978-613-1-25089-7-full

Im letzten Beitrag hatten wir über Färbungen von Graphen geschrieben und darüber, dass das chromatische Polynom stets unimodal ist, also seine Koeffizienten erst steigen und dann fallen. Zum Beispiel hat der vollständige Graph auf fünf Knoten K5 das chromatische Polynom x5-10x4+35x3-50x2+24x oder der bipartite Graph K2,3 das chromatische Polynom x5-6x4+15x3-17x2+7x oder der Petersen-Graph das Polynom x10-15x9+104x8-455x7+1353x6-2861x5+4275x4-4305x3+2706x2-704x.

4-simplex_graph.svg Biclique_K_2_3.svg Petersen_graph_3-coloring.svg

In einer nächsten Monat in den Annals of Mathematics erscheinenden Arbeit von Adiprasito, Huh und Katz wird nun gezeigt, dass dies ein Spezialfall eines allgemeineren Phänomens ist und allgemein für die chromatischen Polynome sogenannter Matroide gilt. Dahinter steckt eine Struktur, die in allen möglichen Zusammenhängen der Mathematik vorkommt und damit für viele in unterschiedlichen Zusammenhängen vorkommende unimodale Polynome verantwortlich ist: die sogenannten Lefschetz-Pakete.

Die sind ursprünglich bekannt aus der komplexen Geometrie als eine bestimmte Struktur auf der Kohomologie nicht-singulärer projektiver Varietäten (und allgemeiner Kähler-Mannigfaltigkeiten): Poincaré-Dualität, schwerer Lefschetz-Satz und Hodge-Riemann-Relationen. Dieselben Strukturen gibt es auch auf der sogenannten Schnittkohomologie beliebiger Varietäten (mit Singularitäten).

Seit den 40er Jahren waren die Weil-Vermutungen die größte offene Frage der algebraischen Geometrie. Sie besagen, dass man die Lösungen einer polynomiellen Gleichung modulo pm (einer Primzahlpotenz) bestimmen kann, wenn man die algebraische Topologie (die Bettizahlen) derselben Gleichung über den komplexen Zahlen kennt. Zum Beispiel ist es nicht einfach die Anzahl der Lösungen von x3+y3+z3=0 modulo einer Primzahlpotenz zu berechnen. Über den komplexen Zahlen ist diese Kurve (in der projektiven Ebene) aber einfach ein Torus. Die Bettizahlen sind b0=1,b1=2,b2=1. Mit den Weil-Vermutungen bekommt man dann zum Beispiel 9 Lösungen modulo 7, 63 Lösungen modulo 72, 324 Lösungen modulo 73 und eine allgemeine Formel für die Lösungen modulo 7m.
Alexander Grothendieck hatte 1968 erkannt, dass man die Weil-Vermutungen herleiten könnte, wenn es es eine Struktur aus Poincaré-Dualität, schwerer Lefschetz-Satz und Hodge-Riemann-Relationen auch auf der Gruppe algebraischer Zykel (modulo homologischer Äquivalenz) in einer algebraischen Varietät gibt. Diese Vermutung wurde dann als Standardvermutung bekannt.

Grothendieck verließ bald danach die Mathematik und für die Standardvermutung sind bis heute nicht viel mehr Beispiele bekannt als schon 1968. Die Weil-Vermutungen wurden 1974 von Grothendiecks früherem Schüler Pierre Deligne bewiesen, er benutzte aber statt der Standardvermutungen explizitere Methoden der Zahlentheorie (Modulformen), mit denen sich Grothendieck nicht im Geringsten auskannte. In Récoltes et Semailles beschwerte sich Grothendieck bitter darüber, dass seine Arbeit von seinen Schülern nicht fortgesetzt worden sei und diese die Schwierigkeiten einfach “umgangen” hätten.

