Mit diesen Begriffen konnte Cartan dann 1913 im Bull. Soc. Math. de France („Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane“, der Titel ist ein komplizierter Name für das was man heute „irreduzible projektive Darstellung“ nennt) den Satz vom höchsten Gewicht beweisen: die irreduziblen Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra werden durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert; zu einem Homomorphismus a—->C gibt es eine irreduzible Darstellung mit diesem höchsten Gewicht genau dann, wenn positive Wurzeln auf natürliche Zahlen abgebildet werden (wofür es genügt, dass einfache Wurzeln auf natürliche Zahlen abgebildet werden).

Nun hat der Raum der Homomorphismen a—->C natürlich dieselbe Dimension wie a, es lassen sich also alle nach dem Satz vom höchsten Gewicht möglichen Gewichte als Linearkombinationen mit positiven, ganzzahligen Koeffizienten aus gewissen Fundamentalgewichten erhalten, von denen es dim(a) viele gibt. Dementsprechend lassen sich alle irreduziblen Darstellungen aus den entsprechenden Fundamentaldarstellungen bekommen. Um die Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra zu beschreiben genügt es also, die Fundamentaldarstellungen anzugeben, was Cartan in seiner Arbeit für alle halbeinfachen Lie-Algebren tat.
Für die meisten Fundamentalgewichte der klassischen Lie-Algebren kannte man diese Darstellungen bereits, sie ergeben sich mittels algebraischer Konstruktionen aus den definierenden Darstellungen; für sl(n,C) handelt es sich um die äußeren Potenzen ΛkCn, k=1,…,n-1. (In Cartans Sprache beschreiben diese Darstellungen, wie die Punkte, Geraden, Ebenen, … im projektiven Raum CPn-1 transformiert werden.)
Aber Cartan fand auch neue, bisher unbekannte Darstellungen, nämlich die Spinor-Darstellungen für so(2m-1) und die beiden Halbspinor-Darstellungen für so(2m). Diese Lie-Algebren-Darstellungen kommen nicht von Darstellungen der SO(n), sondern nur von Darstellungen ihrer einfach zusammenhängenden Überlagerung Spin(n).

Cartans Arbeit nahm keinen Bezug auf Schur. Diesen Zusammenhang stellte erst später Hermann Weyl her. Für eine Partition d=\lambda_1+\ldots+\lambda_{n-1} ist SλCn eine Darstellung mit Gewicht λ. Diese Darstellungen sind alle irreduzibel, aber sie sind nicht alle unterschiedlich. Für SL(2,C) erhält man für die Partition d=\lambda_1 die Darstellung SymdC2. Anderseits erhält man beispielsweise für 3=2+1 noch einmal die Standarddarstellung C2.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elie-Cartan-1904.png

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