Eine Methode, die uns die qualitativen Beziehungen in einem Raum zu erkennen erlaubt, könnte auf gewissen Weise Dienste leisten, die jenen der Zahlen analog wären. Bei dieser Methode kann es sich nur um die Topologie von mehr als drei Dimensionen handeln. Nichtsdestoweniger ist bis zur Gegenwart dieser Zweig der Wissenschaft kaum kultiviert. Was mich betrifft, so haben all die unterschiedlichen Wege, mit denen ich mich erfolgreich befasste, zur Topologie geführt. Ich benötigte Begriffe dieser Wissenschaft, um meine eigenen Untersuchungen über durch Differenzialgleichungen definierte Kurven anzustellen und sie auf Differenzialgleichungen höherer Ordnung und vor allem auf das Dreikörperproblem auszuweiten. Ich brauchte sie, um nicht-gleichförmige Funktionen zweier Variablen zu untersuchen. Ich brauchte sie, um Perioden multipler Integrale zu untersuchen und diese Erkenntnisse auf perturbative Erweiterungen anzuwenden. Letztlich erkannte ich in der Topologie ein voraussichtliches Mittel, ein wichtiges Problem in der Theorie der Gruppen anzugehen, nämlich die Untersuchung diskreter oder endlicher Untergruppen einer gegebenen stetigen Gruppe.

So Henri Poincaré in einem 1901 geschriebenen und 1921 veröffentlichten Aufsatz mit Bezug auf seine 1895 im Journal de l‘École Polytechnique erschienene Arbeit Analysis Situs. (Letztere war Teil eines Sonderhefts der Zeitschrift aus Anlaß des 100-jährigen Jubiläums der Schule, das die Ergebnisse ehemaliger Schüler darstellen sollte, von denen Poincaré zu der Zeit der bedeutendste war. Die École Polytechnique befand sich damals noch im Quartier Latin und hatte mit ihrem Schwerpunkt auf Ingenieurwesen und Naturwissenschaften auch in der Mathematik eine eher noch größere Bedeutung als die École Normale, deren Ziel die Ausbildung von Lehrkräften für Gymnasien und Universitäten war.)
Anders als andere Arbeiten Poincarés fand seine Arbeit zur Topologie damals wenig Aufmerksamkeit, am ehesten beachtet wurde noch der Dualitätssatz bk=bn-k für die heute als Betti-Zahlen bezeichneten „Zusammenhangszahlen“ einer kompakten, orientierbaren, n-dimensionalen Mannigfaltigkeit und beliebige k. (Die Voraussetzung der Orientierbarkeit fehlte bei Poincaré zunächst.)

Poincaré hatte diese Gleichheit schon drei Jahre vorher behauptet, in Analysis Situs unternahm er jetzt erstmals den Versuch eines Beweises mit Hilfe einer komplizierten Definition von Schnittzahlen i(V,W) von k-Zykeln V und (n-k)-Zykeln W. Sein Ansatz war, sich Repräsentanten V1,…,Vb für b:=bk linear unabhängige Homologieklassen in Hk(M) zu nehmen. Dann wollte er zeigen, dass ein (n-k)-Zykel W genau dann null-homolog ist, wenn i(V1,W)=…=i(Vb,W)=0 ist. Daraus folgt dann unmittelbar bn-k(M) ≤ bk(M) und (weil man die Rolle von k und n-k vertauschen kann) auch die umgekehrte Ungleichung. Der Beweis war natürlich noch unvollständig, wie man ja auch daran erkennen kann, dass er die Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit überhaupt nicht benutzte.

Poul Heegaard, ein dänischer Student, der mal ein halbes Jahr in Paris gewesen, Poincaré dort aber nie begegnet war, schickte ihm drei Jahre später seine Doktorarbeit mit einem Gegenbeispiel zum Dualitätssatz. (Das Gegenbeispiel war die projektive Ebene mit b0=1 und b2=0.) Sie war auf Dänisch verfaßt, aber auf Poincarés Bitte schrieb Heegaard eine französische Zusammenfassung. (In Dänemark interessierte sich damals niemand für Heegaards Arbeit, aber durch das Gegenbeispiel wurde er außerhalb Dänemarks international bekannt.)

