Darstellungen von Lie-Gruppen kommen heute überall in der theoretischen Physik vor, historisch waren sie im 19. Jahrhundert vor allem in der Invariantentheorie von Interesse: dort betrachtet man beispielsweise die Wirkung von SL(n,C) auf dem Raum der homogenen Polynome vom Grad d in n Variablen.

Damals wie heute interessiert man sich nur für differenzierbare Darstellungen. (Alles andere wäre zu kompliziert, zum Beispiel gibt es überabzählbar viele unstetige Homomorphismen R—->R.) Für differenzierbare Darstellungen kann man das Differential als Darstellung der zugehörigen Lie-Algebra betrachten. Darstellungen von Lie-Algebren sind einfacher zu verstehen, weil man dort die Methoden der linearen Algebra anwenden kann. (Und nach den Lieschen Sätzen gibt es zu jedem Lie-Algebren-Homomorphismus einen Homomorphismus der zugehörigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen.)

Für die allgemeine lineare Gruppe GL(n,C) hat Issai Schur 1901 in seiner Dissertation die polynomiellen Darstellungen klassifiziert.
Für GL(2,C) erhält man zu jeder natürlichen Zahl m die – von der natürlichen Darstellung auf C2 induzierte – m-dimensionale Darstellung auf Symm-1(C2), was man als Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad m-1 in zwei Variablen x,y interpretieren kann. Diese Darstellung ist irreduzibel und alle irreduziblen, polynomiellen Darstellungen entstehen auf diese Weise. (Für die Lie-Algebra sl(2,C) erhält man so alle irreduziblen Darstellungen.)
Für GL(3,C) erhält man zunächst zu jedem Paar natürlicher Zahlen a,b die – von der natürlichen Darstellung auf V=C3 induzierte – Darstellung auf Syma(V) ⊗ Symb(V*). Diese ist nicht irreduzibel. Man kann aber die natürliche Kontraktion Syma(V) ⊗ Symb(V*) —-> Syma-1(V) ⊗ Symb-1(V*) betrachten und ihr Kern Ra,b ist eine irreduzible Darstellung. Wenn a und b die natürlichen Zahlen durchlaufen, bekommt man alle polynomiellen Darstellungen (und tatsächlich alle irreduziblen Darstellungen der Lie-Algebra sl(3,C)) auf diese Weise als Ra,b für ein Paar natürlicher Zahlen.
Auf ähnliche Weise bekommt man auch für größere n die polynomiellen Darstellungen der GL(n,C) als Kerne von Kontraktionen zwischen Tensorprodukten symmetrischer Algebren. Schur konnte jeder Partition d=λ1+…+λk einer ganzen Zahl d eine (evtl. triviale) Darstellung der GL(n,C) zuordnen – den sogenannten Schur-Modul SλCn – analog zu Frobenius‘ Klassifikation der Darstellungen der symmetrischen Gruppe Sd durch Partitionen von d.

Élie Cartan hatte 1894 in seiner Dissertation die Arbeiten von Wilhelm Killing zur Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren erstmals verständlich dargestellt. Ein wichtiges Element in Killings Arbeit war die Cartan-Algebra a gewesen, eine maximale abelsche Unteralgebra der halbeinfachen Lie-Algebra. Für eine Darstellung der Lie-Algebra lassen sich die kommutierenden Elemente der Cartan-Algebra simultan diagonalisieren. Man kann also ihre gemeinsamen Eigenräume betrachten, die sogenannten Gewichtsräume. (Nach Schurs Lemma kann man die Gewichtsräume 1-dimensional wählen.) Zu jedem Gewichtsraum gehört ein „Gewicht“, also ein Homomorphismus a–>C, der den Eigenwert eines Elements von a auf diesem Eigenraum angibt.

Für sl(n,C)={A∈Mat(n,C): Spur(A)=0} ist die Unteralgebra der Diagonalmatrizen eine Cartan-Algebra a. Im Fall sl(2,C) besteht diese aus den Diagonalmatrizen diag(a,-a), wobei a alle komplexen Zahlen durchläuft. Für die m-dimensionale Darstellung von sl(2,C) auf Symm-1(C2) rechnet man leicht nach, dass es m jeweils 1-dimensionale Gewichtsräume gibt und die zugehörigen Gewichte den Erzeuger diag(1,-1) auf jeweils eine der m Zahlen m-1, m-3, m-5, … , 3-m, 1-m abbilden. Die irreduziblen Darstellungen sind also nicht nur durch die Gewichte eindeutig bestimmt, sie sind bereits durch das höchste Gewicht m-1 eindeutig festgelegt.

