Der Deutsche Schachbund begeht schon das ganze Jahr lang das Emanuel-Lasker-Jahr zur Erinnerung an den einzigen deutschen Weltmeister (1894-1921 und damit länger als jeder andere Weltmeister bisher), der am 24. Dezember seinen 150. Geburtstag feiern würde.

Nicht so bekannt ist, dass Lasker auch ein bedeutender Mathematiker war, auf den der Begriff des Primärideals und der Beweis der Primärzerlegung von Idealen zurückgehen.

Worum geht es in der Idealtheorie?

Ideale in der Zahlentheorie

Richard Dedekind, der letzte Student von Carl Friedrich Gauß, hatte in seinem 1871 veröffentlichten Supplement zu Dirichlets Zahlentheorie die Bedeutung algebraischer Methoden erkannt und eine Reihe von für seine Zeitgenossen sehr abstrakten Begriffen wie Ringen, Ordnungen, Moduln und Idealen eingeführt.
Ideale waren vorher als ideale Zahlen in der Zahlentheorie vorgekommen, mithilfe derer man die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Kreisteilungskörpern erreichen konnte. Diese von Kummer eingeführten idealen Zahlen lassen sich als Kerne von Ringhomomorphismen des Ganzheitsrings eines algebraischen Zahlkörpers in endliche Körper interpretieren, auch wenn dies natürlich nicht war, wie die damaligen Zahlentheoretiker sie betrachteten.
In jedem Ganzheitsring hatte Dedekind die Eindeutigkeit der Primidealzerlegung beweisen können. Hilbert war von Dedekinds Beweis ebenso wenig überzeugt gewesen wie von Kroneckers – nicht weil er dessen Korrektheit bezweifelt hätte, sondern aus Gründen der Methodenreinheit, weil die Beweise Funktionentheorie benutzten – und so veröffentlichten er und Hurwitz eigene Beweise, die nur Methoden aus der Zahlentheorie verwendeten.

Ideale in der algebraischen Geometrie

Ein zur Primidealzerlegung in Ganzheitsringen analoges Problem stellte sich in der algebraischen Geometrie. Dort sind beispielsweise die Polynome p1(x,y)=x-1 und p2(x,y)=y2-x beide irreduzibel, aber die durch p1 und p2 definierte Varietät besteht aus zwei unzusammenhängenden Punkten (1,1) und (1,-1). Man benötigt also eine Methode für die Faktorisierung einer Menge von Polynomen und diese kann nicht einfach in der Faktorisierung der einzelnen Polynome bestehen.
Ein anderes Problem ist die Nichteindeutigkeit der ein geometrisches Gebilde beschreibenden Polynome. Beispielsweise ist der Kreis in der Ebene als Teimenge des R3 die Nullstellenmenge des Polynompaars (x2+y2-1,z) oder (x2+y2+z2-1,z) oder (x2+y2-1,x2+y2+z2-1). Es gibt eine Unendlichkeit von Möglichkeiten und man fragt sich, was die natürlichsten definierenden Gleichungen sind. Dedekind und Weber hatten die Lösung darin gesehen, Kurven über ihren Funktionenkörper als endliche Erweiterung von C(x) zu definieren. Daraus konnten sie die Punkte der Kurve dann als Bewertungen des Funktionenkörpers rekonstruieren. Die natürlichere Lösung zur Definition algebraischer Varietäten aber war: betrachte einfach alle Polynome, deren Nullstellenmenge die Varietät ist. Diese Menge ist ein Ideal im Polynomring.

Zerlegbarkeit von Idealen

Die Frage nach der Zerlegung einer Varietät in irreduzible Varietäten übersetzt sich dann in die algebraische Frage nach der Zerlegbarkeit von Idealen. Dieser hatte sich Lasker, damals schon seit 12 Jahren Schachweltmeister, in seiner Dissertation gewidmet. Er führte dort den Begriff des Primärideals ein und bewies dann, dass jedes Ideal im Polynomring C[x1,…,xn] eine eindeutige Zerlegung in Primärideale hat. Er hat diese Dissertation bei Emmy Noethers Vater Max Noether in Erlangen (mit der Absenderangabe Erlangen Hotel Kaiserhof, wo er nach der Abschlußprüfung später einen Empfang geben würde) eingereicht. Gearbeitet hatte er an der Dissertation natürlich weitgehend selbständig, die Veröffentlichung in den Mathematischen Annalen reichte er von einem Turnier in New York aus ein.
Auch wenn seine Arbeit auf der von Kummer und der anderer Mathematiker aufbaute, gehörte er doch zu keiner der herrschenden Schulen und scheiterte wohl auch deshalb mit seinen Versuchen, nach der Dissertation im akademischen Betrieb Fuß zu fassen.

Der Satz von Lasker-Noether

Lasker hat seinen Zerlegungssatz auch für Moduln über Polynomringen bewiesen, ein Professor aus Cambridge fand zehn Jahre später einen anderen Beweis, der sich auch als Algorithmus formulieren ließ. Die allgemeinste Fassung fand 1921 Emmy Noether in „Idealtheorie in Ringbereichen“.

