deshalb so kompliziert, weil irgend jemand komplizierte Beweise mag. Ganz im Gegenteil. Nur hat bis jetzt noch niemand einen besseren Beweis gefunden. Darum geht es ja auch im Artikel.

    Eine Landkarte ist der Teil einer Kugeloberfläche, damit hat die Fläche einen Rand.

    Eine Landkarte selbst ist nicht Teil der Kugeloberfläche. Sie bildet einen Teil der Kugeloberfläche in die Ebene ab. Den zweiten Teil verstehe ich nicht.

    Auch die Sache mit dem Kreis und dem Kreisring verstehe ich nicht. Ein Kreis hat einen Rand, ein Kreisring zwei (einen inneren und einen äußeren). Die Kugeloberfläche selbst hat aber keinen Rand. Wenn die beiden Karten die ganze Kugeloberfläche abdecken sollen, müssen sie im Bereich ihrer Ränder also jeweils überlappen. Wie das gehen soll, ist mir schleierhaft.

    Man könnte einen Kreisring und zwei Kreise nehmen, so dass ein Kreis am Rand mit dem inneren Rand des Rings überlappt und der andere Kreis mit dem äußeren Rand des Rings. Aber dann wäre die Vereinigung des Rings mit dem inneren Kreis selbst wieder ein Kreis, so dass man sich den Ring gleich sparen kann.

    Einen einfachen Satz von Karten für die Kugeloberfläche kann man mit zwei Kreisen konstruieren: Man nimmt die Oberfläche der Nordhalbkugel plus das Gebiet ein bisschen südlich des Äquators (also etwa alles zwischen 90° nördlicher und 10° südlicher Breite; wo genau man die Grenze im Süden wählt, ist nicht relevant, so lange nur der Südpol nicht enthalten ist) und bildet sie etwa auf einen Kreis in der Ebene ab. Das geht natürlich nicht ohne Verzerrungen, aber das ist bei einer Karte erlaubt. Und dann macht man das gleiche mit der Südhalbkugel plus ein bisschen nördlich des Äquators (also etwa 90° südlicher bis 10° nördlicher Breite). Damit hat man zwei kreisförmige Karten, die jeweils an ihren Rändern überlappen und zusammen die gesamte Kugeloberfläche abdecken.

    Ziel: Alle Flächeneinteilungen auf diese grundform zurückzuführen . Kreisring mit Kreis und 3 Sektoren.

    Das halte ich nicht für möglich. Es sei denn, unter “zurückführen” lässt du sehr viel zu.

    Was würdest du etwa mit einer Landkarte anstellen, die wie ein Rad mit Speichen aussieht? Also eine große Anzahl von Ländern in der Form von Kreissektoren, die sich alle an einem Punkt in der Mitte treffen.

  28. #29 Robert
    30. November 2017

    tox,
    Wenn du einen Tetraeder aufbläst, dann wird er zur Kugel. Auf deren Oberfläche siehst du den Tetraeder . Er füllt die Kugeloberfläche aus, weil er die Kugeloberfläche ist.
    Jetzt bilde ich die Kugeloberfläche auf eine 2d- Ebene ab.
    Mit einem Kreis allein geht das nicht. Du brauchst noch einen Kreisring dazu, in dessen Mitte sich der Kreis befindet.
    3 Seiten des Tetraeders füllen den inneren Kreis. Dieser ist gefüllt mit 3 Kreisegmenten, die die 3 Seiten des Tetraeders waren (natürlich verzerrt und verkleinert). Die 4. Tetraderseite wird verzerrt zu einem Kreis, der etwas größer ist als der innere Kreis. Dadurch siehst du jetzt einen Kreisring, weiß gefärbt, der alle 3 anderen Kreissegmente umschließt. Genau genommen müsste man jetzt noch einen 3. Kreis konstruiern, der die Rückseite der Kugeloberfläche darstellt. Da dieser Kreis aber die gleiche Farbe hat wie der Kreisring kann man ihn weglassen.
    Klar jetzt?
    Jetzt geht es um das Zurückführen.
    Damit meine ich folgendes. Du kannst eine Fläche zerteilen. Damit entsteht topologisch gesehen ein Klon dieser Fläche. Umgekehrt kannst du zwei flächen zusammenlegen ohne das sich die Topologie ändert.
    Soweit bin ich jetzt.
    So jetzt zu Deinen Ausführungen.
    Wenn wir die Kartenprojektionen weglassen und die Landkarte vergrößern Maßstab 1:1 , dann erhälst du die Erdoberfläche. Die hat dann auch Kugelform. So war das gemeint.
    Überlappen. Bildhaft erklärt. Du verzerrst die untere 4 . Tetraederfäche zu einem Kreis. Topologisch darst du das. Wir machen jetzt keine Kartenprojektion.
    Da diese 4. Seite alle 3 anderen Kreissegmente brühren muss, stellst du diesen Kreis als Kreisring dar. Der Umschlingt die 3 anderen Kreissegmente. Eine Zeichnung würde jetzt alles klar machen! Ich denke mir noch eine Lösung aus.
    Meine Darstellung ist keine Kartenprojektion!
    Sie stellt nur dar, wie die 4 tetraederseiten sich gegenseitig berühren, und das tun sie.