Diese Zuordnung eines höchsten Gewichtes ist insofern willkürlich, dass wir als höchstes Gewicht dasjenige bezeichnet haben, welches den höchsten Wert auf dem Erzeuger diag(1,-1) annimmt. Hätten wir den Erzeuger diag(-1,1) betrachtet, dann wäre der zum höchsten Gewicht gehörende Gewichtsraum ein anderer gewesen. Es hätte sich aber nichts daran geändert, dass das höchste Gewicht die Darstellung eindeutig festlegt.

Für allgemeinere halbeinfache Lie-Algebren legte Cartan nun (willkürlich) eine Basis der Cartan-Algebra fest (die sogenannten einfachen Wurzeln) und definierte dann das höchste Gewicht als dasjenige, das auf den (einfachen) positiven Wurzeln die höchsten Werte annimmt.
Für sl(n,C) bilden die Diagonalmatrizen eine Cartan-Algebra mit Wurzeln e_{ii}-e_{jj}, 1\le i,j\le n, i\not=j, als positive Wurzeln kann man die wählen, für die i kleiner ist als j, und als einfache Wurzeln die mit j=i+1 . Das Bild zeigt das Wurzelsystem für sl(3,R). In diesem Fall ist a der zweidimensionale Raum der Diagonalmatrizen diag(l1,l2,l3) mit l1+l2+l3=0, als einfache Wurzeln sind α=diag(1,-1,0) und β=diag(0,1,-1) gewählt. Die Darstellung Ra,b entspricht dem höchsten Gewicht, welches α auf a und β auf b abbildet.

Mit diesen Begriffen konnte Cartan dann 1913 im Bull. Soc. Math. de France („Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane“, der Titel ist ein komplizierter Name für das was man heute „irreduzible projektive Darstellung“ nennt) den Satz vom höchsten Gewicht beweisen: die irreduziblen Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra werden durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert; zu einem Homomorphismus a—->C gibt es eine irreduzible Darstellung mit diesem höchsten Gewicht genau dann, wenn positive Wurzeln auf natürliche Zahlen abgebildet werden (wofür es genügt, dass einfache Wurzeln auf natürliche Zahlen abgebildet werden).

Nun hat der Raum der Homomorphismen a—->C natürlich dieselbe Dimension wie a, es lassen sich also alle nach dem Satz vom höchsten Gewicht möglichen Gewichte als Linearkombinationen mit positiven, ganzzahligen Koeffizienten aus gewissen Fundamentalgewichten erhalten, von denen es dim(a) viele gibt. Dementsprechend lassen sich alle irreduziblen Darstellungen aus den entsprechenden Fundamentaldarstellungen bekommen. Um die Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra zu beschreiben genügt es also, die Fundamentaldarstellungen anzugeben, was Cartan in seiner Arbeit für alle halbeinfachen Lie-Algebren tat.
Für die meisten Fundamentalgewichte der klassischen Lie-Algebren kannte man diese Darstellungen bereits, sie ergeben sich mittels algebraischer Konstruktionen aus den definierenden Darstellungen; für sl(n,C) handelt es sich um die äußeren Potenzen ΛkCn, k=1,…,n-1. (In Cartans Sprache beschreiben diese Darstellungen, wie die Punkte, Geraden, Ebenen, … im projektiven Raum CPn-1 transformiert werden.)
Aber Cartan fand auch neue, bisher unbekannte Darstellungen, nämlich die Spinor-Darstellungen für so(2m-1) und die beiden Halbspinor-Darstellungen für so(2m). Diese Lie-Algebren-Darstellungen kommen nicht von Darstellungen der SO(n), sondern nur von Darstellungen ihrer einfach zusammenhängenden Überlagerung Spin(n).

Cartans Arbeit nahm keinen Bezug auf Schur. Diesen Zusammenhang stellte erst später Hermann Weyl her. Für eine Partition d=\lambda_1+\ldots+\lambda_{n-1} ist SλCn eine Darstellung mit Gewicht λ. Diese Darstellungen sind alle irreduzibel, aber sie sind nicht alle unterschiedlich. Für SL(2,C) erhält man für die Partition d=\lambda_1 die Darstellung SymdC2. Anderseits erhält man beispielsweise für 3=2+1 noch einmal die Standarddarstellung C2.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elie-Cartan-1904.png