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Im Studium haben wir hauptsächlich mit vier Zahlen gearbeitet: 0, 1, Pi, e. Eine 7 begegnet einem da selten.

aus “Von wegen Kopfrechnen”, Badische Zeitung, 3. September 2017

Siebenen in der Mathematik

Siebenen in der Mathematik, als erstes fallen einem da wohl die berühmten 28 unterschiedlichen Differentialstrukturen auf der 7-dimensionalen Sphäre ein, mit denen John Milnor 1956 zur Überraschung der Fachwelt bewies, dass es auf ein und derselben topologischen Mannigfaltigkeit sehr unterschiedliche Arten der Differentialrechnung geben kann.

Gut, man kännte sagen, die besondere Rolle der 7 ist da nur ein historischer Zufall. Schließlich gibt es exotische Sphären auch in den meisten anderen Dimensionen.

Eine besondere Eigenschaft, die die 7-dimensionale Sphäre nur noch mit den Sphären in Dimension 0, 1 und 3 gemeinsam hat, ist aber die
Existenz einer Basis aus nichtverschwindenden Vektorfeldern und damit zusammenhängend die Existenz einer stetigen Multiplikation (Lie-Gruppen-Struktur). Die wiederum ist der Grund, warum der Rn nur für n=1,2,4,8 eine reelle Divisionsalgebra sein kann, warum es also nach reellen Zahlen, komplexen Zahlen, Quaternionen und Oktonionen nicht mehr weitergeht.
Konigsberg_bridges
Geht man historisch nochmal zwei Jahrhunderte zurück, dann standen die sieben Brücken von Königsberg 1736 am Anfang der Graphentheorie. Und die Zahl 7 ist hier wirklich von Bedeutung: im heutigen Kaliningrad gibt es noch 5 Brücken und jetzt sind Spaziergänge, bei denen jede Brücke genau einmal überquert wird, dann doch möglich. Allerdings kehren sie nicht zum Ausgangspunkt zurück; in mathematischer Terminologie: es gibt einen Eulerweg, aber keinen Eulerkreis.

Sieben ist auch die Antwort auf manche Fragen der elementaren
Wahrscheinlichkeitstheorie, etwa der
nach dem wahrscheinlichsten Ereignis
beim Wurf mit zwei Würfeln. In der projektiven Geometrie hat die Fano-Ebene P2F2 als kleinste projektive Ebene sieben Punkte und sieben Geraden.
Und n=7 ist die
kleinste Generatorzahl, hat also ein interessantestes Muster in der
Dezimaldarstellung der Vielfachen von 1/n: deren sich periodisch wiederholenden Ziffernfolgen sind alle aus den sechs Ziffern 1-4-2-8-5-7 zusammengesetzt. Was einem zugegebenermaßen im Studium tatsächlich nicht begegnet, ebenso wenig wie die Teilbarkeitsregeln der 7 oder die diversen mit der 7 verbundenen Kopfrechentricks.

Kein Buch mit sieben Siegeln

Erstmals auf Deutsch ausgestrahlt wurde am 21. Oktober bei ARTE die BBC-Dokumentation “Climate change by numbers”, die den Klimawandel von Mathematikern statt von Klimaforschern erklären läßt und sich dabei auf drei Zahlen fokussiert:

0,85 Grad

95 Prozent

1012 Tonnen

Also den Anstieg der globalen Durchschnittstemperatur gegenüber 1880, die im IPCC-Report angegebene Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte der Erderwärmung vom Menschen verursacht sei, und die Menge Kohlenstoff, die wir noch verbrennen können bevor es zu ernsthaften Klimaveränderungen kommt.

Wobei es in der einstündigen Sendung dann vor allem darum ging, wie diese Zahlen gewonnen werden und was sie “wirklich” bedeuten. Also beispielsweise warum man (erst) seit 1880 zuverläßige Temperaturmessungen hat und wie man Mathematik nutzt, um fehlende Daten zu rekonstruieren.

