„Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.“ soll Albert Einstein gesagt haben, nachdem Hermann Minkowski 1907 seine spezielle Relativitätstheorie in einen mathematischen Rahmen zu setzen gelungen war – als Anwendung der von Bernhard Riemann in seinem Habilitationsvortrag 1858 vorgeschlagenen durch ein punktweises Skalarprodukt auf einer Mannigfaltigkeit („Riemannsche Metrik“) gegebenen Geometrie.
Minkowskis Metrik war auf der Raumzeit R3+1 durch dx2+dy2+dz2-c2dt2 gegeben, also positiv definit in Raumrichtung und negativ definit in Zeitrichtung. (Strenggenommen kein punktweises Skalarprodukt, sondern nur eine semi-Riemannsche Metrik. Die Theorie semi-Riemannscher Mannigfaltigkeiten funktioniert aber weitgehend genauso wie die Riemannsche Geometrie.)
Die Isometrien von Minkowskis Metrik bilden die Poincaré-Gruppe, eine 10-dimensionale Lie-Gruppe, die als semidirektes Produkt {\bf R}^{3+1}\rtimes O(3,1) beschrieben werden kann. Poincaré hatte die Elemente der Untergruppe O(3,1) als die Transformationen der Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus identifiziert, die Lorentz-Gruppe. Nach Minkowski bildete die größere Poincaré-Gruppe jetzt also die Transformationen der speziellen Relativitätstheorie. Damit war diese Geometrie im Sinne von Felix Kleins Erlanger Programm die richtige Geometrie zur Beschreibung der physikalischen Theorie. Vor allem aber entsprach diese Geometrie Einsteins erstem Postulat, der Invarianz gegen den Wechsel des Inertialsystems.

Minkowskis Metrik paßte auch zu Einsteins zweitem Postulat, der Invarianz (und Maximalität) der Lichtgeschwindigkeit: damit die Länge einer Kurve in der Metrik nicht negativ ist, muss sie im Inneren des “Lichtkegels” liegen, die Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts also geringer sein als die Lichtgeschwindigkeit. Minkowskis Ansatz erklärte die äußerst phantastische Hypothese der Längenverkürzung in Richtung der Bewegung und andere Phänomene der Relativitätstheorie.

Die Riemannsche (und die für die Relativitätstheorie benötigte semi-Riemannsche) Geometrie waren noch nicht wirklich zu Leben erwacht, auch wenn der Tensorkalkül und die Krümmungsbegriffe schon von italienischen Mathematikern bearbeitet worden waren. Obwohl Minkowski seine Rede auf der Naturforscherversammlung in Köln mit den Worten “Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.” begann, interessierte sich Einstein für das Konzept der Raum-Zeit erst nach Minkowskis Tod, als er an der allgemeinen Relativitätstheorie, dem Verständnis der Gravitation, zu arbeiten begann.

Mehrere Jahre lang versuchte Einstein, die richtigen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie zu formulieren. Sein Züricher ETH-Kollege Marcel Grossmann schlug ihm die semi-Riemannsche Geometrie als den richtigen Rahmen vor und führte ihn in den absoluten Differentialkalkül Ricci-Curbastros ein. Entsprechend Grossmanns Vorschlag versuchte Einstein, die Feldgleichungen mit den zehn Koordinatenkomponenten eines gewissen aus der Krümmung der Raumzeit hergeleiteten Tensors zu formulieren, wofür er lange nicht die korrekte Definition fand. Die Theorie sollte Kovarianzeigenschaften haben und natürlich im Grenzfall mit der klassischen Physik übereinstimmen.
Als die richtige Form der Feldgleichungen stellte sich letztlich die (koordinatenfreie) Gleichung Ric_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2}Scal g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G }{c^4} T_{\mu \nu} heraus, wobei g den metrischen Tensor (d.h. die semi-Riemannsche Metrik), Ric den Ricci-Tensor (das ist die Spur des Riemannschen Krümmungstensors) und Scal die Skalarkrümmungkosmologische Konstante.) Auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuum Null ist. Metriken, die die Einstein-Gleichungen mit T=0 erfüllen, für die also die Ricci-Krümmung ein konstantes Vielfaches der Metrik ist, nennt man heute Einstein-Metriken.

Parallel zu Einstein versuchte auch Hilbert, die Gravitationsgleichungen geometrisch zu interpretieren. Anders als später manchmal behauptet gab es dabei keinen Prioritätsstreit, "Jeder Göttinger Straßenjunge versteht mehr von vierdimensionaler Geometrie als er. Trotzdem hat er die Arbeit gemacht und nicht die Mathematiker." sagte er über Einstein und die von ihm entwickelte allgemeine Relativitätstheorie.

