Wenn man für den Rand eines konvexen Körpers die Wechselsumme #Ecken-#Kanten+#Flächen berechnet erhält man immer 2 als Ergebnis. Zum Beispiel für den Würfel 8-12+6=2 oder für den Tetraeder 4-6+4=2. Wenn man dasselbe für den Rand eines 4-dimensionalen konvexen Körpers macht, wird man stets 0 als Ergebnis erhalten. Beispielsweise hat der oben abgebildete Hexadecachoron 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Flächen und 16 Körper und es ist 8-24+32-16=0. In höheren Dimensionen bekommt man für die entsprechenden Wechselsummen ebenfalls immer 2 oder 0, je nachdem ob die Dimension gerade oder ungerade ist.

Interessanterweise gibt es aber – für in Simplizes zerlegte Polytope (also zum Beispiel aus Dreiecken bestehende Polyeder) – eine allgemeinere Aussage, die nicht davon abhängt, ob die Dimension gerade oder ungerade ist. Wenn man wie im Bild unten ein Dreieck bildet, bei dem links überall 1 steht, rechts die verschiedenen Anzahlen stehen (im Bild unten für das Hexadecacoron 8, 24, 32, 16) und man unter je zwei Zahlen die Differenz der beiden schreibt, also die 7 unter 1 und 8 usw:
C0D6A694-E54E-4E0D-809B-1D32547252A7
dann erhält man in der letzten Zeile eine Zahlenfolge, die symmetrisch ist. Insbesondere, weil ja links nach Definition eine 1 stand, muß in der letzten Zeile auch rechts eine 1 stehen.
Man kann nun zeigen, dass diese rechts unten stehende 1 logisch äquivalent dazu ist, dass die ursprünglichen Wechselsummen (je nach Dimension) 2 oder 0 waren. Man hat also die dimensionsabhängige Aussage „die Wechselsumme ist 0 oder 2“ durch die logisch äquivalente und nicht dimensionsabhängige Aussage „im Dreieck steht rechts unten eine 1“ ersetzt.
Die Symmetrie der letzten Zeile ist aber natürlich ein viel stärkeres Ergebnis als nur dass rechts unten eine 1 steht. Man hat also noch eine viel stärkere und sehr gut versteckte Symmetrie der Kennzahlen von triangulierten Polytopen gefunden. (Dieser Satz geht auf Dehn und Sommerville zurück.)
Diese Geschichte sehr viel ausführlicher erzählt das letzte Numberphile-Video mit June Huh:

Neben der Symmetrie erkennt man noch ein weiteres Muster in der letzten Zeile: die Folge wächst in der ersten Hälfte der Zeile, in der zweiten Hälfte fällt sie. (Solche Folgen nennt man unimodal.) Dass die Folge in der letzten Zeile (für triangulierte Sphären) IMMER unimodal ist, ist eine unbewiesene Vermutung, die „g-Vermutung“.
June Huh hat zwar noch nicht diese Vermutung, aber vor einigen Jahren eine scheinbar ähnliche Vermutung bewiesen: er zeigte, dass die Koeffizienten des chromatischen Polynoms eines Graphen immer eine unimodale Folge bilden. Die g-Vermutung sieht auf den ersten Blick zunächst eigentlich einfacher aus, ist aber noch offen.

Kommentare (26)

  1. #1 alex
    20. Juli 2018

    Der Eulersche Polyedersatz gilt ja für beliebige konvexe Polyeder. Im Video spricht June Huh aber immer nur von “triangulated spheres”, was ich als nicht-Fachmann mal so interpretieren würde, dass das Objekt ausschließlich aus Simplizes (unterschiedlicher Dimensionen) zusammengesetzt sein muss.

    Und in der Tat ist beim Würfel die letzte Zeile des Dreiecksschemas [1, 5, -1, 1], also nicht symmetrisch.

  2. #3 Thilo
    20. Juli 2018

    Der Rand eines konvexen Körpers ist immer eine Sphäre, aber man braucht tatsächlich für die Symmetrie und die vermutete Unimodalität, dass es sich um eine Zerlegung in Simplizes (Dreiecke, Tetraeder, …) handelt. Ich habe das jetzt in Kursivschrift im Artikel ergänzt. Bei z.B. den platonischen Körpern trifft das auf Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder zu.

  3. #4 H.M.Voynich
    20. Juli 2018

    Dieser Wechsel zwischen 0 und 2, je nach Dimensionsanzahl, ist doch auch wirklich nicht nötig!?
    Wenn man alle “Entitäten” mit geradzahliger Dimension (Ecken, Flächen, 4D-Körper …) addiert, und alle mit ungeradzahliger Dimension (Kanten, 3D-Körper, 5D-Körper …) subtrahiert, erhält man immer 1.
    Würfel: 8 Ecken – 12 Kanten + 6 Flächen – 1 Körper = 1
    Hexadecachoron: 8 Ecken – 24 Kanten + 32 Flächen – 16 Körper + 1 4dKörper = 1

  4. #5 UMa
    20. Juli 2018

    Ich war zu spät, möchte aber H.M.Voynich zustimmen.

