Beim quadratischen Reziprozitätsgesetz geht es um die Lösbarkeit der Gleichung x2=p mod q. Für seine Formulierung verwendet man das Legendre-Symbol \left(\frac{p}{q}\right) , welches 1 sein soll, wenn x2=p mod q eine Lösung hat, und -1 sonst. Dann besagt das Reziprozitätsgesetz \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} für ungerade Primzahlen p,q.

In ideal- und körpertheoretischer Sprache übersetzt sich x2=p mod q in die Gleichung (x-\sqrt{p})(x+\sqrt{p})=(q) für Hauptideale in der Körpererweiterung Q(√p). Das quadratische Reziprozitätsgesetz sagt also etwas über die Zerlegbarkeit von Primidealen in quadratischen Erweiterungen von Q. Das Ziel der Klassenkörpertheorie ist es, allgemeiner für abelsche Körpererweiterungen L/K einerseits Zerlegungsgesetze in L für die Hauptideale in K zu finden, andererseits (damit verwoben) ein allgemeines Reziprozitätsgesetz zu erhalten.

Das Legendre-Symbol hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass q\to \left(\frac{q}{p}\right) der einzige nichttriviale Homomorphismus ({\bf Z}/p{\bf Z})^*\to \left\{\pm 1\right\} ist. Damit ist das quadratische Reziprozitätsgesetz äquivalent zu der Behauptung, dass mit p^*=(-1)^{(p-1)/2}p die Abbildung q\to \left(\frac{p^*}{q}\right) ein Homomorphismus sein soll.
In körpertheoretischer Sprache ist nun \left\{\pm 1\right\} gerade die Galois-Gruppe von {\bf Q}(\sqrt{p^*})/{\bf Q}, wobei -1 dem Konjugationshomomorphismus a+b√p*—>a-b√p* entspricht. Weiter läßt sich (Z/pZ)* als eine gewisse Gruppe von Idealklassen interpretieren, der Homomorphismus ist also eine Abbildung einer gewissen Idealklassengruppe in eine Galois-Gruppe.

Das Reziprozitätsgesetz hat noch eine andere (auf Euler zurückgehende) Fassung, die sich besser verallgemeinern läßt. Für eine quadratfreie ganze Zahl d, und für zwei Primzahlen p und q, die keine Teiler von 2d sind, gilt
p\equiv q\ mod\ 4d\Rightarrow \left(\frac{d}{p}\right)=\left(\frac{d}{q}\right)\\  p\equiv -q\ mod\ 4d\Rightarrow \left(\frac{d}{p}\right)=sign(d)\left(\frac{d}{q}\right)
Daraus folgt insbesondere, dass p\to \left(\frac{d}{p}\right) einen Homomorphismus ({\bf Z}/4d{\bf Z})^*\to \left\{\pm 1\right\} definiert.
Allgemeiner kann man nun für ein monisches Polynom f mit ganzzahligen Koeffizienten und Diskriminante Δ(f)≠0 die Körpererweiterung {\bf Q}(\alpha)/{\bf Q} für eine Nullstelle α von f betrachten. Dann gibt es einen Homomorphismus ({\bf Z}/(\Delta(f){\bf Z})^*\to Gal({\bf Q}(\alpha)/{\bf Q}). Dieser Homomorphismus ist Ende des 19. Jahrhunderts von Frobenius konstruiert worden. Seine Grundidee ist, dass in Körpern der Charakteristik p die p-te Potenzabbildung ein Körperhomomorphismus ist: neben der offensichtlichen Beziehung (xy)p=xpyp gilt in Körpern der Charakteristik p auch (x+y)p=xp+yp. Dies trifft insbesondere auf Fp(α) zu und Frobenius bewies, dass es einen Automorphismus Frobp von Q(α)/Q gibt, der modulo p mit dieser p-ten Potenz übereinstimmt, präzise: \alpha^p={\bf Frob_p}(\alpha)+p(q_0+q_1\alpha+\ldots+q_{n-1}\alpha^{n-1}) für rationale qi, deren Nenner nicht durch p teilbar ist.
Darauf aufbauend kann man für eine Erweiterung L/K von Zahlkörpern zu jedem Primideal p in OK einen Körperautomorphismus definieren, indem man für ein über p liegendes Ideal q die Quotientenkörper {\bf F_q}=O_L/q, {\bf F_p}=O_K/p betrachtet. Die Galois-Gruppe Gal(Fq/Fp) wird von der Abbildung x\to x^{N(p)} erzeugt. (Die Norm N(p) des Ideals p ist definiert als N(p)=#Fp.) Gal(Fq/Fp) ist isomorph zu einer Untergruppe von Gal(L/K) und das entsprechende Element von Gal(L/K) bezeichnet man als Frobp. (Im allgemeinen ist es wegen der Wahl von q nur definiert bis auf Konjugation, bei abelschen Erweiterungen entfällt diese Mehrdeutigkeit.)