Seit Lagrange verfolgen Physiker den Ansatz, die Dynamik eines Systems durch ein Variationsprinzip zu beschreiben, also durch ein Wirkungsfunktional, welches minimiert werden soll. Die Euler-Lagrange-Gleichung dieses Wirkungsfunktionals soll dann die die Entwicklung des Systems beschreibende Differentialgleichung sein.
In diesem Sinne wollte Hilbert, der an eine axiomatische Grundlegung der Physik glaubte und diese sogar zu einem seiner 23 Jahrhundert-Probleme gemacht hatte, ein Wirkungsfunktional auf dem Raum der semi-Riemannschen Metriken einer Mannigfaltigkeit postulieren, aus dessen Stationarität sich die korrekten Bewegungsgleichungen ergeben sollten. Im Vakuum (T=0) war die offensichtlichste solche Funktion mit den richtigen Symmetrieeigenschaften das Integral über die Skalarkrümmung multipliziert mit der Volumenform der gegebenen Metrik: S = \frac{c^4}{16\pi G_{\text{N}}}\int \sqrt{|\det{g}(x)|}\,R(g(x)) \, \mathrm{d}^4 x . Im allgemeinen Fall (T≠0) addierte er zum Integranden noch einen Ausdruck - \frac{c^4}{16\pi G_{\text{N}}}\int \sqrt{|\det{g}(x)|}\,2\Lambda \mathrm{d}^4 x , aus dem sich der Energie-Impuls-Tensor mittels T_{\mu\nu}=-2\frac{\delta L}{\delta g^{\mu\nu}}+g_{\mu\nu}L ergibt.
Hilbert berechnete die Variationsableitung δS und zeigte, dass man aus δS=0 Einsteins (fast gleichzeitig in ihrer endgültigen, letztlich korrekten Fassung gefundenen) Feldgleichungen herleiten kann.

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Kommentare (29)

  1. #1 Frank Wappler
    27. Februar 2020

    Thilo schrieb (27. Februar 2020):
    > Minkowskis Metrik war auf […] \mathbb R^{3 + 1} durch {\text d}x^2 + {\text d}y^2 + {\text d}z^2 - {\text c}^2 \, {\text d}t^2 gegeben,
    > also positiv definit in Raumrichtung und negativ definit in Zeitrichtung.

    Sofern mit {\text c} hier ein bestimmtes, von Null verschiedenes Symbol gemeint ist, dass keine reelle Zahl ist (sondern “Dimensions-behaftet” ist, wie sich ergeben mag)
    und sofern der Wertebereich von “Minkowskis Metrik” die reellen Zahlen sein sollten (in denen sich “positive” und “negative” unterscheiden lassen),
    wäre diese dann nicht stattdessen auf der Menge \mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c zu definieren ?

    > (Strenggenommen kein punktweises Skalarprodukt, […])

    Wäre Minkowskis Metrik demnach also
    { \text{Minkowskis Metrik}} : (\mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c) \times (\mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c) \rightarrow \mathbb R
    ?

    > […] auf der Raumzeit […] durch […] gegeben

    Eine bestimmte Raumzeit-Region ist jedoch (vor allem) eine bestimmte Menge von Ereignissen, \mathcal E;
    üblicherweise zusammen mit einer bestimmten “(mathematischen) Struktur” (d.h. als ein “mathematischer Raum”);
    z.B. als (\mathcal E, s^2) zusammen mit (den entsprechenden Werten des) Raumzeit-Intervalls s^2 : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow \mathbb R.

    Je nachdem, wie die Koordinaten-Menge (\mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c) (bzw. eine Teilmenge davon) einer in Betracht stehenden Ereignismenge \mathcal E zugeordnet würde, d.h.
    konkret jeweils durch eine bestimmte (umkehrbare) Abbildung
    \mathfrak k : \mathcal E \rightarrow (\mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c),
    ließe sich die dadurch induzierte Beziehung zwischen Werten der Raumzeit-Intervalle s^2 und entsprechenden Werten von Minkowskis Metrik hinsichtlich ihrer Kompatibilität unterscheiden; z.B.

    – ob \forall p, q \in \mathcal E : { \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ q ] \, ] = s^2[ \, p, \, q \, ],

    – oder ob (wenigstens) \forall p, q, r \in \mathcal E :
    ${ \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ q ] \, ] * s^2[ \, p, \, r \, ] = \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ r ] \, ] * s^2[ \, p, \, q \, ]$,

    – oder nicht einmal das Letztere.