    Der Wechsel zwischen 0 und 2 je nach gerader oder ungerader Dimensionsanzahl ist künstlich.

    Für jede Dimension kommt 1 heraus, wenn man den Körper mit der höchsten Dimension berücksichtigt.

  5. #6 Lennart
    20. Juli 2018

    hubert taber
    ist das Hexadecachoron nur eine mathematische Konstruktion oder könnte es sein, dass so ein “Gebilde” tatsächlich existiert, ich meine nicht sichtbar, sondern als physikalisches “Gebilde”, dass sich bis in unsere 3 D Welt auswirkt, also gemessen werden kann.

  6. #7 hubert taber
    20. Juli 2018

    meine bescheidene meinung:
    diese mathematischen “dimensionen” sind nur erdachte surreale hirngespinste.
    ebenso die erdachten “vektor-räume”.
    erdachtes das nur in der IMAGINATION existiert.
    aber nicht in der REALITÄT.
    und genau deshalb ist mit diesen imaginationen nichts erklärbar oder gar beweisbar.
    mfg. h.t.

  7. #8 Lennart
    21. Juli 2018

    hubert taber
    klare Meinung, Danke !

    Andererseits, die komplexen Zahlen waren anfangs auch nur theoretisch, bis man beim Blindstrom für sie Verwendung gefunden hat.

  8. #9 hubert taber
    21. Juli 2018

    die komplexen additionen sind im universum gang und gäbe.
    nämlich die winkelabhängige addition von energetischen wirkungen.

    beispiele für imaginäres:
    poincaré-vermutung.
    es geht um die topologie einer “4D”-kugel mit “3D”-oberfläche.
    es existiert aber in universum keine “4D”-kugel mit “3D”-oberfläche.
    nun dann hat perelmann nur einen scheinbeweis für ein scheinproblem geliefert.

    vektorräume.
    es existiert kein “4D”-minkowskiraum und auch keine “unendlich”-dimensionalen hilbert-räume.
    ausser in der IMAGINATION.
    und mit solchen imaginären rechenmodellen ist eben nichts erklärbar oder beweisbar.
    mfg. h.t.

  9. #10 alex
    21. Juli 2018

    @ H.M.Voynich:
    Naja, dann betrachtet man aber nicht die n-Sphäre, sondern die n-Vollkugel. Das ist also strenggenommen eine andere Fragestellung.

  10. #11 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    21. Juli 2018

    @hubert taber
    . . . .. erheben wir doch die Imagination in einen Status der Realität ! Sie beschreiben doch mit recht viel Energie deren (Nicht-)Existenz 🙂
    . . . .. Energie und Leidenschaft existieren in unserem Universum nie ausserhalb von Realität, ausserhalb von Vorstellungen schon .. . . .

  11. #12 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    21. Juli 2018

    @ hubert taber

    und mit solchen imaginären rechenmodellen ist eben nichts erklärbar oder beweisbar

    . . . .. einem NICHTS gegenüber kann ich mich mit solchen rechenmodellen erklären
    . . . .. beweisen muss ich mir das dann nicht mehr 🙂
    Haben Sie Mathematik schon einmal erlebt?

  12. #13 Lennart
    21. Juli 2018

    erik
    dem Nichts kommt in mehrerlei Hinsicht Existenz zu.
    Stell dir eine Leiter vor, der eine Sprosse fehlt, die fehlende Sprosse fällt sofort ins Auge und sie kann verhängnisvoll werden für den Kletterer.
    Die Null im Zahlensystem ist ungemein nützlich.
    Das Etwas braucht das Nichts für seine Existenz. Das Nichts liefert den notwendigen “Platz” für das Etwas.
    Und zum Schluss, wenn wir mal “nichts” denken uns also ausruhen, das ist doch eine Wohltat, reine Wellness, und da kann mir niemand mehr behaupten “Nichts” gibt es nicht.
    Wenn es allerdings ausschließlich nur das Nichts gibt, dann gibt es das Nichts nicht.

  13. #14 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    21. Juli 2018

    @Lennart
    Warum willst du eine Tür aufstoßen, welche offen steht? Der Impuls des Aufstoßens der Tür hat bewirkt, das du in den offenen Raum hereingefallen bist. Jetzt liegst du in dem Raum und . . . .. schau dich doch einmal um 🙂
    . . . .. Was siehst du? Nichts!

  14. #15 hubert taber
    21. Juli 2018

    @ Lennart:
    das nichts ist die vorstufe des seins.
    und die informale logik ist die vorstufe zur formalen logik.
    mfg. h.t.