  29. #30 Tox
    30. November 2017

    Da dieser Kreis aber die gleiche Farbe hat wie der Kreisring kann man ihn weglassen.

    Das hängt davon ab, warum man das ganze überhaupt macht (was du, wenn ich mich recht erinnere, noch nicht erklärt hast). Wenn es um die Topologie der Kugel geht, dann kann man diesen Kreis ganz sicher nicht weglassen. Und wenn es nicht um die Topologie der Kugel geht, warum machst du dann das ganze überhaupt auf einer Kugel? Wie gesagt, beim Vierfarbensatz geht es um Strukuren in der Ebene, nicht auf anderen Mannigfaltigkeiten.

    Du kannst eine Fläche zerteilen. Damit entsteht topologisch gesehen ein Klon dieser Fläche.

    Nicht unbedingt. Wenn ich eine Kugeloberfläche zerteile, etwa entlang des Äquators, entstehen daraus zwei Objekte die topologisch äquivalent sind zu einer Scheibe. Eine Scheibe ist aber topologisch gesehen etwas anderes als eine Kugeloberfläche.

    Umgekehrt kannst du zwei flächen zusammenlegen ohne das sich die Topologie ändert.

    Auch das stimmt im allgemeinen Fall nicht.

    Wenn wir die Kartenprojektionen weglassen und die Landkarte vergrößern Maßstab 1:1 , dann erhälst du die Erdoberfläche. Die hat dann auch Kugelform.

    Auch das stimmt leider nicht. Die Kugeloberfläche hat keinen Rand. Die Landkarte schon, egal wie stark man sie vergrößert. Also kann die Landkarte nicht die Kugeloberfläche sein.

    Meine Darstellung ist keine Kartenprojektion!
    Sie stellt nur dar, wie die 4 tetraederseiten sich gegenseitig berühren, und das tun sie.

    Warum hast du dann in Kommentar #27 so viel über Landkarten geschrieben?

    Sie stellt nur dar, wie die 4 tetraederseiten sich gegenseitig berühren, und das tun sie.

    Wenn es dir nur darum geht darzustellen, welche Seiten benachbart sind, dann stell das ganze doch einfach als Graph dar. Denn das ist exakt das was ein Graph ist: Eine Menge von “Dingen” und eine Liste welche Paare dieser Dinge jeweils irgend etwas miteinander zu tun haben. Das ist viel einfacher handzuhaben als solche semi-topologischen Konstrukte.

    Wenn ich dich richtig verstehe, schneidest du in die Kugel ein Loch (etwa in die Mitte einer der Seiten des aufgeblasenen Tetraeders), und zerlegst den Rest in eine Kreisscheibe und einen Kreisring. Falls das stimmt, dann war

    Wenn man aber einen Kreisring und 1 Kreis nimmt, dann lässt sich die gesamte Kugeloberfläche mit Rand darstellen.

    nicht korrekt. Denn man erhält ja gerade nicht die gesamte Kugeloberfläche; der herausgeschnittene Teil fehlt. Und warum brauchst du dann überhaupt noch die Kreisscheibe? Wenn ich ein Loch in eine Kugeloberfläche schneide, ist der Rest homöomorph zu einer Kreisscheibe.