Während also die Standardvermutungen immer noch offen sind, hat man inzwischen dieselben Strukturen – Poincaré-Dualität, schwerer Lefschetz-Satz und Hodge-Riemann-Relationen – in vielen anderen Bereichen der Mathematik gefunden. Die bemerkenswertesten Beispiele sind vielleicht die Arbeiten von Elias und Williamson, die solche Strukturen in der Darstellungstheorie finden, und die erwähnte Arbeit von Adiprasito, Huh und Katz, die solche Strukturen in der Theorie der Matroide findet. Sowohl Williamson als auch Huh und Adiprasito werden übrigens immer wieder als Kandidaten für die Fields-Medaillen genannt, die nächste Woche in Rio de Janeiro vergeben werden.

Diese Strukturen sind dann wiederum verantwortlich dafür, dass unimodale Polynome in so vielen unterschiedlichen Gebieten der Mathematik vorkommen.
Grob gesagt folgt aus den Hodge-Riemann-Relationen die Positivität gewisser Determinanten, also Ungleichungen der Form ai2-ai+1ai-1>0. Eine Folge von Null verschiedener Zahlen, die diese Ungleichung für alle i erfüllt, ist unimodal.

Es gibt aber unimodale Polynome auch noch in vielen Bereichen der Mathematik, wo es noch keine Erklärung (und keinen Beweis) für die Unimodalität gibt. Zum Beispiel hat Stoimenow vermutet, dass das Alexanderpolynom von Knoten unimodal ist. Es deutet also vieles darauf hin, dass es Analoga zu Grothendiecks Standardvermutungen noch sehr viel allgemeiner in aller möglichen Mathematik geben könnte – irgendeine Metastruktur, die sich dann auf völlig verschiedene mathematische Strukturen anwenden ließe.

Kommentare (32)

  1. #1 Laie
    27. Juli 2018

    Ist nicht K2,3 ein vollständig bipartiter Graph?

  2. #2 Thilo
    27. Juli 2018

    Ja, warum?

  3. #3 hubert taber
    27. Juli 2018

    beim lesen solcher artikel bekomme ich immer kopfschmerzen.
    der sagte, der vermutete, der bewies, der widerlegte den, der stellte den in frage etc.

    angeblich werden jedes jahr ca. 200.000 neue theoreme in die welt gesetzt.
    garantiert eines unlogischer als das andere.
    diese art scheinlogische “formalwissenschaft” sollte nicht ausserhalb von gummizellen betrieben werden.

    ich bin nur fernmeldetechniker.
    ich beherrsche aber die division 0 / 0
    erklärt und bewiesen mit einer sinusfunktion im rechtwinkeligen dreieck.
    diese division erklärte ich schon früher im SB.
    leider wurde der komplette blog gelöscht.
    es war der blog vom deutschen museum.
    mfg. h.t.

  4. #4 Laie
    28. Juli 2018

    @Thilo
    Weil bei dem vollständigen Graphen K5 die Angabe vorkommt, daher müsste sie auch beim vollständigen bipartiten Graphen aus meiner Sicht dabeistehen (obwohl es eh aus der Grafik hervorgeht), um Missverständnissen vorzubeugen. Andererseits geht es eh aus dem Kontext hervor, und meine Frage wäre irrelevant.

  5. #5 hubert taber
    28. Juli 2018

    p.s. zu #3:
    auf wundersame weise ist noch alles in der google lesbar:
    http://scienceblogs.de/deutsches-museum/2014/04/15/zeitmessung-mit-schiefer-ebene/#comment-139

    mfg. h.t.

  6. #6 Laie
    29. Juli 2018

    @hubert taber
    Mir gefallen diese Überlegungen, bei denen es zu Ausdrücken wie “0/0”, oder “unendlich”/”unendlich” kommt. Die Regel von de l’Hospital macht es oft leicht, ein korrektes Ergebnis zu erhalten.

