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Das März-Heft des Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ist der algebraischen Zahlentheorie gewidmet: neben einem Überblicksartikel zum Langlands-Programm gibt es einen Artikel von F. Lemmermeyer zum 120-ten Jubiläum des Hilbertschen “Zahlberichts”, der in Heft 4 des Jahrgangs 1897 in derselben Zeitschrift erschienen war. (Vermutlich war die Veröffentlichung des Jubiläumsartikels eigentlich für Heft 4 des vergangenen Jahres geplant?)

Der Zahlbericht hatte damals den aktuellen Stand der algebraischen Zahlentheorie aufbereitet, insbesondere die bis dahin als unzugänglich geltenden Beweise in den Arbeiten der Berliner Zahlentheoretiker erst verständlich und der zahlentheoretischen Forschung zugänglich gemacht. Zahlentheoretische Arbeiten in den folgenden Jahrzehnten bauten meist auf dem Zahlbericht auf und zitierten dann oft auch diesen und weniger die Originalarbeiten.

Satz 90

Beispielsweise stammt der bekannteste Satz aus dem Zahlbericht, Hilbert Satz 90, eigentlich von Kummer. Dessen Beweis war aber kompliziert und unverständlich, wogegen Hilbert einen einfachen algebraischen Beweis fand.

Satz 90 sieht zunächst einmal sehr abstrakt aus.
Sei L/K eine zyklische Galoiserweiterung und \sigma ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes y\in L^\times mit Norm N_{L/K}(y)=1 von der Form
y=\frac{\sigma(x)}x
mit einem geeigneten x\in L^\times .

Eine elementare Anwendung

Es ist wohl nicht unmittelbar einsichtig, warum das ein wichtiger Satz sein soll, er hat aber zahlreiche zahlentheoretische Anwendungen. Die vielleicht elementarste betrifft rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen.

Ein klassischer Fakt aus der antiken Zahlentheorie ist, dass alle pythagoräischen Zahlentripel, also alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung

a^2+b^2=c^2

bis auf Multiplikation mit gemeinsamen Vielfachen von der Form

(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)

sind. Dafür gibt es natürlich direkte, elementare Beweise – man kann diese Formel aber auch als Folgerung aus Hilberts Satz 90 bekommen. (Was anscheinend erst von Noam Elkies erkannt wurde.)

Um den Satz 90 anzuwenden, setzt man K={\mathbb Q} und L={\mathbb Q}(i) . Aus a^2+b^2=c^2 folgt, dass y:=\frac{a+bi}{c} die Norm 1 hat. Wegen Satz 90 gibt es dann ein x \in{\mathbb Q}(i)^* mit y=\frac{\overline{x}}x . Durch Multiplikation mit einer geeigneten ganzen Zahl kann man x \in{\mathbb Z}\left[i\right] erreichen, also x =m+ni mit ganzen Zahlen m,n . Man rechnet dann nach, dass

\frac{a+bi}{c}=y=\frac{\overline{x}}x=\frac{m^2-n^2+2mni}{m^2+n^2}

ist, woraus folgt, dass (a,b,c) bis auf Multiplikation mit gemeinsamen Vielfachen von der Form (a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2) ist.

Weitere Entwicklungen

Satz 90 gibt also eine sehr algebraische Sicht auf diesen klassischen zahlentheoretischen Fakt, und es gibt einfache algebraische Beweise für diesen Satz, die durchaus nicht länger und komplizierter sind als die elementaren zahlentheoretischen Beweise.

Hilbert algebraischer Beweis war aber noch nicht das Ende der Algebraisierung dieses Satzes. Aus einer 1933 veröffentlichten Arbeit von Emmy Noether folgt, dass man Satz 90 konziser als einen Satz über Galois-Kohomologie formulieren kann: für jede Galoissche Körpererweiterung L/K mit Galoisgruppe G gilt

H^1(G,L^\times)=0.

Das wurde dann wiederum verallgemeinert in etaler Kohomologie, Grothendiecks wichtigstem Hilfsmittel in seinem Zugang zur algebraischen Geometrie. Für ein Schema X und dessen etale Kohomologie gilt

\mathrm H^1_{et}(X,\mathbb G_{\mathrm m})=Pic(X).