    > Minkowskis Metrik paßte auch zu Einsteins zweitem Postulat, der Invarianz (und Maximalität) der Lichtgeschwindigkeit: damit die Länge einer Kurve in der Metrik nicht negativ ist, muss sie im Inneren des “Lichtkegels” liegen, die Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts also geringer sein als die Lichtgeschwindigkeit. […]

    Jedenfalls passt die (Einstein-Robb-Syngesche) chronometrische Definition von Distanz (bzw. von Werten raumartiger Intervalle aus Werten zeitartiger Intervalle) dazu, das o.g. Symbol “c” als Wert der Signalfront-Geschwindigkeit zu identifizieren, sofern den in Betracht stehenden Ereignissen die zur Auswertung von Minkowskis Metrik erforderlichen Koordinaten hinreichend kompatibel zugeordnet würden.
    (Ob zeitartigen Intervallen dabei negative Werte gegeben werden, und raumartigen entsprechend positive, oder gerade umgekehrt, ist ohnehin nur Konventionssache. …)

    p.s.
    > […] die (koordinatenfreie) Gleichung Ric_{\mu \nu} - […]

    Wieso “koordinatenfrei” ? — Bezeichnen denn die Indices \mu bzw. \nu darin nicht Koordinaten-(Basis-)-Achsen ??

    p.p.s. — ScienceBlogs-Kommentar-HTML-Test:

    R<sup>3+1</sup>” wird dargestellt als: “R3+1″.

  2. #2 Frank Wappler
    27. Februar 2020

    Frank Wappler schrieb (#1, 27. Februar 2020):
    > […] konkret jeweils durch eine bestimmte (umkehrbare) Abbildung
    > \mathfrak k : \mathcal E \rightarrow (\mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c),
    > ließe sich die dadurch induzierte Beziehung zwischen Werten der Raumzeit-Intervalle s^2 und entsprechenden Werten von Minkowskis Metrik hinsichtlich ihrer Kompatibilität unterscheiden; z.B.

    > – ob \forall p, q \in \mathcal E : { \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ q ] \, ] = s^2[ \, p, \, q \, ],

    > – oder ob (wenigstens) \forall p, q, r \in \mathcal E :

    { \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ q ] \, ] * s^2[ \, p, \, r \, ] = \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ r ] \, ] * s^2[ \, p, \, q \, ], …

    > – oder nicht einmal das Letztere.

  3. #3 Frank Wappler
    27. Februar 2020

    Frank Wappler schrieb (#1, 27. Februar 2020):
    > […] konkret jeweils durch eine bestimmte (umkehrbare) Abbildung
    > \mathfrak k : \mathcal E \rightarrow (\mathbb R^{3} \times (\mathbb R) / c),
    > ließe sich die dadurch induzierte Beziehung zwischen Werten der Raumzeit-Intervalle s^2 und entsprechenden Werten von Minkowskis Metrik hinsichtlich ihrer Kompatibilität unterscheiden; z.B.

    > – ob \forall p, q \in \mathcal E : { \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ q ] \, ] = s^2[ \, p, \, q \, ],

    > – oder ob (wenigstens) \forall p, q, r \in \mathcal E :

    { \text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ q ] \, ] * s^2[ \, p, \, r \, ] = {\text{Minkowskis Metrik}}[ \, \mathfrak k[ p ], \, \mathfrak k[ r ] \, ] * s^2[ \, p, \, q \, ], …

    > – oder nicht einmal das Letztere.

  4. #4 Uli
    28. Februar 2020

    Ich habe vollstes Verständnis für Einstein.

    Bei mir war bei “punktweises Skalarprodukt auf einer Mannigfaltigkeit” mathematisch leider schon Schluß… 🙁

  5. #5 MartinB
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen
    28. Februar 2020

    @Uli
    Da mach ich mal ganz frech Werbung für mein Buch:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2019/01/29/hallo-isaac-mein-buch-ist-da/
    Ich denke, das hilft ein bisschen, die Brücke zwischen Anschauung und Mathematik zu schlagen.

  6. #6 Wilhelm Leonhard Schuster
    Ansbach
    28. Februar 2020

    Naive Frage eines Laien auf allen Gebieten:
    Können sich die Mathematiker auf den Corona Virus stürzen und helfen, rasch einen Impfstoff zu entwickeln?

  7. #7 Jan
    28. Februar 2020

    @Wilhelm Leonhard Schuster:
    Warum die Mathematiker? Mathematik hat mit Virologie nichts zu tun. Im Durchschnitt dürften Mathematiker für die Entwicklung eines Impfstoffs nicht besser qualifiziert sein als Nicht-Mathematiker.

  8. #8 Wilhelm Leonhard Schuster
    Ansbach
    28. Februar 2020

    Jan , warum ich so dämlich frage?
    Man ist sich nicht einig, ob Viren schon Lebewesen sind.
    Also müßten die doch “prä” atomar , mathematisch

    (bei großer Rechenleistung, bis Neutrinos ct.)

    aufgeschlüsselt- und eingeordnet werden können.
    (Ähnlich dem Periodensystem der Elemente?)

  9. #9 Jan
    28. Februar 2020

    Ich bin kein Virologe und Biologie hatte ich zuletzt im Gymnasium. Aber die Frage, ob Viren Lebewesen sind oder nicht, ist doch nur eine Frage wie genau man den Begriff “Lebewesen” definiert. Dafür wie sie sich verhalten, wie sie funktionieren, und was man gegen sie tun kann, spielt das doch keine Rolle.