    So wird aus x/sin(x) mit x gegen 0, eins,
    weil dazwischen zu (1/cos(0)) = 1 führt. Hier ist also “0”/”0″ =1. (Falls ich mich nicht verrechnet habe)

  7. #7 Sven
    29. Juli 2018

    Laie,

    ja, der Grenzwert von x/sin(x) für x gegen 0 ist 1. Aber daraus lässt sich selbstverständlich nicht folgern, dass 0/0 gleich 1 ist.

  8. #8 hubert taber
    29. Juli 2018

    @ Laie #6:
    bitte lese den link und vergiss de l’hospital.
    bei 0 / 0 ist jedes ergebnis als wahr enthalten und nur ein ergebnis unwahr nämlich unendlich.
    mfg. h.t.

  9. #9 Laie
    29. Juli 2018

    @Sven, @hubert taber
    Ja, je nach Fall kann etwas anderes herauskommen. Daher war obiges von mir auch als Bestätigung, dass bei den Formen von “0”/”0″ (fast) jedes Ergebnis herauskommen kann. [Ich glaube schon mal gehört zu haben, dass es sogar andere Formen gibt (aber nicht beim Dreiecksbeispiel), wo sogar “unendlich” rauskommen soll.]

    @Sven
    Für den einen Fall schon, daher habe ich ihn erwähnt.
    Bitte nicht als Verallgemeinerung für alle Fälle missverstehen. Es heisst auch, die Mathematik müsse unvollständig sein, sonst wäre sie widersprüchlich – was auch immer das heisst!

  10. #10 Sven
    29. Juli 2018

    Laie,

    ja, der Quotient zweier Funktionen die beide Grenzwert 0 haben kann jede beliebige reelle Zahl als Grenzwert haben. Für eine reelle Zahl a nehme man einfach a x als Zähler und x als Nenner. Auch plus und minus unendlich sind als uneigentliche Grenzwerte möglich (z.B. mit x oder -x als Zähler und x³ als Nenner). Und es ist auch möglich, dass kein Grenzwert existiert (auch kein uneigentlicher), z.B. für Zähler x und Nenner x², wo man “von rechts kommend” uneigentlich plus unendlich und von links kommend minus unendlich erhält.

    Aber wie gesagt hat das recht wenig damit zu tun, ob 0/0 definiert ist oder welchen Wert dieser Ausdruck gegebenenfalls hat. Allenfalls könnte man dies als Hinweis darauf auffassen, dass es vermutlich nicht sinnvoll ist, 0/0 zu definieren. Mir ist kein Kontext in der Mathematik bekannt in dem 0/0 definiert ist (selbst auf der Riemannschen Zahlenkugel, wo Ausdrücke wie 1/0 oder 1/∞ definiert sind, bleibt 0/0 undefiniert), ich würde aber nicht ausschließen, dass es so etwas gibt.

    Als eine Art “Gegenbeispiel” zum Versuch, bei 0/0 mit Grenzwerten zu argumentieren: Für 0^0 (also null hoch null) ist die Situation wie bei 0/0. Wenn f(x) und g(x) zwei Funktionen mit Grenzwert 0 sind, kann f(x)^g(x) beliebige Werte als Grenzwert haben (auch plus oder minus unendlich) oder auch undefiniert sein. Dennoch wird in der Mathematik oft (aber nicht immer) 0^0 = 1 definiert. Und zwar weil sich diese Definition als zweckmäßig erweist.

    Es heisst auch, die Mathematik müsse unvollständig sein, sonst wäre sie widersprüchlich – was auch immer das heisst!

    Das soll vermutlich eine einfache Formulierung von Gödels Unvollständigkeitssatz sein. “Unvollständig” meint dort, dass es mathematische Aussagen gibt, die wahr sind aber für die es trotzdem keinen Beweis geben kann.