Die Weisheit hat ihr Haus gebaut, ihre sieben Säulen behauen

Es hilft, wenn man Zahlen grob überschlagen kann: Geht das überhaupt auf, was da jetzt vorgeschlagen wird?

sagte Wolfgang Schäuble der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung über die erforderlichen
Qualifikationen seines Nachfolgers. Passend dazu kramten dann YouTuber eine fünf Jahre alte Rede des damals gerade als FDP-Kandidaten für das Amt gehandelten Politikers mit dem schönen Versprecher Eins und eins ist eins und nicht drei heraus.

In eine ähnliche Richtung geht die von der Süddeutschen Zeitung in einem Artikel “Digitalisierung an Schulen” vom 16. Juni aufgeworfene Frage.

Sollen [die Schulen] weiterhin lehren, wer Pythagoras war und wie sich dessen berühmter Satz mathematisch beweisen läßt? Oder ist es, wie manche Google-Manager empfehlen, sinnvoller, vor allem Technologieunterricht zu erteilen? Schlie\ss lich läßt sich heute mit wenigen Mausklicks klären, wie lang die Diagonale eines Rechtecks ist.

Ich habe mal nachgeschaut, was man mit dem Suchbegriff “Diagonale im Rechteck berechnen” bei Google bekommt. Der erste Treffer ist zwar noch ein herkömmlicher Lexikoneintrag, die nächsten 4 Treffer sind dann aber ausnahmslos Kalkulatoren, wo man nur die Seitenlängen eingeben muss und das Ergebnis bekommt.

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Kommentare (22)

  1. #1 CS
    27. November 2017

    Nun würden mich die Teilbarkeitsregeln und die Kopfrechentricks am meisten interessieren…

  2. #2 MX
    27. November 2017

    π als Hausnummer wäre schon etwas unnormal, weil man nicht sagen kann, welche Hausnummer vorher und welche nachher kommt. Aber das gilt natürlich auch für viele normale Zahlen, so dass in der Hinsicht π geradezu normal ist.

    Ansonsten wäre noch anzumerken, dass die Sieben wie viele mathematische Größen enge Verbindungen zu Göttingen hat, was direkt zu den sieben Zwergen führt, die entgegen mancher Annahme weder im Riesengebirge noch im Siebengebirge wohnen (auch nicht im Augsburger Siebentischwald). Und bestimmt hat es etwas zu bedeuten, dass die Sieben Teiler von 42 ist, der berühmten Universalzahl. Man könnte noch darüber nachdenken, warum Goldsucher achtgeben, dass sie ordentlich sieben, aber das ist eine andere Geschichte.

  3. #3 Laie
    27. November 2017

    Daher ist es günstig als Basis einer Zahlendarstellung das kleinste gemeinsame Vielfache der ersten 7 Primzahlen zu nehmen, um ungünstige Brüche zu vermeiden! :)

    2*3*5*7*11*13*17 = 510510

    Der zweite Vorteil liegt klar auf der Hand: Man spart Papier.

    Für den Einstieg wäre B=60 zu empfehlen, hier liegen bereits die positiven Erfahrungswerte der Sumerer vor.

  4. #4 Braunschweiger
    27. November 2017

    @CS:
    Regeln zur Teilbarkeit durch 7 findet man zB. bei Wikipedia, und daraus ergeben sich schon einige Kopfrechenmöglichkeiten.

  5. #5 Robert
    27. November 2017

    Das Königsberger Brückenproblem beweist doch, dass Zahlen nicht nur Abbildungen von Mengen sind, die sind auch topologisch deutbar.
    Man hat auch noch die 7 Weltwunder der Antike vergessen. Oder den 7. Sinn, die Sieben Sachen.

  6. #6 Thilo
    27. November 2017

    Die haben aber nicht so viel mit Mathematik oder dem Mathematikstudium zu tun.

