Den zu ihrer Zeit wohl längsten Beweis der Mathematikgeschichte veröffentlichten Walter Feit und John Thompson 1963: jede Gruppe ungerader Gruppenordnung ist auflösbar. Der 254 Seiten lange Beweis füllte damals eine komplette Ausgabe des Pacific Journal of Mathematics. (Ruffinis Beweis der Unlösbarkeit quintischer Gleichungen war mit 500 Seiten deutlich länger gewesen, von den Fachleuten aber weitgehend ignoriert worden. Heute haben manche Sätze mehr als 1400 Seiten lange Beweise und trotzdem wird noch bezweifelt, ob sie nun vollständig seien.)
Dieser Satz erleichtert es erheblich, alle Gruppen mit 2019 Elementen zu finden. Auflösbare Gruppen sind nämlich entweder abelsch oder besitzen einen Normalteiler. (Gruppen, die keine Normalteiler besitzen, heißen einfache Gruppen. Es gibt inzwischen eine Tausende Seiten lange Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen, in unserem Fall reduziert sie sich aber eben auf den Satz von Feit-Thompson, dass eine einfache Gruppe ungerader Ordnung abelsch sein muss.) Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt unmittelbar, dass eine abelsche einfache Gruppe zyklisch ist. Die einzige einfache Gruppe mit 2019 Elementen ist also Z/2019Z.
Wenn die Gruppe G nicht einfach ist, dann muss sie einen nichttrivialen Normalteiler H haben. Die Anzahl der Elemente dieses Normalteilers muss ein Teiler von 2019 sein, denn jede Nebenklasse gH hat genau #H Elemente und jedes Element von G gehört zu einer eindeutigen Nebenklasse. (Das ist der Satz von Lagrange.) Wegen 2019=3×673, und weil es zu einer Primzahl p nur eine einzige Gruppe mit Ordnung p gibt, kommen als Normalteiler also nur Z/3Z oder Z/673Z in Frage.
Zur Existenz und Eindeutigkeit von Normalteilern gibt es die Sylow-Sätze: Die Anzahl der maximalen p-Untergruppen ist ein Teiler des Index m dieser p-Untergruppen in G und von der Form 1+kp. Und eine maximale p-Untergruppe ist genau dann ein Normalteiler, wenn sie die einzige maximale p-Untergruppe ist.
Für p=673 hieße das, dass die Anzahl der maximalen 673-Untergruppen ein Teiler von 3 und von der Form 1+673k sein muss, also gibt es nur eine solche Untergruppe und diese ist dann ein Normalteiler.
Für p=3 muss die Anzahl ein Anzahl ein Teiler von 673 und von der Form 1+3k sein, also entweder 1 oder 673.
Wenn beide Anzahlen 1 sind, dann sind sowohl Z/673Z als auch Z/3Z beides Normalteiler. Da sie bis auf 0 keine gemeinsamen Elemente haben können, ist G dann das direkte Produkt Z/673Z+Z/3Z und damit isomorph zu Z/2019Z.
Wenn es 1 Untergruppe der Ordnung 673 und 673 Untergruppen der Ordnung 3 gibt, dann ist die Untergruppe Z/673Z wieder ein Normalteiler und G ist ein semidirektes Produkt, das durch eine Wirkung von Z/3Z auf Z/673Z gegeben sein muss.
Nun ist 673 eine Primzahl und die Automorphismengruppe von Z/673Z also isomorph zu Z/672Z. Der (bis auf Konjugation in Z/3Z einzige) nichttriviale Homomorphismus von Z/3Z in Z/672Z sendet 1 auf 224 und 2 auf 448. Man bekommt also als zweite mögliche Gruppe das diesem Homomorphismus entsprechende semidirekte Produkt und weitere Möglichkeiten gibt es nicht.
Das Titelbild gehört zu den Gratis-Downloads der “Computer-Bild”.
Kommentare (5)