  11. #11 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    29. Juli 2018

    #15
    „das nichts ist die vorstufe des seins.
    und die informale logik ist die vorstufe zur formalen logik.“ in http://scienceblogs.de/mathlog/2018/07/20/die-g-vermutung/

    #11
    „dass es mathematische Aussagen gibt, die wahr sind aber für die es trotzdem keinen Beweis geben kann. „ in http://scienceblogs.de/mathlog/2018/07/24/die-einheit-der-mathematik/

    Wie eine Einheit der Mathematik formulieren, welche teilweise ohne Beweise auskommen muss? Augenmerk lege ich auf die „informale Logik“: Einheit – teilweise ohne Beweise . . . ..
    . . . .. unstrittig bilden hubert tabler und alle anderen Kommentatoren auf diesem Blog eine Einheit, im Sinne einer informalen Logik.
    . . . .. strittig ist ein Verhalten der Kommentatoren im Sinne der formalen Logik!
    . . . .. interessant ist es zu erleben, wie eine eigene informative Logik den Denkzustand verändert, wenn diese in eine Form gebracht werden soll, zum Beispiel als Kommentar – der menschliche Körper als „Resonanzraum“ eines Denkens verspürt eine Veränderung und ist erst dann in der Lage eine formale Logik „zu Form“ zu bringen (nieder zu schreiben …)
    . . . .. gleicher Vorgang vollzieht sich zwischen einem „nichts“ und einem „sein“ – und . . . .. das „sein“ eines Kommentars muss nicht bewiesen werden, weil ich bereits mit ihm interagiere . . . ..
    . . . .. Wie kann #11 verstanden werden? Welche Bedingungen schaffen einen Zustand von Einheit – teilweise ohne Beweis?

  12. #12 hubert taber
    29. Juli 2018

    @ Sven #10:
    0 / 0 ist definiert durch die mögliche länge der hypotenuse.
    und ist eine wichtige division da damit der absolute stillstand erklärt wird.
    weg 0 / geschwindigkeit 0.
    das ergebnis stellt die rechnung zeit auf gleich.

    warum ist dabei unendlich unwahr?
    da keine “unendliche” hypotenuse existiert.
    es gibt auch keine “unendlichen” geraden und ebenso wenig “unendliche” parallele die sich auch noch angeblich “treffen”.

    die herren “logiker” setzen nur wirre scheinlogik in die welt.
    die aber mathematisch “bewiesen” wird.
    leider nur in deren imagination.
    mfg. h.t.

  13. #13 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    29. Juli 2018

    Gibt es einen mathematischen Beweis für die Zahl 1? – formale Logik: Mathematik
    Was steht für eine informale Logik der Zahl 1, von der wir eine formale Logik darstellen können? – Existenz von gequantelter Energie: Physik
    Ma||Ph bilden eine Einheit, welche eine formale Logik erst ermöglichen – dahingestellt sei, ob eine informale Logik ohne formaler Logik existent sein kann?
    Wohl eher nicht! Auf Grund des Energieerhaltungssatzes der Physik (Begrenztheit von Form und Energie) kann die Mathematik des menschlichen Seins nicht unendlich formal in Logik gebracht werden. Ihr geht faktisch das Benzin (Energie) aus.
    . . . .. Schlussfolgernd: Ma||Ph bilden einen energetischen Bewegungsraum welcher mit [1] bezeichnet werden kann, weil alle existierenden Eigenschaften sich innerhalb der [ ] abwickeln, auch das existierende Nicht. Alle Eigenschaften, Zustände … innerhalb der [ ] können als Beweis dargestellt werden, nicht aber Eigenschaften ausserhalb der [ ] eines Einheitsraumes . . . ..
    . . . .. Mathematik kann Eigenschaften in eine formale Logik bringen, welche ausserhalb des [ ]-Einheitsraumes liegen und Eigenschaften, Zustände … innerhalb des [ ]-Einheitsraumes in kollabierende Zustände bringen . . . .. einfach nur durch Nachdenken . . . ..