Und schließlich bewies Voevodsky (nach vorher von Merkurjev, Suslin, Rost gelösten Spezialfällen) in der motivischen Kohomologie die Exaktheit der Sequenz

\mathrm H^1(Y,\mathbb G_{\mathrm m}) \to^{1-\sigma} H^1(Y,\mathbb G_{\mathrm m}) \to^{N_{X/Y}} H^1(X,\mathbb G_{\mathrm m})

für normale Überlagerungen mit zyklischer Decktransformationsgruppe G
und Erzeuger \sigma . Für X=Spec(K) ist das die ursprüngliche Aussage von Satz 90. Weil sich algebraische K-Theorie von Körpern mittels motivischer Kohomologie interpretieren läßt, gibt dies auch eine Version von Hilbert Satz 90 in algebraischer K-Theorie und diese wiederum wurde dann ein wesentliches Argument in Voevodskys Beweis der Milnor-Vermutung.

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Kommentare (7)

  1. #1 Uli
    18. Januar 2018

    Tja, und da stehe ich nun als einfacher Informatiker.

    Ich bin ja durchaus Mathe-affin und hatte auch die eine oder andere hochtheoretische VL im Studium, aber bei solchen Artikeln raucht mir schon in Zeile 2 der Kopf.

    Weiter so!

    Ich finde das ein wirklich schönes Beispiel für “ich weiß, daß ich nichts weiß”!

  2. #2 tomtoob
    18. Januar 2018

    @Uli
    Lustig ist ja dass das Thilos Blog für die nicht so sehr Mathe affinen ist.
    *heul*

    ; )

  3. #3 weyoun
    18. Januar 2018

    90% der Worte kann ich aussprechen, verstehe sie aber nicht.

  4. #4 M. Ehret
    29. Januar 2018

    Hilberts Satz 90 – Der unverständlichste Wikipedia-Artikel

    Bloß gut, dass es diesen Blog von Thilo Kuessner und Franz Lemmersmeyers “120 Jahre Hilberts Zahlbericht” gibt. Ohne die beiden wäre Hilberts Zahlbericht ungeachtet an mir vorbeigegangen.

    Minkowski und Hilbert wurden 1893 von der DMV beauftragt, einen Bericht über die bisherigen Ergebnisse der Zahlentheorie zu schreiben, dem nur Hilbert mit seinem Bericht über die algebraische Zahlentheorie 1897 nachkommt, schreibt Lemmersmeyer. Dieser Zahlbericht wurde 1932 bei Springer als Buch publiziert und ist nun frei online zu finden, wie Kuessner schreibt.

    Beim Stöbern im Zahlbericht wundere ich mich sehr, denn ich hatte einen Bericht erwartet, in dem Hilbert seine Kollegen ausführlich würdigt oder kritisiert. Doch es ist ein ganz normales mathematisches Lehrbuch, nicht mal an der berühmten Stelle des 90. Satzes wird Kummer genannt, der Vorarbeiten dazu lieferte und dem wohl die Idee zu verdanken ist. Doch in Hilberts Literaturverzeichnis finden wir alle zu würdigenden Autoren:

    Abel, Arndt, Bachmann, Berkenbusch, Cauchy, Cayley, Dedekind, Dirichlet, Eisenstein, Frobenius, Fuchs, Gauß, Gmeiner, Hensel, Hermite, Hilbert, Hurwitz, Jacobi, Kronecker, Kummer, Lagrange, Lamé, Lebesgue, Legendre, Mertens, Minnigerode, Minkowski, Reuschle, Schering, Schwering,Serret, Smith, Stickelberger, Tano, Weber und Wolfskehl.

    Lemmersmeyer beschreibt den Enstehungsprozess des Werkes, nennt die gleichen Autoren und darüber hinaus Euler, Fermat, Taussky u.a. Er beschreibt auch die Rezeption des Zahlberichtes durch Artin, Bachmann, Hecke, Noether, Schappacher, Weil u.a.