Emmy Noether hatte in Erlangen bei Paul Gordan, dem “König der Invarianten” über ein Thema der Invariantentheorie promoviert mit einer Arbeit, die sie später als “Mist” beschreiben würde. Nach Gordans Pensionierung wurde Ernst Fischer sein Nachfolger, der vor allem für den Satz von Riesz-Fischer L2=l2 bekannt ist, aber durchaus ein Vertreter des abstrakteren Standpunktes in der Algebra war und auf Noether einen stärkeren Einfluß ausübte aus als ihr Doktorvater. Sie ließ Gordans rechnerischen Ansatz fallen und beherrschte schnell den konzeptionellen Ansatz von Dedekind und Hilbert, so dass letzterer sie schließlich nach Göttingen eingeladen und letztlich ihre Habilitation durchgesetzt hatte. Drei Jahre nach der Habilitation bekam sie dann wenigstens eine außerordentliche Professur.
Die Ringtheorie, wie sie für die Algebra später fundamental wurde, ist weitgehend das Ergebnis der Schaffung eines allgemeinen Rahmens für Dedekinds Idealtheorie. Emmy Noether sagte über ihre Schöpfung immer, es stünde schon alles bei Dedekind. (Sie ermunterte ihre Studenten auch, die Komplemente zu Dedekinds Arbeiten zu lesen.)

1 / 2 / Auf einer Seite lesen

Kommentare (5)

  1. #1 christ
    24. Dezember 2018

    Thilo
    zur Mathematik Emanuel Laskers kann ich nichts beitragen, aber zu seiner Person als 2. Schachweltmeister.
    Er war der einzige Schachspieler, der das Prädikat “Spieler” verdient hat. Bis heute.
    In seiner Jugend hat er mit Schachspielen seinen Lebensunterhalt verdient. Deswegen war sein einziges Ziel immer der Sieg, denn davon hing es ab, ob er morgen zu essen hat.
    Und er hat sich bis zu seinem Tode 1942 in den USA gegen die Besten der Welt gewinnen können, gegen Aljechin (4.. Weltmeister), gegen Capablanca (3. Weltmeister) und er hat sie in Blitzturnieren alle geschlagen. “Er vollbrachte auf dem Brett das Unmögliche” (Michael Tal (7. Weltmeister))
    Selbst heute, 100 Jahre später hätte ein Magnus Carlsen noch Probleme mit ihm.

  2. #2 Beobachter
    24. Dezember 2018

    Anmerkung am Rande:

    Da mir beim Namen “Emanuel Lasker” sofort die Dichterin Else Lasker-Schüler einfiel und ich mich fragte, ob beide wohl miteinander verwandt sind, habe ich mal nachgesehen.
    Sie sind … :
    Der älteste Bruder war mit der Dichterin verheiratet.

    http://www.math.berlin/mathematiker/emanuel-lasker.html

    https://de.wikipedia.org/wiki/Else_Lasker-Sch%C3%BCler

  3. #3 christ
    24. Dezember 2018

    Beobachter
    Danke für den Link zu seinem Lebenslauf. Das Foto ist ungewöhnlich, meistens sieht man ihn mit einer Zigarre im Mund.

  4. #4 tomtoo
    25. Dezember 2018

    @Tilo
    Wünsche dir ein paar besonders schöne Tage. Mathe ist ein besonders weites und für mich wirklich schwer nachvollziehbares Thema. Aber ich lese immer gerne mit. Also danke für dein Einsatz auch mich ein wenig in diese fremde Welt reinschnuppern zu lassen.

  5. #5 Toni
    7. Januar 2019

    Lasker ist auch bekannt als Kritiker der Einsteinschen Theorie.

    Dr. EMANUEL LASKER/ BERLIN
    ANTINOMIE DER RELATIVITÄTSTHEORIE

    Einsteins Deduktion übersieht, daß die Erfahrung über leeren Raum
    nichts ausmachen kann. Indem er für c den empirischen Wert von etwa
    300 000 km pro Sekunde einsetzt und so argumentiert, als ob die Leere
    des astronomischen Raumes unbezweifelbar sei, gelangt er zu einer
    Antinomie. In Wirklichkeit muß lim c = oo sein, wie ich schon 1919
    dargelegt habe, und damit ist die Antinomie gelöst. Die Methode der
    Deduktion Einsteins ist durchaus unschlüssig und die Methode des
    Disputs, die er befolgt, ist unsachlich.

    …Abschließend sei bemerkt, dass Lasker mehrere Arbeiten in den Sitzungsberichten der Berliner Mathematischen Gesellschaft veröffentlichte, darunter 1929 eine „Begründung des Satzes, daß es in Wirklichkeit Prozesse gibt, die sich mit beliebig großer Geschwindigkeit fortpflanzen“ – was jedoch das Verhältnis zwischen ihm und Einstein nicht nachhaltig trübte.
    http://www.math.berlin/mathematiker/emanuel-lasker.html