    Viren bestehen aus viel zu vielen Atomen um sie auf (heutigen) Computern mit einem auf ihrer atomaren Zusammensetzung basierenden Modell beschreiben zu können. Insbesondere dann, wenn man das voll ab initio quantenmechanisch machen wollte.

    Und auch das wäre eher eine Aufgabe für Physiker oder Chemiker, nicht Mathematiker.

    Und einen Impfstoff bekommt man so auch nicht. Denn da geht es doch darum, das körpereigene Immunsystem dazu zu bringen, den Virus zu bekämpfen. Man müsste also mindestens Teile des Immunsystems ebenfalls simulieren.

  10. #10 Wilhelm Leonhard Schuster
    Ansbach
    28. Februar 2020

    Jan, Sie beschreiben die Schwierigkeiten sicher völlig richtig. Das Problem ist mir auch, von vornherein klar.

    Dennoch meine ich , Viro Leute , Mathe Leute, Chemiker und Physiker ,sowie Computer Fritzen
    könnten sich hier zusammentun um diesen vertrackten “Vir russen”

    (vielleicht schafft es/wieder/ ein Russe lol)

    auf die Schliche zu kommen.

  11. #12 Karl Mistelberger
    mistelberger.net
    29. Februar 2020

    Vorab bemerkt:

    “Mathematicians are only dealing with the structure of the reasoning and they do not really care about what they’re talking about. They don’t even need to know what they’re talking about, as they themselves say, or whether what they say is true.” (Richard Feynman).

    https://medium.com/cantors-paradise/richard-feynman-on-the-differences-between-mathematics-and-physics-c0847e8a3d75

    Zu Einstein:

    „Einstein soll im Berliner Kolloquium schrecklichen Quatsch über einen Fernparallelismus verzapft haben!“ meinte Wolfgang Pauli, der im zarten Alter von 19 Jahren von Sommerfeld mit der Abfassung eines Übersichtsartikels beauftragt wurde:

    http://www.library.ethz.ch/de/ms/Virtuelle-Ausstellungen/Wolfgang-Pauli-und-die-moderne-Physik/Der-Encyklopaedieartikel

    Physik ist also ein viel zu ernstes Thema als dass man es Dilettanten überlassen möchte.

  12. #13 Dirk Freyling
    Erde
    2. März 2020

    Albert Einsteins mathematische Fertigkeiten

    Lee Smolin schreibt in

    Lessons from Einstein’s 1915 discovery of general relativity (https://arxiv.org/pdf/1512.07551.pdf), December 2015 u.a.

    …”Einstein war weder sehr gut in Mathematik ausgebildet, noch sehr gut darin. Er war auf Freunde wie Marcel Grossman angewiesen, um ihm die Mathematik zu erklären, auf der die allgemeine Relativitätstheorie beruht. Und er war auf andere Freunde wie Michael Besso angewiesen, um die richtige Interpretation der Mathematik zu finden. Zeitgenossen stellten in der Tat fest, dass es viele Kollegen gab, die viel besser in Mathematik waren, wie John von Neumann. Im Gegensatz zu Newton erfand Einstein keine neue Mathematik, mit der er seine neuen Theorien ausdrückte. Die Allgemeine Relativitätstheorie verwendet Mathematik, die für die Mathematik gekrümmter Flächen und allgemeiner Geometrien entwickelt wurde, die in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts von Mathematikern entwickelt wurde. Einstein war der erste Physiker, der diese neue Herangehensweise an die Geometrie zur Beschreibung physikalischer Systeme nutzte. Aber er folgte dem Unterricht von Marcel Grossman beim Erlernen und Anwenden der Mathematik.

    In der Tat war Einstein nicht sehr gut darin, diese neue Mathematik anzuwenden. Nachdem er die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie aufgeschrieben und veröffentlicht hatte, wurden schnell Lösungen gefunden, die einfache Beispiele beschreiben. Diese beschreiben sehr symmetrische Situationen wie kugelsymmetrische Sterne und homogene, expandierende Universen. Diese Lösungen abzuleiten sind nun Hausaufgabenübungen in Grundstudiengängen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Aber Einstein hat keine dieser einfachen Lösungen gefunden, es gibt tatsächlich keinen Beweis, dass er überhaupt danach gesucht hat. Sie wurden von anderen innerhalb weniger Wochen nach Veröffentlichung seiner Artikel gefunden.

