Die Nützlichkeit topologischer Stetigkeitsargumente bei der Lösung geometrischer Probleme wird manchmal (zum Beispiel im sehr empfehlenswerten Buch von Boltjanskij-Efremowitsch) veranschaulicht mit dem Beweis, dass jede beliebige geschlossene Kurve durch ein Quadrat umschrieben werden kann: Zu jedem Winkel α findet man ein Rechteck, dessen erste Seite Neigungswinkel α hat und das die Kurve umschreibt. (Man nehme einfach ein sehr grosses Rechteck mit Neigungswinkel α, das gross genug ist um die Kurve im Inneren zu enthalten. Dann verschiebe man die Seiten durch Parallelverschiebung, bis sie die Kurve gerade berühren.) Sei A die Länge der ersten Seite, B die Länge der zweiten Seite. Falls A-B=0 ist, haben wir ein Quadrat. A und B hängen stetig vom Winkel α ab. (Das muss man strenggenommen eigentlich noch beweisen.) Nun erhalten wir für α=90odasselbe Rechteck wie für α=0o, wobei aber die Rolle von A und B vertauscht ist. Wenn also für α=0o A>B ist, dann ist für α=90o B>A (und umgekehrt). A-B ist also bei α=0o positiv und bei α=90o negativ, oder umgekehrt. Also muss A-B zwischendurch einmal den Wert 0 annehmen, wir bekommen also ein Quadrat.
Ein ähnliches Argument liefert im neuen Numberphile-Video einen von drei Beweisen, dass man in jedem spitzwinkligen Dreieck ein Quadrat findet:
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