  30. #31 Robert
    30. November 2017

    tox,
    warum nehme ich eine Kugeloberfläche?
    Wenn du nur eine Fläche nimmst, dann kannst du die unendlich vergrößern und kannst behaupten, in der Unendlichkeit gibt es eine Anordnung von Teilflächen, für die 4 Farben nicht reichen.
    Bei der Kugeloberfläche wiederholt sich alles und du kannst damit das Problem vereinfachen!
    Die Vollständigkeit der Abbildung.
    (bildhaft) Du schaust von oben auf die Tetraederspitze!
    Dann siehst du so etwas wie einen Mercedesstern. Der Einfachheit halber soll dieser Kreis so groß sein wie der Kugelquerschnitt.
    Das fehlende Teil der Kugeloberfläche ist wieder ein Kreis, nämlich die 4. Tetraederseite. Du kannst diesen Kreis nicht sehen, weil er dahinter liegt. Und wenn wir ihn getrennt zeichnen, geht die Hauptinformation verloren, dass dieser Kreis die “3 Ecken” des Tetraeders mit seinem Umfang berührt. Also vergrößere ich diesen Kreis und du siehst jetzt einen Kreisring. (in Wirklichkeit ist es ein Kreis, sichtbar ist nur noch der Kreisring) Da bleibt kein Loch.
    Du denkst jetzt an deine Kartenprojektion, wo man die Pole weglässt.
    Landkarte und Kugeloberfläche
    Wenn du als Ausgangspunkt den Erdmittelpunkt wählst, dann ist die Landkarte ein Teil der Erdoberfläche, wenn . eine Fläche nicht räumlich machen kann) Wenn du deine Straßenkart auf eine ebene Fläche legst, z. B. eines Sees, dann passt sie sich der Erdoberfläche an, also gewölbt.
    Eine Scheibe ist etwas anderes als eine Kugeloberfläche. Richtig! Aber eine Halbkugeloberfläche ist eine Scheibe ???Deswegen reicht ein Kreis nicht aus. Ich nehme 2 Kreise, der 1. Kreis beinhaltet die 3 Tetraederflaächen der 2.. Kreis nur die 4. tetraederfläche, aber so vergrößert , dass er als Kreisring zu sehen ist.
    Jetzt aber weiter. Wenn etwas falsch ist, bitte sagen.
    Was mir auffällt:
    Bei der Dreieckspyramide brauchst du 4 Farben.
    Bei der Viereckspyramide brauchst du 3 Farben
    Bei der Fünfeckspyramide wieder 4 Farben
    Daraus lässt sich schließen, dass man bei einer ungeraden Anzahl von Seiten 1 Farbe mehr braucht.
    Oder ist es günstiger mit Ecken zu denken?
    Dann brauchst du mit 4 Ecken 4 Farben, bei 5 Ecken aber nur 3 Farben.
    Ein Würfel, der 8 Ecken hat, braucht nur 3 Farben.
    Irre ist, dass man beim Oktaeder mit nur 2 Farben auskommt.
    Jetzt versuche im mal ein System in die verschiedenen Möglichkeiten zu bringen, wie Flächen aneinanderstoßen können.

  31. #32 StefanL
    30. November 2017

    @Robert #31
    …und du erwartest noch andere als die 1825 unvermeidbare Strukturen von Appel & Haken?

  32. #33 Robert
    30. November 2017

    StefanL,
    ok. ich will das Rad nicht noch mal erfinden.
    Eine grundsätzliche Frage habe ich noch. Wenn ich bei einem Kreisring mit dem inneren Umfang U2 und dem äußereren Umfang U1 durch den Raum wende, so dass der innere Umfang U1 wird und der äußere Umfang 2, ist das topologisch erlaubt?
    Wenn ja, dann könnte man den Kreisring an die Stelle des Kreismittelpunktes setzen und der Kreisring wird zum Kreis. Die 4. Tetraederfläche ist dann der winzige Kreis im Zentrum meiner Darstellung.
    Was hälst du von dem Vorschlag, die Länder nach der Anzahl der Knotenpunkte zu sortieren und die Länder ganz neu zusammenzusetzen, was ja topologisch zulässig wäre. Auf die äußeren Formen brauchen wir nicht zu achten, da wir in der Topologie die Formen verzerren können.

  33. #34 Tox
    30. November 2017

    @Robert

    Wenn du nur eine Fläche nimmst, dann kannst du die unendlich vergrößern und kannst behaupten, in der Unendlichkeit gibt es eine Anordnung von Teilflächen, für die 4 Farben nicht reichen.

    Behaupten kann man das schon. Es ist halt falsch. Und selbstverständlich kann man auch die endliche Oberfläche einer Kugel in unendlich viele Teile zerlegen.

    Wenn du verständlicherweise Unendlichkeiten vermeiden willst, dann sag das doch einfach als Voraussetzung am Anfang. So in der Art “Wir betrachten eine beschränkte Teilmenge der Ebene, die in endlich viele ‘Länder’ zerlegt wird.”

    (in Wirklichkeit ist es ein Kreis, sichtbar ist nur noch der Kreisring)

    Was von einem gewissen Punkt aus sichtbar ist und was nicht, ist reichlich irrelevant. Es handelt sich um eine Kreisscheibe, nicht um einen Kreisring.

    Wenn du als Ausgangspunkt den Erdmittelpunkt wählst, dann ist die Landkarte ein Teil der Erdoberfläche, wenn . eine Fläche nicht räumlich machen kann) Wenn du deine Straßenkart auf eine ebene Fläche legst, z. B. eines Sees, dann passt sie sich der Erdoberfläche an, also gewölbt.