    . . . .. der [Ma||Ph]-Einheitsraum besitzt einen Sicherheitsschlüssel: einen Einheitsraum-[Störung||Entstörung], basierend auf [actio=reactio] – welcher zu Zeiten der Dinosaurier schon einmal in Aktion getreten ist . . . ..

  14. #14 hubert taber
    30. Juli 2018

    @ erik||e #13:
    das nichts ist die vorstufe des seins.
    und daher kein philosophischer widerspruch.

    informale logik bedeutet dass im universum schon logisch “gerechnet” wird ohne dass für uns eine form erkennbar wäre.
    z.b. die addition von 0D-punkten aus denen alles besteht.

    und vergiss diese mathematischen “räume” da diese unisono im 3D-raum liegen und nur ein imaginäres zerrbild der realität sind.

    leider sind unsere theoretiker nicht die hellsten unter der sonne.
    mfg. h.t.

  15. #15 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    30. Juli 2018

    @hubert taber

    informale logik bedeutet dass im universum schon logisch “gerechnet” wird ohne dass für uns eine form erkennbar wäre.
    z.b. die addition von 0D-punkten aus denen alles besteht.

    . . . .. #13: Gibt es einen mathematischen Beweis für die Zahl 1? – formale Logik: Mathematik
    Was steht für eine informale Logik der Zahl 1, von der wir eine formale Logik darstellen können? – Existenz von gequantelter Energie: Physik

    . . . .. Ma||Ph nehme ich als Ausgangspunkt, es folgen in der Evolution im Universum der Wissenschaft: [Ph-Ch]||[Bio]::Ma-Lokal
    . . . .. Ma-Lokal bedeutet, das der Mensch als [A] Mathematik in Form von Lokalität im Universum von Nichtlokalität einbringen und verbinden kann – ein [A] nutzt [Zeit], um eine Verbindung zur Nichtlokalität und dessen [Zeit] zu entwickeln
    . . . .. diese Entwicklung gilt für mich, für dich und alle anderen Menschen auf dieser Welt: so viel zu deiner Freiheit, eine Realität der Mathematik aus deinen Vorstellungen von Realität auszuschließen
    . . . .. somit haben wir: NL-Ma||Ph entwickelt sich im Universum zu [A]-Ma-L mit dem Ziel L||NL auf [Ω]-Erde
    . . . .. aus dieser Sicht könnte man auch sagen: Die Erde steht im Mittelpunkt des Universums. Aber nur, wenn man offene Türen aufstößt, dabei hinfällt und dann auch noch nichts sieht :)

  16. #16 hubert taber
    30. Juli 2018

    p.s. @ Sven und @ Laie:
    sin 90 = 1 sin 0 = 0
    der “grenzwertrechner” de l’hospital war vermutlich irre.
    auch mein taschrechner TI-68 kann es.
    mfg. h.t.

  17. #17 hubert taber
    30. Juli 2018

    p.p.s.
    unendlich / unendlich = 1
    da gibt es keine mehrdeutigkeiten.
    trotz grenzwerten.

    ein sonderfall ist tatsächlich nur 0 / 0
    mfg. h.t.

  18. #18 Thilo
    30. Juli 2018

    Was ist der Grenzwert von 2x/x für x gegen Unendlich?

  19. #19 hubert taber
    30. Juli 2018

    p.s. zu #17.
    die mathematiker unterscheiden zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich.
    diese division gilt nur für “gleiches” unendlich.

    und wer nicht realisiert dass hypotenuse, gerade, parallele etc. nur endliche begriffe sind der sollte auch nicht über grenzwerte radebrechen.
    mfg. h.t.

  20. #20 Laie
    30. Juli 2018

    @hubert taber
    Für mich sind bzw wären 2 parallele Geraden auch im “unendlichen” noch immer gleich weit voneinander entfernt, wobei ich die Kritik teile, in der realen Welt gibt es keine unendlichen Geraden.