  15. #16 hubert taber
    21. Juli 2018

    @ Lennart:
    ich bin fernmeldetechniker.
    mir fehlt die betriebsblindheit (=”verbildung”) der mathematiker und theoretiker.

    z.b. elementarteilchen:
    wenn teilchen diametral aufeinander zukommen dann weichen diese magnetisch und statisch aus.
    bei grossen geschwindigkeiten “krachen” diese ineinander und lösen sich gegenseitig auf.
    auch nach dieser auflösung sind die ingrediezien der teilchen immer noch da.
    die 3 energien magnetismus, kinetik und elementarladung.
    frei und nicht mehr teilchengebunden.

    den dummen theoretikern ist nicht bekannt dass nach auflösung der materie oder teilchen die 3 energien noch immer vorhanden sind.
    dass nichts “verschwindet” und auch nichts “umgewandelt” wird.
    plötzlich ist alles mit einfacher mengenlehre erklärbar.

    deren theorien und imaginäre rechenmodelle sind ein einziges kartenhaus.
    mfg. h.t.

  16. #17 Lennart
    21. Juli 2018

    hubert taber
    wenn die Teilchen aufeinanderkrachen, dann können sie sich in andere Teilchen verwandeln.
    Nach den Erhaltungssätzen, die immer noch gelten, bleiben der Impuls und die Ladung erhalten. Die magnetische Kraft ist dabei nur ein relativer Effekt der elektromagnetischen Kraft.
    Um das genauer zu erforschen werden doch die großen Teilchenbeschleuniger gebaut.

    erik
    dir muss ich mit einem Gedicht antworten. Nur die Kraft der Lyrik kann die Leere des Nichts füllen. Etwas Geduld !

  17. #18 Lennart
    22. Juli 2018

    Nachtrag erik,
    auf dem Weg zum Nichts
    Auf einem Wege einsam und obskur,
    aufgesucht von bösen Engeln nur,
    wo ein Wesen dort mit Namen “Nacht”
    auf schwarzem Throne hat die Macht,
    dies unbekannte Land hab ich erreicht , so schwer
    von einem fernen , düstren thule her,
    von einem wilden, dunklen land, das da liegt so weit,
    Nicht im Raum – Nicht in der Zeit.

    damit du keine Depressionen bekommst, ende ich hier.

  18. #19 hubert taber
    22. Juli 2018

    @ Lennart:
    das ist die lehrmeinung und das standardmodell.
    wider jede logik und beweisbar falsch.
    das standardmodell wird aber mit allen mitteln künstlich am leben erhalten.
    siehe unter:
    http://scienceblogs.de/mathlog/2016/12/07/kontruktivismus/#comment-234456

    und ich möchte nicht weiter ins leere erklären.
    mfg. h.t.

  19. #20 rolak
    22. Juli 2018

    ich möchte nicht weiter ins leere erklären

    Solltest Du aber lieber – denn nur in der absoluten Leere fallen leere Sprüche nicht als besonders inhaltsleer auf.

  20. #21 Lennart
    22. Juli 2018

    rolak
    nachdem du dich hier als Funktionalist geoutet hast.
    Wie denkst du über eine 4-D- Kugel . Hat die immer noch eine Kugelform ?
    Ich empfinde nämlich solche Gedanken über höherwertige Dimensionen als Poesie der Logik.
    Und wenn die Logik solche Gedanken erlaubt, ja sogar fordert, dann gibt es solche” Strukturen ” a priori.
    (Plato wird sich freuen)

  21. #22 hubert taber
    27. Juli 2018

    @ Lennart #21:
    nein.
    da es auch geisteskrankheiten gibt.
    neurosen und psychosen.
    paranoia und schizophrenie.
    die imagination eines schizophrenen ist nicht real.
    und ebensowenig die imaginationen von “verbildeten” deren scheinwissen nur auf einer abfolge von trugschlüssen basiert.
    mfg. h.t.

  22. #23 hubert taber
    27. Juli 2018

    p.s. der mathematiker john nash war schizophren.
    er wurde nie wirklich geheilt.
    kurt gödel litt an paranoia.
    und ging daran zugrunde.

    wie könnten psychisch kranke “gute” mathematiker sein?
    die psychische “erkrankung” der theoretischen physiker müssten fachärzte erst definieren.
    die liegen sowas von daneben.
    mfg. h.t.

  23. #24 Thilo
    27. Juli 2018

    Nash und Gödel waren nach ihrer Erkrankung keine guten Mathematiker mehr. Abgesehen davon weiß ich nicht, was das mit dem &hema des Beitrags zu tun hat.

  24. #25 hubert taber
    27. Juli 2018

    lieber dr.!
    es geht in diesen beiträgen darum dass nur eingebildete oder eingeredete scheinlogik eben NICHT real ist.

    übrigens war nash schon als student schizophren.
    bei gödel trat die erkrankung erst später auf.
    als er schon bekannt war und er in princeton wirkte.
    mfg. h.t.

  25. #26 hubert taber
    27. Juli 2018

    nach 25 posts ein FAZIT:
    die nur erdachten mathematischen “dimensionen” und auch die nur erdachten “vektorräume”
    LIEGEN UNISONO IM 3D-RAUM.

    und sind daher nur ein imaginäres zerrbild der realität!
    mfg. h.t.