Theorema Magnum MCMXXV: die Hauptsätze der Werteverteilungstheorie

Mit diesem Satz bekommt man weitgehende Folgerungen über die Werteverteilung meromorphe Funktionen.
Zunächst ergibt sich mit k=3 unmittelbar die Folgerung aus dem großen Satz von Picard: weil die rechte Seite mit r gegen Unendlich geht, muß für drei beliebige Werte a_i die Summe – und mithin mindestens einer der drei Summanden – mit r gegen Unendlich gehen. Es werden also bis auf zwei alle Werte unendlich oft angenommen.
Als erste neue Anwendungen bewies Nevanlinna einige Eindeutigkeitssätze, beispielsweise dass für meromorphe Funktionen f,g die Gleichheit f=g folgt, sobald zu 5 Punkten a₁,…,a₅ die Lösungsmengen von f(z)=a_j und g(z)=a_j jeweils übereinstimmen.

Die Nevanlinna-Theorie erwies sich später als wesentliches Hilfsmittel bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen im Komplexen. Nevanlinnas erste Anwendung war zunächst 1929 auf die Differentialgleichung f‘‘+P(z)f=0 mit einem Polynom P. Yosida bewies 1934 mit Hilfe der Hauptsätze, dass die Gleichung (f‘)ⁿ=R(z,f(z)) für ein Polynom R – falls sie nicht eine hyperriccatische Gleichung ist – eine eindeutige Lösung hat, die eine rationale Funktion ist. Wittich entwickelte dann ab 1942 systematisch die Anwendungen der Nevanlinna-Theorie auf die Lösungen komplexer Differentialgleichungen.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rolf-Nevanlinna-1958.jpg