    Bei meinem Beispiel oben, für wo der Winkel vom Sinus gegen 0 geht (nicht gegen 90Grad), kommt man auch ohne d’Hospital zum Eregbnis 1.

    Die Berechnung vom Sinus als Reihe geht so:
    sin(x) = x/1! – x³/3! +x^5/5! – x^7/7! …

    somit ist x/sin(x) (ich kürze x heraus)
    x/sin(x) = 1/1! – x²/3! + x^4/5! – x^6/7! ….
    dann kann ich x gegen 0 gehen lassen, und alle Terme ausser dem ersten gehen auch gegen 0, und 1 bleibt stehen.

  21. #21 hubert taber
    31. Juli 2018

    @ Laie #20:
    sin 0° = 0 …… was bedeutet grenzwert 1?
    was hat das mit meiner division zu tun.
    gegenkathete 0 / sin 0
    welche mögliche länge hat die hypotenuse?
    na jede ausser unendlich.
    mfg. h.t.

  22. #22 Laie
    31. Juli 2018

    @hubert taber
    Mein Beispiel ist fast ein anderes Beispiel. Bei Dreiecken bin ich der Meinung, dass es keine 2 Winkel geben darf mit 90 Grad, bzw. eine Seite mit Länge 0. Bei einem “Dreieck”, bei dem 2 Punkte zusammenfallen, wie bei dem Beispiel mit alpha=0 ist für mich als Dreieck nicht zulässig. (Keine Ahnung ob es aus Sicht der Mathematiker zulässig ist).

    Solange das Dreieck wenigstens keine Seitenlängen wie 0 oder unendlich hat, bin ich schon zufrieden, sonst kommt beim Sinussatz (a/sin alpha = b/sin bertha = c/ sinus gamme) ja was Lustiges raus, mit dem ich nicht viel anfangen kann.

  23. #23 hubert taber
    31. Juli 2018

    @ Laie #22:
    eine gerade strecke ist sehr wohl auch das niedrigstmögliche rechtwinkelige dreieck.
    ankathete und hypotenuse sind deckungsgleich.
    die winkelsumme 180° bleibt erhalten.
    alpha 0°, beta und gamma je 90°.

    ich habe mit der division 0 / 0 den absoluten stillstand erklärt.
    weg 0 / geschwindigkeit 0
    und was in diesem zustand mit der rechnung zeit “geschieht”.

    nochmals: welcher “grenzwert”?
    mfg. h.t.

  24. #24 Laie
    31. Juli 2018

    @hubert taber
    Wenn man das so gelten lässt, dass ein Dreieck zwei gleich Punkte haben darf (was dann ja ein Zweieck ist), dann kann man das so sehen. [Mich stört halt, dass es in diesem Spezialfall zwei gleiche Punkte gibt, was für mich kein Dreieck mehr ist. Weil dann könnte man selbiges ja für den anderen Punkt A des Zweiecks sagen, dass dort auch 2 Punkte eines meinetwegen anderen Dreiecks zusammenfallen mit je 90Grad (diesmal alpha=90Grad und betha=90Grad, c=Länge 0, und a=b=Länge der Hypothenuse), dann sind es schon 4 Punkte und die Winkelsumme 360].

    Das wäre wohl ein 4eck und keine 2 Dreiecke mehr, obwohl es eigentlich ein Zweieck ist. Diese geometrischen Singularitäten sind mir etwas zu hoch.

  25. #25 hubert taber
    31. Juli 2018

    @ Laie #24:
    auch der pythagoras stimmt.
    a² + b² (ist hier immer null) = c² (ist immer gleich a²).
    also doch dreieck.

    die psychologen nennen das fluide intelligenz.
    die jederzeitige fähigkeit zur abstraktion.

    und nun will ich endlich wissen was diese sonderbare spezies unter “grenzwert” versteht.
    mfg. h.t.