    Warum webte Einstein einen Mythos um seine Schöpfung der allgemeinen Relativitätstheorie? Was war sein Motiv, eine Fabel über die Rolle der mathematischen Schönheit bei der Schaffung der allgemeinen Relativitätstheorie zu erzählen? Der Grund könnte sein, dass er Propaganda machte, um das Interesse an der Arbeit zu fördern, die er unternahm, um der allgemeinen Relativitätstheorie nachzugehen. Dies zielte darauf ab, über die allgemeine Relativitätstheorie zu einer Theorie zu gelangen, von der er hoffte, dass sie sein Meisterwerk sein würde, eine einheitliche Theorie aller Phänomene, die nicht nur die Schwerkraft, sondern auch den Elektromagnetismus einbezieht. Er nannte dies die einheitliche Feldtheorie. Sein Ziel war es, nicht nur alle Kräfte in der Natur zu beschreiben, sondern die Quantenmechanik zu ersetzen. Denn Einstein war ein enttäuschter „Elternteil“, als es um das zweite seiner „theoretischen Kinder“ ging. Er hatte zu Beginn des 20. Jahrhunderts mehr als jeder andere getan, um die Quantentheorie hervorzubringen. Aber als diese Theorie in den 1920er Jahren von anderen endgültig formuliert wurde, war er mit dem Ergebnis sehr unzufrieden. Die Quantentheorie machte Unbestimmtheit und Wahrscheinlichkeit grundlegend und Einstein lehnte dies ab. Er suchte eine tiefere Beschreibung, die eine vollständige und deterministische Beschreibung jedes einzelnen Phänomens liefern würde. Er hoffte, dass dies seine einheitliche Feldtheorie sein würde.”…

  13. #14 Albrecht
    Mannheim
    2. März 2020

    Leider ist die Spezielle Relativitätstheorie leicht durchschaubar falsch, daher sieht es mit der Allgemeinen auch nicht besonders gut aus.

    Ich empfehle Hermann Dingles “Science at Crossroads” zu lesen.

    Link zu Volltext und Weiteres zu finden auf

    https://albrecht-storz.homepage.t-online.de/

  14. #15 Albrecht
    Mannheim
    2. März 2020

    Folgernder Text ging an über 70 deutschsprachige Physiker:

    “”Wage es, Dich Deines eigenen Verstandes zu bedienen!”

    Sehr geehrte Damen und Herren,

    Nach der Speziellen Relativitätstheorie würde ein Beobachter objektiv ein gegen ihn bewegtes Objekt in Bewegungsrichtung verkürzt messen (“Längenkontraktion”).

    Nun ist folgendes eine objektive Längenmessmethode die vielfältig erfolgreich angewandt wird wenn ein Objekt nicht direkt erreichbar ist:

    Zuerst misst man den Sichtwinkel einer an dem Objekt vorhandenen, bekannten Länge. Nehmen wir an, die Länge von einem Meter wäre auf dem Objekt durch zwei Markierungen bezeichnet. Es wird also der Sichtwinkel bestimmt der durch diese Markierungen definiert ist.

    Sodann misst man unter denselben Bedingungen den Sichtwinkel, den das gesamte Objekt einnimmt.

    Indem man den Sichtwinkel den der markierte “1 Meter” einnimmt und den Sichtwinkel den das gesammte Objekt einnimmt zueinander in Beziehung setzt, erhält man die objektive Länge des Objektes durch eine objektive Messung. Und diese objektive Länge kann nur mit der so genannten Ruhelänge des Objektes übereinstimmen.

    Wie unter Punkt A8) schon festgestellt und auch durch “einstein.online” bestätigt, wäre auch ein bewegter Längenmaßstab durch die Längenkontraktion verkürzt. Und auch nur dadurch ist erklärbar, dass sich der angeblich längenkontrahierte Bewegte selbst nicht als kontrahiert wahrnimmt.

    Die SRT (so lange sie nicht als Beobachtungstheorie verstanden wird) würde erfordern, dass verschiedene objektive Messmethoden zu unterschiedlichen Messergebnissen führten.

    Dies wurde auf der Homepage als Punkt A14) neu hinzugefügt.

    Jeder Wissenschaftler sollte wenigstens einmal Herbert Dingle, “Science at the Crossroads, A Rational Scrutiny of the Clock Paradox in Einstein’s Relativity”gelesen haben! Dingle ist nie widerlegt, aber ausdauernd bekämpft worden.

    Link auf den Volltext und Weiteres auf meiner Seite: https://albrecht-storz.homepage.t-online.de

    Mit freundlichen Grüßen

    Albrecht Storz”

  15. #16 rolak
    3. März 2020

    Hui, es regnet schon wieder Vollpfosten…

  16. #17 Frank Wappler
    3. März 2020

    Albrecht schrieb (#14, 2. März 2020):
    > […] Ich empfehle Hermann Dingles “Science at Crossroads” zu lesen. […]

    Besonders empfehlenswert scheint mir die Beschäftigung mit der Frage, die Dingle dort (sinngemäß) gleich mehrfach (und entsprechend eindringlich) gestellt hat:

    […H]ow does one determine, consistently with the theory, which clock works the more slowly?
    […H]ow does one tell from the theory which clock works the faster?
    […] How is the slower-working clock distinguished?
    […] My question is: what, consistently with the theory, determines which clock works the faster?
    […S]omething must determine which clock really works the faster. What is that something?
    […] When I ask which clock goes faster (for you can’t have clocks going at different rates without one going faster than the other), and why
    […W]hat determines which of the relatively moving clocks works (and not merely appears to work, as Einstein’s example of the equatorial, and polar clocks shows) the more slowly?