Aufbauend auf dem allgemein definierten Körperautomorphismus Frobp gab Artin die allgemeine Definition der L-Reihe einer Darstellung ρ von Gal(L/K). Der Darstellung ρ ordnet er die als Produkt L(s,ρ)=Π (1-ρ(Frobp)N(p)-s)-1 über alle unverzweigten Primideale p definierte L-Reihe zu. Für diese L-Reihe hat man Konvergenz für Re(s)>1 und meromorphe Fortsetzbarkeit. Er beweist eine Funktionalgleichung. Weiter bekommt er eine Produktdarstellung ζL(s)=ζK(s)Π L(s,ρ), wobei sich das Produkt über alle nicht-trivialen irreduziblen Darstellungen ρ von Gal(L/K) erstreckt. Offen bleibt die Vermutung, dass man für irreduzible Darstellungen eine ganze Funktion erhält.

Artin hatte diese Definition einer L-Reihe für (nicht notwendig abelsche) Galois-Erweiterungen schon Anfang der 20er Jahre erwogen. Für abelsche Erweiterungen sollte sie mit Heckes L-Reihe von Größencharakteren übereinstimmen in dem Sinne, dass es zu jeder Darstellung ρ:Gal(L/K)—>GL(1,C) einen Hecke-Charakter χ mit ρ(Frobp)=χ(p) für alle unverzweigten Primideale p geben solle. Daraus würde man die Gleichung L(s,ρ)=L(s,χ) bekommen.
Damit es zu jeder Darstellung einen solchen Hecke-Charakter gibt, muß die Zuordnung p—>Frobp einen Isomorphismus einer gewissen Gruppe von Idealklassen auf Gal(L/K) geben. Nun hatte Takagi in seiner Arbeit zur Klassenkörpertheorie tatsächlich die Isomorphie zwischen der besagten Gruppe von Idealklassen und der Galois-Gruppe Gal(L/K) bewiesen. Er hatte aber keinen expliziten Isomorphismus gefunden und so war es offen, ob die Abbildung p—>Frobp tatsächlich jener Isomorphismus ist. Artin konnte jedenfalls zeigen, dass dieser Isomorphismus alle bekannten Reziprozitätsgesetzes implizieren würde, weshalb er ihn das allgemeine Reziprozitätsgesetz nannte und zu beweisen versuchte. Andere Zahlentheoretiker hielten die Vermutung für zu optimistisch.

In der Klassenkörpertheorie geht es um die Klassifikation der abelschen Erweiterungen eines Zahlkörpers. Klassisches Vorbild ist der Satz von Kronecker-Weber, demzufolge die maximale abelsche Erweiterung von Q durch Adjunktion aller Einheitswurzeln entsteht. Hilbert bewies, dass die unverzweigten abelschen Erweiterungen eines Zahlkörpers den Untergruppen der Idealklassengruppe entsprechen. (Eine Körpererweiterung L/K heißt unverzweigt, wenn jedes Primideal aus K in der Erweiterung L in ein Produkt paarweise verschiedener Primideale zerfällt.) Er vermutete zu jedem Zahlkörper K die Existenz eines “Klassenkörpers” L, dessen Galois-Gruppe die enge Idealklassengruppe von K sein sollte, und der alle unverzweigten abelschen Erweiterungen von K enthält. Das wurde 1907 von Furtwängler bewiesen.

Takagi brachte 1920 die Klassenkörpertheorie zu einem Abschluß, indem er alle (verzweigten oder unverzweigten) abelschen Erweiterungen von Zahlkörpern K klassifizierte. (Eigentlich hatte er dies schon während des Krieges bearbeitet, erst 1920 wurde die Arbeit im Westen bekannt.) Für ein Ideal p in OK und (eventuell mehrere oder keine) Einbettungen von K in R bezeichnete er mit I die Gruppe der zu p teilerfremden gebrochenen Ideale und mit P die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale (a/b), für die a,b teilerfremd zu p, a=b mod p und zusätzlich v(a/b)>0 für die Einbettungen in R gilt. (Die Gruppe I/P wird als Strahlklassengruppe bezeichnet, für p=(1) erhält man die Idealklassengruppe.) Jeder zwischen P und I liegenden Untergruppe H konnte er dann eine abelsche Erweiterung zuordnen und er bewies, dass jede abelsche Erweiterung auf diese Weise entsteht. (Für p=(1) und keine Einbettung erhält man Furtwänglers Resultat.)

