Über eine beeindruckende (fast) elementarmathematische Anwendung der Hochenergiephysik berichtet das Quanta Magazine unter der Überschrift Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math.

Es geht um eine überraschende Formel, mit der man die Eigenvektoren einer Matrix (zumindest die Beträge ihrer Koordinaten) nur aus den Eigenwerten der Matrix und ihrer Hauptminoren berechnen kann.

Im Artikel wird berichtet, wie drei Physiker in ihrer Arbeit über Neutrinos auf diese Formel stießen, dann eine e-Mail an Terence Tao schickten und von diesem innerhalb von zwei Stunden eine Antwort mit drei unterschiedlichen Beweisen erhielten. Einer davon ist in einer gut zwei Seiten langen Arbeit bei Communications in Mathematical Physics eingereicht.

In der Formel geht es um eine Matrix A mit Eigenwerten λi. Der zu λi gehörende Eigenvektor sei vi mit Koordinaten vij. Mit λi(Aj) bezeichnet man den i-ten Eigenwert derjenigen Matrix, die aus A durch Entfernen der j-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. NB: Die Matrix A soll Hermitesch sein, also symmetrisch bis auf komplexe Konjugation: A=\overline{A}^T . Dann besagt die neue Formel

\mid v_{ij}\mid^2=\frac{\Pi_{k\not=n}(\lambda_i(A)-\lambda_k(A_j))}{\Pi_{k\not=i}(\lambda_i(A)-\lambda_k(A))}

Bei 2×2-Matrizen A=(a_{ij}) mit Eigenwerten λ12 und zugehörigen Eigenvektoren v1,v2 heißt das zum Beispiel

\mid v_{11}\mid^2=\frac{\lambda_1-a_{22}}{\lambda_1-\lambda_2},  \mid v_{12}\mid^2=\frac{\lambda_1-a_{11}}{\lambda_1-\lambda_2}

und

\mid v_{21}\mid^2=\frac{\lambda_2-a_{22}}{\lambda_2-\lambda_1},  \mid v_{22}\mid^2=\frac{\lambda_2-a_{11}}{\lambda_2-\lambda_1}

Natürlich könnte man das in diesem Spezialfall leicht ad hoc nachrechnen, aber jedenfalls ist mir auch in diesem Fall die Formel bisher nicht bekannt gewesen.

Kommentare (19)

  1. #1 rolak
    16. November 2019

    Ideen für neue Ansätze kommen halt von überall her, nicht nur aus Schenectady. Trotzdem manchmal, wie in diesem Falle auch, ziemlich verblüffend.

    btw: Statt “Eigenvektoren λ₁,λ₂” nicht doch lieber “Eigenwerte λ₁,λ₂”?

  2. #2 Karl-Heinz
    16. November 2019

    @rolak

    Bei 2×2-Matrizen A=(a_{ij}) mit Eigenvektoren λ1,λ2 und zugehörigen Eigenvektoren v1,v2 heißt das zum Beispiel

    Alles klar. 😉

  3. #3 Thilo
    16. November 2019

    Ja, natürlich. Ist geändert.

  4. #4 Philipp
    16. November 2019

    Man sollte vielleicht noch erwähnen, dass die Matrix hermitesch und die Eigenvektoren normiert sind.

  5. #5 Thilo
    16. November 2019

    Eigenvektoren sind natürlich nur eindeutig bestimmt bis auf Multiplikation aller Koordinaten mit derselben Zahl. Aber Hermitizität ist wichtig, ist jetzt ergänzt. (Wird in der Arbeit nur am Anfang erwähnt, bezieht sich aber offensichtlich auch auf das Theorem.)

  6. #6 Elektrowitsch
    PrivatPhysiker
    17. November 2019

    Jetzt mal wirklich die dumme Frage:
    Wie ist der Betrag eines Eigenvektors definiert!

  7. #7 Thilo
    17. November 2019

    Hier sind einfach die Beträge der einzelnen Koordinaten (also Beträge komplexer Zahlen) gemeint.