    Offenbar hat Dingle dieser mehrfach formulierten Frage keine konkrete Antwort beigefügt — aber das lässt sich nachholen:

    Gegeben zwei Uhren als geordnete Paare 𝔄 ≡ (𝒜, t_𝔄) bzw. 𝔅 ≡ (ℬ, t_𝔅),
    wobei 𝒜 (bzw. ℬ) die geordnete Menge der Anzeigen eines bestimmten Beteiligten A (bzw. B) bezeichnet,
    und t_𝔄 (bzw. t_𝔅) die (reell-wertigen) Ablesewerte bezeichnet, die den Anzeigen des betreffenden Beteiligten jeweils zugeordnet wurden, um eine bestimmte Uhr zu erhalten,
    dann ging in jeweils einem bestimmten Versuch, der hinsichtlich A mit dessen Anzeige A_J ∈ 𝒜 seiner Teilnahme am Ereignis ℯ_AJ begann und mit dessen (von A_J verschiedenen) Anzeige A_K ∈ 𝒜 seiner Teilnahme am (von ℯ_AJ verschiedenen) Ereignis ℯ_AK endete, und der hinsichtlich B mit dessen Anzeige B_P ∈ ℬ seiner Teilnahme am Ereignis ℯ_BP begann und mit dessen (von B_P verschiedenen) Anzeige B_Q ∈ ℬ seiner Teilnahme am (von ℯ_BP verschiedenen) Ereignis ℯ_BQ endete,
    Uhr 𝔄 (durchschnittlich) langsamer als Uhr 𝔅, und daher entsprechend auch Uhr 𝔅 (durchschnittlich) schneller als Uhr 𝔄, falls

    (t_𝔅[ B_Q ] – t_𝔅[ B_P ]) >
    (t_𝔄[ A_K ] – t_𝔄[ A_J ]) * (τB[ _P, _Q ] / τA[ _J, _K ]);

    worin “(τB[ _P, _Q ] / τA[ _J, _K ])” das (reell-wertige, positive) Verhältnis zwischen Bs Dauer von dessen Anzeige B_P bis zu dessen Anzeige B_Q und As Dauer von dessen Anzeige A_J bis zu dessen Anzeige A_K symbolisiert.

    (Auf die ebenfalls beantwortbare Frage, wie denn gemäß der Relativitätstheorie jeweils der Verhältniswert von bestimmten Dauern bestimmter Beteiligter zu ermitteln sei, oder gar auf entsprechende Befunde, dass z.B. die eine Dauer “kürzer” als die andere Dauer gewesen wäre usw., ist Dingle dann wohl nicht mehr gekommen.)

  17. #18 Toni
    4. März 2020

    Minkowski … “Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.”

    Hier sieht man klar, dass die Mathematiker mit der Physik völlig überfordert sind.

  18. #19 Albrecht
    Mannheim
    5. März 2020

    Frank Wappler
    3. März 2020

    Sehr geehrter Herr Wappler,

    Sie antworten auf eine einfache Frage mit Hieroglyphen. Ein gängige Methode Fragende abzuwehren. Früher, im Mittelalter, benutzte man dazu Latein. Wir leben aber im Zeitalter NACH der Aufklärung. Und jetzt Latein durch schöne Formeln zu ersetzen ist KEIN Fortschritt.

    Sapere aude!

    Die zwei Uhren sind in EINEM Universum und auch wenn sie nicht instantan miteinander verglichen werden können ist es dennoch physikalisch unmöglich, dass sie gleichzeitig gegeneinander nachgehen würden.

    Nun wird natürlich immer das “gleichzeitig” kritisiert. Da frage ich: geschieht in diesem Moment etwas irgendwo im Kosmos – unabhängig davon ob ich das im Moment wissen oder nachprüfen kann?

    Relativisten behaupten, jetzt im Moment würde anderswo nichts oder auch alles mögliche gleichzeitig geschehen – abhängig vom Bewegungszustand (“Relativität der Gleichzeitigkeit”). Das ist Unsinn.

    Was auf dem Rechenblatt möglich ist muss deshalb noch lange nicht in der Realität verwirklichbar sein.

  19. #20 Albrecht
    Mannheim
    5. März 2020

    Übrigens sollte hier festgestellt werden, dass Herr Wappler NICHT auf dem Boden der heute offiziell vertretenen und gelehrten Speziellen Relativitätstheorie steht. Er tut nur so. Auch so ein Phänomen dieser Zeit. Man kann jeden physikalischen Müll verzapfen – Hauptsache man macht dabei das Lippenbekenntnis zu Einstein (oder erweckt den entsprechenden Eindruck).