Für die P zugeordnete Erweiterung L/K erhielt Takagi I/P=Gal(L/K), allerdings ohne einen expliziten Isomorphismus angeben zu können. Sein Beweis benutzte die 1917 von Hecke definierten L-Reihen L(s,\chi)=\Sigma_{{\mathfrak a}\in J^{\mathfrak m}}\frac{\chi({\mathfrak a})}{N({\mathfrak a})^s}, wobei J^{\mathfrak m} zu einem fest gewählten Ideal {\mathfrak m} die Gruppe der zu {\mathfrak m} teilerfremden gebrochenen Ideale bezeichnet und χ ein Charakter auf {\mathfrak m} ist. Für den Hauptcharakter \chi_0\equiv 1 ist der Grenzwert \lim_{s\to 1}(s-1)L(s,\chi_0)=ch für eine Konstante c und die Anzahl der Charaktere h. Diese Eigenschaft war wesentlich für Takagis Beweis gewesen.

Für Spezialfälle war Takagis Isomorphismus bekannt und konnte explizit angegeben werden. Klassisches Beispiel ist Qm), die Erweiterung der rationalen Zahlen durch m-te Einheitswurzeln. Hier ist (Z/mZ)*, die Gruppe der m-ten Einheitswurzeln, isomorph zur Galois-Gruppe Gal(Qm)/Q). Durch diesen Isomorphismus wird eine zu m teilerfremde Zahl p auf Frobp abgebildet, den Körperautomorphismus, der “Potenzieren mit p” entspricht, also eine Einheitswurzel ζ auf ζp abbildet. Ein Charakter χ: (Z/mZ)*—->S1 kann also auch als 1-dimensionale Darstellung χ:Gal(Qm)/Q)—>GL(1,C) aufgefaßt werden und die L-Reihe dieses Charakters läßt sich schreiben als L(s,χ)=Π (1-χ(Frobp)p-s)-1. Das war das klassische Vorbild für Artins Konstruktion.

Artin gelang letztlich 1927 der Beweis seines Reziprozitätsgesetzes. Der Beweis beruhte zu einem großen Teil auf der Untersuchung der analytischen Invarianten wie Zeta-Funktionen oder L-Funktionen von algebraischen Zahlkörpern und er wurde erst durch den kurz zuvor bewiesenen Tschebotarjowschen Dichtigkeitssatz möglich. (Tschebotarjows 1922 gefundener Satz war eigentlich schon 1923 auf Russisch erschienen. Aber erst nachdem er 1925 an der DMV-Tagung in Danzig teilnahm und dann eine deutsche Übersetzung seiner Arbeit in Mathematische Annalen veröffentlichte, wurde der Satz auch im Westen bekannt.) Der Satz besagt, dass für eine Galois-Erweiterung L/K und eine Konjugationsklasse C in G=Gal(L/K) die Menge der unverzweigten Primideale p mit {\bf Frob_p}\in C die Dichte #C/#G in der Menge aller Primideale hat. (Für abelsche Erweiterungen gibt das also die Dichte 1/#G.) Das war von Frobenius vermutet worden, im Fall der Kreisteilungskörper als Erweiterung von Q erhält man daraus den Satz von Dirichlet über die Dichte von Primzahlen in arithmetischen Folgen. Eine wichtige Konsequenz des Satzes von Tschebotarjow ist, dass Galois-Erweiterungen eindeutig bestimmt sind durch die in ihnen spaltenden Primideale.

Tschebotarjow soll 1927 ebenfalls schon an einer Anwendung seines Satzes auf den Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes gearbeitet haben, wobei ihm Artin aber zuvor kam. Nachdem die von Hilbert aufgestellten Vermutungen über abelsche Körpererweiterungen schon von Furtwängler und Takagi bewiesen worden waren, wurde Artins Reziprozitätsgesetz nun als Dach angesehen, welches das Gebäude endgültig vollendet. André Weil drückte es später so aus: Sie müssen mir glauben, dass es eine gerade Linie von der quadratischen Reziprozität zu Artins Reziprozitätsgesetz gibt. Die Erfinder der quadratischen Reziprozität würden diese Verbindungslinie nicht sofort sehen. In den Händen eines großen Künstlers (so Weil über Artin) seien zwei Themen so verschmolzen, dass nur eine sorgfältige Analyse sie separieren könne.

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