  8. #8 Elektrowitsch
    PrivatPhysiker
    17. November 2019

    @Karl-Heinz
    Beweisen Sie den Satz für eine beliebige Diagonal Matrix.

  9. #9 Karl-Heinz
    17. November 2019

    @Elektrowitsch

    Beweisen Sie den Satz für eine beliebige Diagonal Matrix.

    Bei einer Diagonalmatrix sind die Eigenenwerte
    λ_1 = a_11, λ_2 = a_22, … λ_n = a_nn.
    Die Eigenvektoren dazu v_1 = (1,0,0, …,0,0), v_2 = (0,1,0, …0,0), … v_n = (0,0,0, …0,1)

    Meinst du jetzt, dass ich prüfen soll, ob bei der Formel bezüglich Beträge der Komponenten das gleiche rauskommt?

  10. #10 Karl-Heinz
    17. November 2019

    @Elektrowitsch

    Bei einer Diagonal Matrix kann man die Eigenwerte und Eigenvektoren gleich direkt ablesen. Das bedeutet, kein Rechenaufwand. 😉

  11. #11 Elektrowitsch
    PrivatPhysiker
    17. November 2019

    @Karl-Heinz
    Ist das ein Problem?

  12. #12 Karl-Heinz
    17. November 2019

    @Elektrowitsch

    Nun, wie sehen die Eigenvektoren einer Diagonalmatrix aus? Die einzelnen Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren oder Zeilenvektoren der quadratischen Einheitsmatrix. Es ist ein leichtes zu zeigen, dass obige Formel dieselben Einheitsvektoren erzeugt. Damit ist mal sichergestellt, dass obige Formel halt nicht ganz falsch ist.
    Sei so nett und zeig uns, was du als Beweis siehst. 😉

  13. #13 Karl-Heinz
    17. November 2019

    Upss
    Ich meinte dieselben Eigenvektoren erzeugt.

  14. #14 Karl-Heinz
    18. November 2019

    @Elektrowitsch

    Für dich hätte ich eine Beweisführung.
    Man beweise, dass die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix immer reell sind.

  15. #15 Elektrowitsch
    PrivatPhysiker
    18. November 2019

    @Karl-Heinz

    Für dich hätte ich eine Beweisführung

    meinst du damit, du hättest diesen Beweis für mich?

  16. #16 Karl-Heinz
    18. November 2019

    @Elektrowitsch

    meinst du damit, du hättest diesen Beweis für mich?

    Nein!
    Ich dachte eher daran, dass du uns zeigst, warum die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix immer reell sind. 😉

  17. #17 Elektrowitsch
    PrivatPhysiker
    18. November 2019

    Nein!
    Ich dachte eher daran, dass du uns zeigst,…

    Elementarwissen Lineare Algebra
    Hier, für dich
    * – adjungierte Matrix (oder Vektor oder Skalar), also gespiegelt und komplex adjungierte Elemente
    A -> a ij A* -> a*ji
    Der Nachweis beruht darauf, dass
    (AB)* = B*A*
    wenn u ein (normierter) Eigenvektor und lambda der Eigenwert von A
    Au = lambda u
    man multipliziere von links mit u*
    u*Au = u*lambda u = lambda
    da u*u = ||u|| = 1
    man adjungiere beide Seiten
    (u*Au)* = lambda*
    Adjungieren eines Produktes = Produkt der adjungierten Muliplikatoren in umgekehrter Reihenfolge (AB)* = B*A*
    u*A*u = lambda*
    da A* = A (hermitisch)
    lambda = lamda* also reell

    Da guggste, wa?
    .
    .
    .

    Man kanns auch komponentenweise schreiben, aber ich hier die Indizes nicht tiefgestellt.

  18. #18 Karl-Heinz
    18. November 2019

    @Elektrowitsch

    Ich wollte nur gucken, ob du dich auskennst. 😉

    Jetzt würde es mich interessieren, was es mit deiner Frage “Beweisen Sie den Satz für eine beliebige Diagonal Matrix.” auf sich hat?