Das Rayleigh-Ritz-Prinzip ist ein Variationsprinzip für den kleinsten Eigenwert eines Operators. Es findet sich erstmals in The Theory of Sound (Baron Rayleigh, 1877) und wurde 1908 von Walter Ritz zu einem praktikablen Berechnungsverfahren weiterentwickelt.

In heutiger Sprache formuliert man das Prinzip so: für einen selbstadjungierten Operator H – in physikalischen Anwendungen meist der Hamilton-Operator – kann man das Infimum des Spektrums durch \inf_{\Vert\psi\Vert=1}\langle \psi,H\psi\rangle berechnen.

Diese Beziehung folgt aus elementarer linearer Algebra, falls es im Funktionenraum eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von H gibt. Für den Beweis im allgemeinen Fall wird aber der Spektralsatz benötigt.

Der von Ritz 1908 in der Arbeit Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik in Crelle‘s Journal veröffentlichte Ansatz zur Berechnung des Infimums verwendet Testvektoren \psi_\beta , die über Parameter β variiert werden. Mit Methoden der Variationsrechnung wird dann das Funktional \langle \psi_\beta, H\psi_\beta\rangle als Funktion von β minimiert.

Mit diesem Ansatz entwickelte Ritz das nach ihm benannte Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Randwertproblemen. In der 1909 in den Annalen der Physik veröffentlichten Arbeit Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern beschrieb er die Anwendung des Verfahrens im Detail.

Ritz starb im Sommer 1909 im Alter von 31 Jahren an einer Tuberkulose, an der er seit seinem 22. Lebensjahr gelitten hatte. Das Rayleigh-Ritz-Prinzip fand später seine Verallgemeinerung im Satz von Courant-Fischer. Ritz‘ numerische Arbeit gilt heute als Vorläufer der ein halbes Jahrhundert später entwickelten Finite-Elemente-Methode.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Walter_Ritz_Physicist.gif

Kommentare (3)

  1. #1 Chris
    11. Januar 2020

    Für die die es noch nicht wissen: “kein Kommentar” nach 24h bedeutet soviel wie “juckt keinen Schwanz” 😀

  2. #2 Thilo
    11. Januar 2020

    Die Abrufzahlen sind ganz ordentlich (und nicht proportional zu den Kommentarzahlen), auf jeden Fall höher als ich es erwartet hatte.

  3. #3 rolak
    11. Januar 2020

    höher als erwartet

    Glückwunsch nachträglich, Thilo :•)
    Den christallklaren Folgerungen in typisch verbalanaler Formulierung fehlt allerdings jegliches Fundament: Es gibt kein “kein Kommentar” (noch-Bsp).