  7. #7 Laie
    27. November 2017

    @Robert
    Man schenkt einer Dame auch immer 7 Blumen, 9 wären zu viel, 5 zu wenig! :)

  8. #8 Robert
    28. November 2017

    Laie,
    7 Blumen sind eindeutig zu wenig, außer du nimmst Sonnenblumen.
    Du musst dann noch eine Blume dazustecken, die etwas lädiert ist. Frauen schnippseln gern mit der Blumenschere, dann wird der Strauß erst schön gemacht.
    Wenn die Frau eine Mathematikern ist, dann wählst du 12 Blumen. Ich glaube 12 ist eine vollkommene Zahl.
    Andererseits sollte man eine ungerade Zahl wählen. Wenn sie nämlich anfängt zu zählen : Er libt mich, er liebt mich nicht, er liebt mich…… dann bist du bei einer ungeraden Zahl im Vorteil .

  9. #9 Robert
    28. November 2017

    Thilo.
    Rätsel von Bibi Blocksberg: was gibt sieben mal sieben?

  10. #10 tomtoo
    28. November 2017

    Übrigen wegen solchen Sachen lese ich hier immer gerne mit.
    “…als erstes fallen einem da wohl die berühmten 28 unterschiedlichen Differentialstrukturen auf der 7-dimensionalen Sphäre ein..””

    Klar oder ! : )

  11. #11 Robert
    28. November 2017

    tomtoo,
    mir fallen zuerst die 7 Halswirbel ein , die den Kopf daran hindern, herunterzufallen.

  12. #12 tomtoo
    29. November 2017

    @Robert
    Dachte sieben Tage ?

  13. #13 Laie
    29. November 2017

    Das fehlende Zahlenverständnis ist Ergebnis der aktuellen Schul(aus)bildung. Selbstverständlich muss dieses noch weiter reduziert werden – so wie es der Vorschlag des Google-Managers fordert, um die Bürger / Wähler / Konsumenten noch leichter für blöd zu verkaufen.

    Das funktioniert sehr gut – manchmal jammern jedoch manche Vertreter aus der Wirtschaft, insbesonders die kleineren und mittleren Unternehmen – wenn es um fehlende Fachkräfte geht, weil die Lücke zwischen Angebot und Nachfrage nicht mehr zu schliessen wäre.

    Selbstverständlich kann man mit dem Schlagwort “Digitalisierung” die dahinterstehende Verblödung noch besser an Schulen durchsetzen, da dieser Begriff auf den ersten Blick “Fortschritt” suggeriert.

  14. #14 Robert
    29. November 2017

    Laie,
    leider ist das alles wahr.
    Böse Absichten dahinter unterstelle ich mal nicht.
    Der Auslesemechanismus an den Schulen funktioniert nicht mehr.
    Früher hat man auf Selektion wert gelegt. Deshalb ein dreigliedriges Schulsystem. Das war wirksam, und wenn eine Firma einen Realschüler eingestellt hat, dann konnte sie sich darauf verlassen , dass der rechnen kann.
    Heute geht es um Integration, alle sind gleich, keiner darf ausgegrenzt werden. Das geht aber nur , wenn man die Versetzungsordnung ändert und die Ansprüche herabsetzt.
    Es ist heute schwieriger jemanden sitzen zu lassen, als ihm eine Eins zu geben . Kein Witz!
    Die Firmen haben daraus gelernt und die Zeugnisse werden etweder gar nicht mehr anerkannt oder die Firmen führen nochmal eine Prüfung durch.
    Jede Hochschule kann das bestätigen. Selbst das Niveau der Abiturienten sinkt ständig.