  20. #21 Peter Strohmayer
    11. März 2020

    #Albrecht
    Die Messung der Länge eines “bewegten” Maßstabs (System S’) mittels Sichtwinkels setzt voraus, dass aus Sicht des “ruhenden” messenden Beobachters (System S) zur gleichen Zeit ein Signal von den beiden Enden des Maßstabs zum Auge des Beobachters gesendet wird.
    Wenn es aber nicht möglich ist, die Signale sowohl aus der Sicht S als auch aus Sicht S’ gleichzeitig auszusenden, kommt aus Sicht S eine andere Länge heraus als aus Sicht S’.

    Welche Beispiele wir auch hervorholen, wir landen letztlich immer beim umstrittenen Begriff der Gleichzeitigkeit.
    Dass aber aus Sicht unterschiedlich bewegter Beobachter kein Ereignis (außer das ihrer Begegnung) zur gleichen Zeit statt finden kann, ergibt sich daraus, dass es letztlich keine andere Messung von Längen und Zeiten gibt und geben kann als mit (reflektierten) Lichtstrahlen (starre Maßstäbe und Uhren sind nur deren unvollkommene Derivate) und dass diese Wirkungsausbreitung, mit der wir messen, eine absolute Grenze hat (kein Photon kann ein anderes überholen).

  21. #22 Toni
    12. März 2020

    Die Messung der Länge eines “bewegten” Maßstabs (System S’) mittels Sichtwinkels setzt voraus, dass aus Sicht des “ruhenden” messenden Beobachters (System S) zur gleichen Zeit ein Signal von den beiden Enden des Maßstabs zum Auge des Beobachters gesendet wird.

    Das muss nicht sein. Die Signale müssen auch nicht gleichzeitig emittiert werden. Man kann einfach ausrechnen von welchem Ort, zu welcher Zeit, welches Signal gesendet wurde und so kann die Länge berechnet werden. Das funktioniert bei GPS wunderbar weil alle Uhren absolut synchron gehen und die Position der Satelliten ist exakt bekannt.

  22. #23 Frank Wappler
    12. März 2020

    Peter Strohmayer schrieb (#21, 11. März 2020):
    > […] (kein Photon kann ein anderes überholen).

    Doch, doch:
    Falls sich (z.B.) die Weltröhren der beiden betreffenden Photonen schneiden, würde man der betreffenden Region ungleichen Brechungsindex (insbesondere: ungleichen Gruppen-Brechungsindex) für diese beiden Photonen zuschreiben.
    Und die beiden Photonen müssten sich natürlich voneinander unterscheiden, sei es hinsichtlich “Frequenz” oder “Polarisation”, um überhaupt die Frage stellen zu können, ob eines das andere überholt hätte, oder nicht.
    (Und sofern sich die beiden Weltröhren nicht schneiden, also in ganz voneinander getrennten Regionen “vorkamen”, könnten sich diese beiden Regionen ja sowieso hinsichtlich ihrer jeweiligen Krümmung, den jeweiligen Verteilungen darin enthaltener Spiegel, usw. usf. unterscheiden.)

    Aber: Keine Signalfront kann eine andere Signalfront überholen (sondern, definitionsgemäß, höchstens einholen).
    Daher die besondere Bedeutung von Signalfronten in der Definition und Ermittlung geometrischer Beziehungen.

  23. #24 Frank Wappler
    12. März 2020

    Toni schrieb (#22, 12. März 2020):
    > [… »Die Messung der Länge eines “bewegten” Maßstabs« …] Man kann einfach ausrechnen von welchem Ort, zu welcher Zeit, welches Signal gesendet wurde und so kann die Länge berechnet werden.

    Sofern ein geeignetes Bezugssystem gegeben ist (also eine (“zeitartige”) Kongruenz, die die in Betracht stehende Region ausfüllt, und für deren Mitglieder geometrische und ggf. auch kinematische Beziehungen untereinander bekannt sind), lässt sich offenbar auch feststellen, wen davon die Bestandteile des in Betracht stehenden “Maßstabs” (insbesondere: seine beiden Enden) jeweils in welcher Reihenfolge getroffen/passiert hatten.
    (Dabei sei angenommen, dass die Bestandteile des in Betracht stehenden “Maßstabs” und insbesondere: seine beiden Enden nicht selbst Mitglieder des gegebenen Bezugssystems sind; insofern nennt man diesen “Maßstab” offenbar “bewegt”.)

    Und diese Passage/Koinzidenz-Ereignisse sind sicherlich auch wiederum von allen (anderen) Mitgliedern des gegebenen Bezugssystems wahrnehmbar.

    Wie würde nun konkret daraus “die Länge [des Maßstabs] berechnet werden” ??

    Wie wäre zunächst wenigstens feststellbar, ob den beiden Enden des in Betracht stehenden “Maßstabs” überhaupt durchwegs eine bestimmte Distanz voneinander zuzuschreiben ist, die ggf. als “die Länge dieses Maßstabs” bezeichnet würde ??

