Stabilitätstheorie von Differentialgleichungen fragt, wie die Störung der Anfangswerte eines Systems sich auf die weitere Entwicklung auswirkt, beispielsweise ob in einer Umgebung eines Gleichgewichtspunktes von x’=f(x) die Bahnen in einer (eventuell etwas größeren) Umgebung des Gleichgewichtspunktes verbleiben oder sogar gegen den Gleichgewichtspunkt konvergieren. Im ersten Fall spricht man von einem stabilen Gleichgewicht, im zweiten von einem asymptotisch stabilen Gleichgewicht.

Zwei Beispiele:
Der harmonische Oszillator, also das Differentialgleichungssystem
x‘=v
mv‘+kx=0
hat einen Gleichgewichtspunkt in (0,0). Weil die Energie mv2/2+kx2/2 konstant ist, bewegen sich die Bahnen auf Ellipsen um den Gleichgewichtspunkt, woraus die Stabilität des Gleichgewichts folgt.

Für den gedämpften Oszillator, der durch das Differentialgleichungssystem
x‘=v
mv‘+2mγx‘+kx=0
beschrieben wird, ist (0,0) ebenfalls ein Gleichgewichtspunkt und für γ>0 nimmt die Energie monoton ab. Daraus folgt, dass alle Bahnen in das Minimum der Energie, also in den Gleichgewichtspunkt (0,0) streben. Der Gleichgewichtspunkt ist also asymptotisch stabil.

Im 19. Jahrhundert benutzte man meist Linearisierungen im Gleichgewichtspunkt, um Stabilität zu untersuchen. (Im Stile des Satzes von Hartman-Grobman, der in seiner Allgemeinheit freilich erst viel später bewiesen wurde.) Erst Ljapunow in seiner 1892 eingereichten Habilitationsschrift Общая задача об устойчивости движения hatte die eigentlich sehr einfache Idee, dass man statt der Energiefunktion auch beliebige andere Funktionen V betrachten kann, solange sie im Gleichgewichtspunkt ein striktes Minumum haben und entlang der Bahnen abnehmen. Er bewies Stabilität, falls V‘≤0 entlang Bahnen, und asymptotische Stabilität, falls V‘<0 entlang der Bahnen.

Ljapunow hatte in seiner Habilitationsschrift zwei unterschiedliche Methoden zur Untersuchung von Stabilitätsfragen entwickelt, neben den Ljapunowfunktionen noch den Ljapunowexponenten L(x)=\lim_{t\to\infty}\log\vert \frac{d\Phi(x,t)}{dt}\vert für den Fluß Φ(x,t) einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Ein Gleichgewichtspunkt x0 ist stabil, wenn L(x0)≤0, und asymptotisch stabil, wenn L(x0)<0.

Ljapunows Arbeit wurde erst 16 Jahre später ins Französische (und erst zum hundertjährigen Jubiläum ins Englische) übersetzt und es dauerte lange, bis sie im Westen größere Aufmerksamkeit fand. Ljapunow selbst hatte den Ljapunowexponenten für das wichtigere der beiden Konzepte gehalten, tatsächlich wurde dann aber die Verwendung von Ljapunowfunktionen zur Standardmethode in der Stabilitätstheorie. Erst mit dem 1965 von Oseledez bewiesenen multiplikativen Ergodensatz wurde auch der Ljapunowexponent revitalisiert.

Kommentare (3)

  1. #1 rolak
    19. September 2019

    Der erste Artikel der Reihe, der sich mir ohne großes Nachschlagen erschließt ;•)

    Die Portraits sind echt schräg, mer fraacht sich, wie lang die in der Maske saßen…

  2. #2 TuxmenSceve
    Живу в Москве
    20. September 2019

    Как заработать в интернете-узнайте на нашем сайте ebius.biz

    В настоящий момент можно зарабатывать, не выходя из сети интернет. Сейчас рынок инвестиций очень велик, и можно с легкостью наткнуться на обманщиков. Как правильно выбрать метод заработка на инвестициях? Мы всё описали на нашем справочном портале ebius.biz.

    Если Вы хотели найти [url=https://ebius.biz/samye_rasprostranennye_hajp_legendy_hyip/]легенды хайпов[/url] то Вы пришли по нужному адресу. Мы собрали для Вас самые лучшие известные инвестиционные проекты, такие как: 8bit.ltd и Wssavior LTD. Мы детально расскажем Вам о представленных проектах в соответствующем разделе. История проекта, как пройти регистрацию, самые большие преимущества, технические фишки, условия партнерской программы, реальные отзывы и многое другое.

    На настоящий день многие инвестируют свои финансовые средства в криптовалюту Биткоин. Это очень выгодно, но временами, бывает и наоборот, поэтому если Вы принимаете решение купить себе криптовалюту необходимо оценить все риски за и против. Главные плюсы представленного вида вложения-не изымается налог и комиссия, мгновенные переводы, нет контроля от государства, доступность 24 часа в сутки, высокий рост спроса на криптовалюту и другие. Но также, есть и минусы: высокие риски, нет никаких гарантий, нелегальный статус, сильное колебание курса и не самое высокое признание данного метода инвестиций. Причтите больше на нашем сайте и подумайте, подходит ли Вам этот заработок или нет.

    Все детали про [url=https://ebius.biz/kuda-vlozhit-5000-rublej/]куда можно инвестировать 5000 рублей[/url] Вы сможете найти на нашем интернет ресурсе уже сейчас. Мы также подобрали список самых прочных способов инвестирования. Вложение в государственные облигации РФ и иных стран, промышленные инвестиции, в спорт, в драгоценные металлы, в энергетику, хайп инвестиции и много самой необходимой информации мы подготовили специально для Вас. Если Вы хотите найти ответ на определенный вопрос, то смело эксплуатируйте поисковую строку.

    Удивительно то, что многие люди не знают, что для заработка на инвестиционных вложениях не обязательно требуется огромная сумма денег. Даже 1000 рублей может принести Вам прибыть, если грамотно осуществить вложение. Мы подскажем как заработать на малых суммах в 1000, 5000 и 10 000 рублей. Много вариантов и подсказок, переходите и читайте уже сейчас, ведь деньги не должны лежать без дела-они должны работать и приносить выгоду.

    Также мы расскажем Вам всё про хайпы без минимальных вложений. Всем известно, что бесплатный сыр бывает только в мышеловке, поэтому надеяться на вовсе безвозмездные заработки не стоит. Однако, бывают разные акции и конкурсы, также Вы сможете узнать про привлечение новых участников, за которое дают хорошее вознаграждение. Получите приятные бонусы от администрации какого-либо интернет сайта за написание отзыва, вступление в группы или методом рекламы ссылки в Ваших социальных сетях. В принципе, во всех даже самых тупиковых ситуациях бывают методы решения.

    Мы верим в то, что с нашим интернет ресурсом ebius.bizВы Вы в самом скором времени станете зарабатывать на инвестиционном рынке!

  3. #3 rolak
    21. September 2019

    [deepl⇒].., und man kann leicht auf Betrüger stoßen.

    Wie niedlich, wenn ein Rätsel die Lösung in sich trägt…