  15. #15 Becky
    30. November 2017

    Die Zahl sieben taucht in der Populärliteratur und Märchen ja schon auffallend oft auf. Woran das liegt? Wer Weiß das schon…
    Das Königsberger Brückenproblem ist immer wieder schön, um auch absoluten Laien ein bisschen Graphentheorie zu zeigen. Darüber hatte ich auch schon mal etwas geschrieben.
    Viele Grüße, Becky

    http://bakingsciencetraveller.wordpress.com/

  16. #16 Laie
    4. Dezember 2017

    @Robert
    Man darf nicht vergessen, wie schwierig die Situation für Schüler geworden ist, die an Schulen, in denen durch permanentes Stören durch andere Schüler mit Aktivitätsvordergrund ein Wissenserwerb gar nicht mehr möglich ist.

    So gesehen ist das Verschenken wieder ausgleichend für diese Umstände, was aber letztendlich die Sachlage für den Betroffenen – da (Aus)Bildung fehlt – nicht bessert.

    Neben den störenden Aktivitätsvordergrund soll es auch einen Lehrerqualifikationsmangelhintergrund geben, der dann auch bei fehlendem Aktivitätsstörvordergrund zur fehlenden (Aus)-Bildung führt.

    Wenn beides zusammen trifft (hier absichtlich getrennt geschrieben!:) ), dann um so schädlicher, oder?

    Man könnte Lehrer auch ganz abschaffen und durch den Fernseher ersetzen, dann hat jeder den gleichen Stand, und die Ergebnisse wären vergleichbar! :)

  17. #17 dedickeBom
    4. Dezember 2017

    Laie,
    so einfach ist das nicht mit dem Stören. Viele Kinder stören , weil sie unterfordert sind. Wenn du die richtig rannimmst, dann stört keiner mehr.
    Lehrer/innen sind unverzichtbar, außer du lebst im Australischen Outback.
    Wir hatten eine Kollegin, die trug immer einen Minirock. Da waren die Schüler fremdmotiviert.
    Wenn bei mir Motivationsmüdigkeit vorlag, habe ich das Licht ausgemacht und eine Geschichte von Edgar Allen Poe erzählt. Wenn mir heute, nach 20 Jahren ,einer der Schüler begegnet, erzählen sie noch stolz von diesen Erlebnissen.

  18. #18 Laie
    5. Dezember 2017

    Unterforderung ist nicht die einzige Quelle für Stören. Bei
    unterforderten Schülern würde ein Home-Schooling helfen – da Eltern intuitiv besser mit ihren eigenen Kindern (in der Mehrzahl der Fälle) umgehen kann, als das, was man heute an Schulen lässt. Ja, das Niveau der Lehrer hat sich (im Durchschnitt) stark verschlechtert – da hilft auch kein Minirock. Wir hatte eine, die zog so neumodischen Mist an, um zu zeigen, dass sie etwas besonderes war. Über ihre schiefen Hüte mussten wir pausenlos lachen, das war nicht in ihrem Sinne. Sie war halt modern, oder hielt sich für modern – inzwischen laufen sogar Männer so herum…
    Ergo: Modepüppchen sind auch keine Lösung.

  19. #19 dedickeBom
    5. Dezember 2017

    Laie,
    Eltern sind oft nicht zu Hause, oder gar nicht greifbar. Eine Erziehung über Geschwister gibt es bei den vielen Einzelkindern auch nicht mehr. Dafür gibt es Smartphones. Irgendwann wird jemand auf die Idee kommen Unterricht online anzubieten. Wenn das irgendeine Medienschönheit macht, sind unsere Kids dabei.

  20. #20 Laie
    6. Dezember 2017

    @Bom
    Denk an die Kurzsichtigkeit, in Asien bereits ein Riesenproblem!

  21. #21 dedickeBom
    6. Dezember 2017

    Laie,
    die evolution wird auch das richten. Die Smartphones werden immer größer werden und die arme der Asiaten immer länger, wart’s ab!

  22. #22 Laie
    7. Dezember 2017

    @Bom
    Die Evolution hat es bereits gerichtet: Kurzsichtigkeit ist das Ergebnis. Dann fehlt Nachwuchs für die Armee!