    Thilo Kuessner hebt die Bedeutung von Hilberts Satz 90 in der modernen Forschung hervor und erwähnt Grothendieck und Wojewodsky. Doch warum hält er sich an die Wikipedia-Fassung https://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Satz_90, wo die “ursprüngliche Fassung” mit einer Galoiserweiterung beginnt, auf der Diskussionsseite dazu dieser Wikipediaartikel als der “vermutlich der unverständlichste Artikel” kritisiert wird, wo wir doch bei Hilbert selbst nachschlagen können:
    https://de.wikisource.org/wiki/Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/166

    und sehen, dass Hilbert mit einem (abstrakten) Zahlkörper K beginnt und am Ende in seinem 90. Satz eine Art Produktzerlegung für ganze oder gebrochene Zahlen in K findet?

  5. #5 Thilo
    29. Januar 2018

    Auf das Wikisourceprojekt hatte ich ganz unten (auf Seite 2) hingewiesen – das Projekt läuft schon seit Jahren und man kann gar nicht oft genug darauf hinweisen, dass da noch viele Korrekturleser benötigt werden.

  6. #6 Thilo
    29. Januar 2018

    Ob einem die Formulierung aus dem Wikipedia-Artikel oder die aus dem Originalbericht besser gefällt, ist natürlich Geschmackssache. Für mich ist die heutige Sprache verständlicher, insbesondere ist für mich mit dieser Formulierung die Anwendung auf die pythagoräischen Zahlentripel unmittelbar einsichtig. (Mich würde mal interessieren, warum die anscheinend 100 Jahre unbemerkt blieb, wenn das denn wirklich so ist.) Aber wahrscheinlich bin ich einfach nur an die heutige Sprache gewöhnt und an Hilberts eben nicht.

    Interessant wäre ja noch, ob und wie sich die Formulierung bei Hilbert von der bei Kummer unterscheidet, auf den der Satz ja ursprünglich zurückgeht. Der Verdienst von Hilberts Zahlbericht soll ja gerade darin bestanden haben, die unverständlichen Arbeiten Kummers der mathematischen Forschung zugänglich gemacht haben, Ich weiß nicht, ob sich das nur auf die Beweise bezieht oder auch auf die Formulierungen der Sätze.

  7. #7 M. Ehret
    12. Februar 2018

    Kummers Arbeit Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren behandelt nur komplexe Zahlen, wie der Titel schon sagt. Kummer beschreibt algebraische komplexe Zahlen, genauer: komplexe p-te Wurzeln aus 1, p Primzahl, und bildet mit ihnen Produktzerlegungen und Äquivalenzklassen.

    Der Artikel ist 40 Seiten lang. Außerdem gibt es einen 8-seitigen Vorartikel Zur Theorie der complexen Zahlen dazu im gleichen Heft. Hier kommen tatsächlich auch quadratische Formen vor (aber immer mit komplexen und nicht notwendigerweise ganzzahligen Lösungen), er verweist auf Dirichlet an dieser Stelle. Hilberts Satz 90 ist viel allgemeiner formuliert und dennoch viel eleganter bewiesen. Er passt mit Beweis auf eine Seite.

    Kummers Artikel ist heute zugänglich. Er erschien in Crelles Journal, was in der mathematischen Welt eigentlich immer zugänglich war, und welches nun von der Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen digitalisiert, öffentlich und frei zugänglich gemacht wurde. Wer Lust und Zeit hat, kann mit diesem Band 35 in die Welt von 1847 eintauchen, sich vorstellen, wie Kummer geschrieben und gesprochen haben mag, wie er wohl “Function” oder “complexe Zahl” ausgesprochen hat mit seinem Breslauer Dialekt, sich freuen, dass er jetzt in Deutsch schreibt und spricht, einige wenige lateinischen Aussprüche verstehe ich natürlich nicht, und

    “Auch sieht man, daß die idealen Primfactoren die innere Natur der complexen Zahlen aufschließen, sie gleichsam durchsichtig machen und das innere crystallinische Gefüge derselben zeigen. Ist nämlich eine complexe Zahl nur unter der Form

    a + a_1 \alpha + …”

    auf S. 323 zeugt doch von großer innerer Freude und Zuversicht, doch was meint er mit dem crystallinischen Gefüge?