Beim quadratischen Reziprozitätsgesetz geht es um die Lösbarkeit der Gleichung x2=p mod q. Für seine Formulierung verwendet man das Legendre-Symbol \left(\frac{p}{q}\right) , welches 1 sein soll, wenn x2=p mod q eine Lösung hat, und -1 sonst. Dann besagt das Reziprozitätsgesetz \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} für ungerade Primzahlen p,q.

In ideal- und körpertheoretischer Sprache übersetzt sich x2=p mod q in die Gleichung (x-\sqrt{p})(x+\sqrt{p})=(q) für Hauptideale in der Körpererweiterung Q(√p). Das quadratische Reziprozitätsgesetz sagt also etwas über die Zerlegbarkeit von Primidealen in quadratischen Erweiterungen von Q. Das Ziel der Klassenkörpertheorie ist es, allgemeiner für abelsche Körpererweiterungen L/K einerseits Zerlegungsgesetze in L für die Hauptideale in K zu finden, andererseits (damit verwoben) ein allgemeines Reziprozitätsgesetz zu erhalten.

Das Legendre-Symbol hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass q\to \left(\frac{q}{p}\right) der einzige nichttriviale Homomorphismus ({\bf Z}/p{\bf Z})^*\to \left\{\pm 1\right\} ist. Damit ist das quadratische Reziprozitätsgesetz äquivalent zu der Behauptung, dass mit p^*=(-1)^{(p-1)/2}p die Abbildung q\to \left(\frac{p^*}{q}\right) ein Homomorphismus sein soll.
In körpertheoretischer Sprache ist nun \left\{\pm 1\right\} gerade die Galois-Gruppe von {\bf Q}(\sqrt{p^*})/{\bf Q}, wobei -1 dem Konjugationshomomorphismus a+b√p*—>a-b√p* entspricht. Weiter läßt sich (Z/pZ)* als eine gewisse Gruppe von Idealklassen interpretieren, der Homomorphismus ist also eine Abbildung einer gewissen Idealklassengruppe in eine Galois-Gruppe.

Das Reziprozitätsgesetz hat noch eine andere (auf Euler zurückgehende) Fassung, die sich besser verallgemeinern läßt. Für eine quadratfreie ganze Zahl d, und für zwei Primzahlen p und q, die keine Teiler von 2d sind, gilt
p\equiv q\ mod\ 4d\Rightarrow \left(\frac{d}{p}\right)=\left(\frac{d}{q}\right)\\  p\equiv -q\ mod\ 4d\Rightarrow \left(\frac{d}{p}\right)=sign(d)\left(\frac{d}{q}\right)
Daraus folgt insbesondere, dass p\to \left(\frac{d}{p}\right) einen Homomorphismus ({\bf Z}/4d{\bf Z})^*\to \left\{\pm 1\right\} definiert.
Allgemeiner kann man nun für ein monisches Polynom f mit ganzzahligen Koeffizienten und Diskriminante Δ(f)≠0 die Körpererweiterung {\bf Q}(\alpha)/{\bf Q} für eine Nullstelle α von f betrachten. Dann gibt es einen Homomorphismus ({\bf Z}/(\Delta(f){\bf Z})^*\to Gal({\bf Q}(\alpha)/{\bf Q}). Dieser Homomorphismus ist Ende des 19. Jahrhunderts von Frobenius konstruiert worden. Seine Grundidee ist, dass in Körpern der Charakteristik p die p-te Potenzabbildung ein Körperhomomorphismus ist: neben der offensichtlichen Beziehung (xy)p=xpyp gilt in Körpern der Charakteristik p auch (x+y)p=xp+yp. Dies trifft insbesondere auf Fp(α) zu und Frobenius bewies, dass es einen Automorphismus Frobp von Q(α)/Q gibt, der modulo p mit dieser p-ten Potenz übereinstimmt, präzise: \alpha^p={\bf Frob_p}(\alpha)+p(q_0+q_1\alpha+\ldots+q_{n-1}\alpha^{n-1}) für rationale qi, deren Nenner nicht durch p teilbar ist.
Darauf aufbauend kann man für eine Erweiterung L/K von Zahlkörpern zu jedem Primideal p in OK einen Körperautomorphismus definieren, indem man für ein über p liegendes Ideal q die Quotientenkörper {\bf F_q}=O_L/q, {\bf F_p}=O_K/p betrachtet. Die Galois-Gruppe Gal(Fq/Fp) wird von der Abbildung x\to x^{N(p)} erzeugt. (Die Norm N(p) des Ideals p ist definiert als N(p)=#Fp.) Gal(Fq/Fp) ist isomorph zu einer Untergruppe von Gal(L/K) und das entsprechende Element von Gal(L/K) bezeichnet man als Frobp. (Im allgemeinen ist es wegen der Wahl von q nur definiert bis auf Konjugation, bei abelschen Erweiterungen entfällt diese Mehrdeutigkeit.)

Aufbauend auf dem allgemein definierten Körperautomorphismus Frobp gab Artin die allgemeine Definition der L-Reihe einer Darstellung ρ von Gal(L/K). Der Darstellung ρ ordnet er die als Produkt L(s,ρ)=Π (1-ρ(Frobp)N(p)-s)-1 über alle unverzweigten Primideale p definierte L-Reihe zu. Für diese L-Reihe hat man Konvergenz für Re(s)>1 und meromorphe Fortsetzbarkeit. Er beweist eine Funktionalgleichung. Weiter bekommt er eine Produktdarstellung ζL(s)=ζK(s)Π L(s,ρ), wobei sich das Produkt über alle nicht-trivialen irreduziblen Darstellungen ρ von Gal(L/K) erstreckt. Offen bleibt die Vermutung, dass man für irreduzible Darstellungen eine ganze Funktion erhält.

Artin hatte diese Definition einer L-Reihe für (nicht notwendig abelsche) Galois-Erweiterungen schon Anfang der 20er Jahre erwogen. Für abelsche Erweiterungen sollte sie mit Heckes L-Reihe von Größencharakteren übereinstimmen in dem Sinne, dass es zu jeder Darstellung ρ:Gal(L/K)—>GL(1,C) einen Hecke-Charakter χ mit ρ(Frobp)=χ(p) für alle unverzweigten Primideale p geben solle. Daraus würde man die Gleichung L(s,ρ)=L(s,χ) bekommen.
Damit es zu jeder Darstellung einen solchen Hecke-Charakter gibt, muß die Zuordnung p—>Frobp einen Isomorphismus einer gewissen Gruppe von Idealklassen auf Gal(L/K) geben. Nun hatte Takagi in seiner Arbeit zur Klassenkörpertheorie tatsächlich die Isomorphie zwischen der besagten Gruppe von Idealklassen und der Galois-Gruppe Gal(L/K) bewiesen. Er hatte aber keinen expliziten Isomorphismus gefunden und so war es offen, ob die Abbildung p—>Frobp tatsächlich jener Isomorphismus ist. Artin konnte jedenfalls zeigen, dass dieser Isomorphismus alle bekannten Reziprozitätsgesetzes implizieren würde, weshalb er ihn das allgemeine Reziprozitätsgesetz nannte und zu beweisen versuchte. Andere Zahlentheoretiker hielten die Vermutung für zu optimistisch.

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