  26. #26 Laie
    1. August 2018

    @hubert taber
    Mir fehlt wie gesagt das 3.Eck, das das Zweieck zum Dreieck macht, nennen wir es einfach Zweieck?
    Ein Dreieck muss immer eine Fläche haben. Das ist wie bei einem Zelt, wenn die Stütze zusammenbricht, dann ist das auch das flacheste Zelt der Welt, aber es ist nix drinnen. Oder wie eine Pyramide ohne Höhe, das würde den Ägyptern nicht gefallen.

    Der Grenzwert ist der Trick der Mathematiker mit dem limes. Also wohin geht irgendein Ausdruck, wenn sich eine Zahl einer anderen annähert, oder wenn sie immer grösser wird.

    z.B. f(x)=1/x, wohin geht f(x) für x gegen 0, oder für x gegen unendlich.

    Lustig auch, wohin geht (1+1/x)^x für x gegen unendlich. Hierbei ist der Grenzwert der Euler! (2,718…)

  27. #27 hubert taber
    1. August 2018

    es werden aber STUFENLOS 0D-punkte addiert oder subtrahiert.
    welcher limes?
    welcher grenzwert?
    und nun verabschiede ich mich.
    mfg. h.t.

  28. #28 alex
    1. August 2018

    und nun verabschiede ich mich.

    Das wäre schön.

  29. #29 hubert taber
    1. August 2018

    @ dr. küssner #18:
    diese “grenzwerte” existieren nicht.
    und sind nur eine annahme derer die es nicht besser können.
    auch die zahlentheorie sollte überdacht werden.
    mfg. h.t.

  30. #30 Laie
    2. August 2018

    @hubert taber
    Ich finde die Frage nach dem kleinsten Dreieck interessant.
    Die Mathematiker werden wahrscheinlich sagen, dass es das nicht gibt. Ist die Frage nicht verwandt mit der Frage nach der kleinsten Zahl, die nicht 0 ist?

    Weil jeden beliebigen Abstand kann man ja teilen, z.B. eine beliebige kleine Zahl immer wieder durch 2, 10 usw. Dasselbe auch beim Dreieck, wenn der Abstand von 2 Dreieckspunkten, sagen wir B und C, immer weiter verringert wird.

    Wenn ich mir ein Dreieck vorstelle, bei dem die 2 Punkte so zahlenmässig nahe beeinander sind, sodass man es nicht mehr schafft den Unterschied, dieses kleine Delta irgendwie aufzuschreiben oder formal abzubilden, oder in einem Computer abzubilden, dann wäre das zwar mathematisch noch ein Dreieck, aber in der Praxis nicht einmal durch ein die ganze Galaxis grosses Papier aufschreibbar, keine Ahnung was.

    In der Mathematik wird ja allgemein von einem beliebigen Epsilon grösser als 0 gesprochen, das in der Vorstellung beliebig klein werden darf, sodass es formal keine Probleme mit der realen Welt gibt, auch wenn es derart kleine epsilons in der Realität wohl nicht geben kann?

  31. #31 alex
    2. August 2018

    @hubert taber:
    Schade, dass die Ankündigung aus Kommentar #27 nur so kurz gehalten hat.

  32. #32 Laie
    3. August 2018

    Wenn ich mir den Einheitszeiger vorstelle, der sich im Einheitskreis dreht, so gibt es genau 4 Positionen, in dem das “Zweieck=Dreieck”-Problem auftritt. Betrachtet man die entstandenen Dreiecke als Funktion des Drehwinkels, so könnte man ja diese 4 Spezialpunkte “stetig ergänzen” (oder wie das heisst, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert aufeinander stetig zulaufen), in einem Sinne, dass ja für alle positiven und negativen Epsilons bei der Annäherung um den Winkel 0, noch immer Dreiecke sind.

    Ist das mathematisch (noch) erlaubt?