    Das entscheidende Wort hier ist “Teil” (die ganzen anderen Merkwürdigkeiten ignoriere ich mal). In Kommentar #29 hattest du behauptet

    Wenn wir die Kartenprojektionen weglassen und die Landkarte vergrößern Maßstab 1:1 , dann erhälst du die Erdoberfläche.

    d.h. die ganze Erdoberfläche, nicht nur einen Teil. Und das stimmt nicht.

    Daraus lässt sich schließen, dass man bei einer ungeraden Anzahl von Seiten 1 Farbe mehr braucht.

    Naja, Betrachtung dieser paar Fälle legt das nahe. Bewiesen ist es damit nicht. (Besonders schwierig wäre das aber nicht.)

    Dann brauchst du mit 4 Ecken 4 Farben, bei 5 Ecken aber nur 3 Farben.

    Es kommt nicht nur auf die Zahl der Ecken an, sondern auch darauf, wie diese zueinander benachbart sind. Man kann problemlos zusammenhängende Graphen mit 3, 4, 5, … Ecken angeben, bei denen zwei Farben ausreichen.

    Wenn ich bei einem Kreisring mit dem inneren Umfang U2 und dem äußereren Umfang U1 durch den Raum wende, so dass der innere Umfang U1 wird und der äußere Umfang 2, ist das topologisch erlaubt?

    Für 0 < U2 < U1 < ∞, ja.

    Wenn ja, dann könnte man den Kreisring an die Stelle des Kreismittelpunktes setzen und der Kreisring wird zum Kreis.

    Diesen Schluss verstehe ich nicht. Die Folgerung ist jedenfalls falsch. Kreisring und Kreisscheibe sind nicht äquivalent.

    Was hälst du von dem Vorschlag, die Länder nach der Anzahl der Knotenpunkte zu sortieren und die Länder ganz neu zusammenzusetzen, was ja topologisch zulässig wäre.

    Notwendigerweise zulässig ist das nur dann, wenn man sie wieder genau so zusammensetzt, wie sie vorher waren. Und dann sehe ich den Sinn darin nicht.

  34. #35 StefanL
    1. Dezember 2017

    @Robert

    …und kannst behaupten, in der Unendlichkeit gibt es eine Anordnung von Teilflächen, für die 4 Farben nicht reichen.

    Stichwort: Stereographische Projektion. Und der Nordpol ist entweder in einem einfarbigen Gebiet oder ein Punkt einer Grenze. …Wie willst du nochmal deine Behauptung beweisen?
    Das erledigt auch

    dann könnte man den Kreisring an die Stelle des Kreismittelpunktes setzen und der Kreisring wird zum Kreis.

    Die “nördliche Halbkugel” wird “Kreisring” und die “südliche” (mit Südpol = (0,0,0) ) ein Kreis. Wenn die Kugel gedreht wird so, daß der Nord- zum Südpol wird, wird der “Kreis” zum “Ring” und umgekehrt.

    …und die Länder ganz neu zusammenzusetzen, was ja topologisch zulässig wäre.

    Welche Eigenschaft eines Homöomorphismuses, schließlich nutzt es ja nichts völlig andere Landkarten(Strukturen) zu betrachten, soll da welche Behauptung zeigen?

  35. #36 Robert
    1. Dezember 2017

    Stefan L,
    ….neu zusammensetzen,
    der Hintergedanke ist, die Flächen zu ordnen und in Klassen einzuteilen.
    ….der Kreisring wird zum Kreis….
    der Kreisring war schon immer ein Kreis, in meiner Darstellung sieht er aus wie ein Kreisring, wenn er aber in die Mitte gesetzt wird , sieht er auch wieder aus wie ein Kreis.
    Tox,
    wie die Graphen zusammenhängen,
    das ist sonnenklar, ich habe da nur schlampig erklärt.
    Landkarte und Erdoberfläche, du erhälst natürlich nur einen Teil der Erdoberfläche.
    Stelle dir vor , du sitzt im Erdmittelpunkt und zeichnest die Länder ab. Dann brauchst du wieder 2 Halbkugeloberflächen. So ähnlich, wie man den Sternenhimmel zeichnet.
    Ich will Euch im Augenblick nicht weiter belästigen. Ich muss erst mit den verschiedenen Knotenpunkten klar kommen und wie ich die in meinem Kreis darstelle. Dann melde ich mich wieder.
    Dank an Euch beide, dass Ihr so geduldig mitgedacht habt., bei einem chaotischen Laien.