Den einfachsten Beweis bekommt man mittels Hodge-Theorie. Diese besagt, dass man jede Kohomologieklasse einer Mannigfaltigkeit M durch eine eindeutige harmonische Form repräsentieren kann. Harmonische Formen sind per Definition diejenigen Differentialformen ω, für die dω=0=d*ω ist. Der bei dieser Definition verwendete Hodge-Stern-Operator wird auf einer orientierbaren Mannigfaltigkeit dadurch definiert, dass ω∧*ω die Volumenform einer Riemannschen Metrik ist. Mit der Definition harmonischer Formen ist klar, dass ω genau dann harmonisch ist, wenn dies auf *ω zutrifft. Außerdem ist ** bis auf Vorzeichen die Identitätsabbildung und daraus folgt sofort, dass * einen Isomorphismus zwischen dem Raum der harmonischen k-Formen und dem Raum der harmonischen (n-k)-Formen gibt. Mit dem Satz von Hodge, der freilich erst 1933 entdeckt (und letztlich von Kodaira vollständig bewiesen) wurde, weiß man dass der Raum der harmonischen k-Formen isomorph zu Hk(M) ist und bekommt so also einen kurzen Beweis des Isomorphismus Hk(M)=Hn-k(M).
Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Henri_Poincar%C3%A9-2.jpg
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