    (Danach könnte man sich ja Gedanken machen, wie diese Länge mit Distanzen zwischen geeigneten anderen Beteiligten zu vergleichen wäre …)

    > Das funktioniert bei GPS wunderbar […]

    Wird mit der (wunderbaren) GPS-Methodik womöglich auch solchen Paaren von Enden eine bestimmte “Länge” zugeschrieben, die gar nicht gegenüber einander ruhten, sondern z.B. (lediglich) gegenüber einander starr gehalten wurden ?

  24. #25 Peter Strohmayer
    14. März 2020

    #23
    Einverstanden: Fronten von Signalen, die die maximale Wirkungsausbreitung von “1” repräsentieren (Kugelwellen aus Licht, Gravitationswellen), können sich nicht gegenseitig überholen.
    #24
    Natürlich kann man bei gegebener Relativgeschwindigkeit aus dem räumlichen und zeitlichen Abstand nicht gleichzeitiger Ereignisse, die einer Anwesenheit von verschiedenen Maßstabsenden zugeordnet werden können, die Ruhelänge dieses Maßstabs errechnen. Das verkompliziert aber nur die (im entscheidenden Punkt von mir noch nicht ausgeführt) Argumentation gegenüber #Albrecht, der meint, mit dem “Sichtwinkel” die SRT widerlegen zu können.

  25. #26 Toni
    15. März 2020

    Natürlich kann man bei gegebener Relativgeschwindigkeit aus dem räumlichen und zeitlichen Abstand nicht gleichzeitiger Ereignisse, die einer Anwesenheit von verschiedenen Maßstabsenden zugeordnet werden können, die Ruhelänge dieses Maßstabs errechnen.

    Was verstehen Sie unter “Ruhelänge”? Ändert sich die Länge eines Objekts real (tatsächlich, materiell) wenn sich der Beobachter bewegt und das Objekt in Ruhe bleibt?

    Auch ein mitbewegter Beobachter muss eine “falsche” Länge sehen weil das Licht eine endliche Geschwindigkeit hat. Das ist eine Selbstverständlichkeit wegen Laufzeiteffekt. Eine Kamera fotografiert das Licht welches gleichzeitig auf die Fotoplatte fällt. Wann das Licht emittiert wurde muss berechnet werden und so kann die tatsächliche Länge exakt ermittelt werden.

    Keine Wunder, keine Mysterien.

  26. #27 Peter Strohmayer
    Toni #26
    15. März 2020

    Nein, keine Mysterien. Weder der Ablauf der Zeit noch die Ruhelänge eines Maßstabs werden durch gleichförmige Bewegungen beeinflusst.

    Aber der zeitliche und der räumliche Abstand zweier Ereignisse voneinander – wo immer diese herrühren, eben auch von der Anwesenheit von Maßstabsenden – sehr wohl. Aber nicht deswegen, weil das Licht eine “endliche Geschwindigkeit” hat (das hat auch ein Kamel), sondern weil das Licht ein Repräsentant der maximalen Wirkungsausbreitung ist.

    Damit wären wir wieder bei der Gleichzeitigkeit. In Anbetracht der maximalen Wirkungsausbreitung stellt sich die Frage, wie man auf die Idee kommen kann, zwei Ereignisse wären absolut (für alle wie immer bewegten Beobachter) gleichzeitig.

  27. #28 Mayer
    16. März 2020

    In Anbetracht der maximalen Wirkungsausbreitung stellt sich die Frage, wie man auf die Idee kommen kann, zwei Ereignisse wären absolut (für alle wie immer bewegten Beobachter) gleichzeitig.

    Das ist reinste Esoterik. Sie bringen offenbar die Gleichzeitigkeit der Wahrnehmung von Signalen mit der Gleichzeitigkeit von Ereignissen, die diese Signale erzeugen, durcheinander. Und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wirkung hängt davon ab, ob sich der Beobachter von der Quelle der Wirkung weg oder auf sie zu bewegt. Wollen Sie das abstreiten?

  28. #29 Peter Strohmayer
    16. März 2020

    #28
    Wenn zwei räumlich entfernte Ereignisse aus der Sicht irgendeines Beobachters gleichzeitig sind, dann muss dieser Beobachter von der Existenz dieser Ereignisse – ganz gleich, ob er von ihnen durch Boten, Kamele oder Lichtsignale Kenntnis erhält – nicht zugleich erfahren. Das hat mit der SRT nichts zu tun.

    Aber sehr wohl hat damit zu tun, dass die “Ausbreitungsgeschwindigkeit” eines Photons nicht davon abhängt, wie sich ein Beobachter bewegt. Das folgt unwiderleglich daraus, dass sich Signalfronten maximaler Wirkungsausbreitung (zB Kugelwellen aus Licht) gegenseitig nicht überholen können. Die “Lichtgeschwindigkeit” ist keine Geschwindigkeit im herkömmlichen Sinn, sondern sie ist jener Wert “1”, in Bezug auf den Geschwindigkeiten (ebenso übrigens wie Zeit und Raum) physikalisch definiert werden (zB “0,8c”). Das ist keine Esoterik, sondern seit 100 Jahren bekannt.