Nach Heegaards Einwänden schrieb Poincaré seinen Beweis dann völlig neu. Dabei benutzte er dann nicht die von ihm in Analysis Situs verwendete Definition von Mannigfaltigkeiten als reguläre Hyperflächen im Rn (oder auch durch lokale Parametrisierungen), sondern verwendete jetzt Simplizialkomplexe. (Die Fragen, ob jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden kann, oder ob verschiedene Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit dieselben Zusammenhangszahlen geben, ließ er dabei außen vor.)

Die seinem neuen Beweis zugrundeliegende Idee war jetzt die Dualität von (höherdimensionalen) Polyedern. Deren einfachstes Beispiel ist die Dualität ebener Graphen. Zu einem ebenen Graphen hat man einen dualen ebenen Graphen, dessen Knoten den Ländern des ursprünglichen Graphen entsprechen, und die durch eine Kante verbunden sind, wenn die entsprechenden Länder des ursprünglichen Graphen eine gemeinsame Kante haben.

Ein entsprechendes Konzept gibt es auch für Polyeder, d.h. Zerlegungen der 2-dimensionalen Sphäre in Polygone. Das Dual des Würfels im Bild unten ist ein Oktaeder (und umgekehrt), das Dual eines Ikosaeders ist ein Dodekaeder und umgekehrt, das Dual eines Tetraeders wieder ein Tetraeder.

Poincaré entwickelte entsprechend ein höherdimensionales Konzept von Dualität und gab damit einen neuen Beweis des Dualitätssatzes, den er im ersten von fünf Komplementen zur Analysis Situs veröffentlichte. Auch in der neuen Veröffentlichung wurde die Rolle der Orientierbarkeit nicht klar; Heegaards Gegenbeispiel entkräftete Poincaré damit, dass seine Definition von Zusammenhangszahlen eine andere sei als die von Betti.
Poincarés zweiter Beweis war auf jeden Fall bedeutend insofern, dass er (Mannigfaltigkeiten und) Homologiegruppen kombinatorisch über Zerlegungen in Polyeder definierte, während er ursprünglich Mannigfaltigkeiten analytisch und Homologiegruppen vermittels Untermannigfaltigkeiten und ihren Homologien definiert hatte. Die analytischen Beschreibungen von Mannigfaltigkeiten und Homologiegruppen, mit denen er seine Arbeit begonnen hatte, waren für die tatsächliche Berechnung der Zusammenhangszahlen oder der Fundamentalgruppe recht unpraktisch.
Das erste Lehrbuch, in dem ein vollständiger Beweis entlang Poincarés kombinatorischem Ansatz veröffentlicht wurde, war wohl das 1934 erschienene Lehrbuch der Topologie von Seifert und Threlfall. Heutige Lehrbücher benutzen meist Mayer-Vietoris-Sequenzen (und Kohomologie mit kompakten Trägern), um den Beweis auf den direkt zu erledigenden Fall offener Mengen homöoomorph zum Rn zurückzuführen.

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Kommentare (4)

  1. #1 Karl-Heinz
    11. Oktober 2019

    In diesem Bild kann man eindeutig erkennen, dass die Brille von Henri Poincaré nicht in zwei Teile zerfällt.

    https://media.sciencephoto.com/image/h4160333/800wm/H4160333-Henri_Poincare,_French_mathematician.jpg

  2. #2 rolak
    13. Oktober 2019

    In diesem [Hervorhebung von mir]

    Und was ist mit jenem oben, Karl-Heinz? OK, HiRes isses nich, doch den Mittelbügel bilde ich mir doch nicht ein, oder?

  3. #3 Karl-Heinz
    13. Oktober 2019

    @rolak

    Ich wusste bis jetzt nicht so richtig was ein Zwicker auch Kneifer oder Klemmer, im süddeutschen Sprachraum auch Zwickel genannt, ist.

    Aber jetzt würde ich den Mittelbügel auch auf Anhieb erkennen, was zuvor nicht der Fall war.

  4. #4 rolak
    13. Oktober 2019

    Zwicker auch Kneifer

    Gibts auch für Ohren, Karl-Heinz :•)
    Klanglich gefiel mir von Anfang an eher die eher weibliche Ausgabe ‘Lorgnon’.

    auch Zwickel

    Also das kenne ich eher von Unterwäsche – und aus der Erlanger Zeit für die 2DM(heute wohl 2€)-Münze. Hab mal nachgesehen: gibt noch wesentlich mehr Bedeutungen^^