Theorema Magnum MCMXXXI: der Ergodensatz

Eine überzeugende Anwendung des Ergodensatzes ist Borels Satz über normale Zahlen. Auf X=[0,1] betrachte man die Transformation . Sei f die Funktion auf [0,1], welche 1 ist, wenn die erste Nachkommastelle eine 1 ist, und 0 sonst. Dann konvergiert gegen die relative Häufigkeit der 1 in den Nachkommastelle von x₀. Nach dem Ergodensatz ist dieser Grenzwert aber gerade das Maß der Menge aller Zahlen mit erster Nachkommastelle 1, also 1/10. Das beweist, dass die Ziffern der Nachkommastellen gleichverteilt sind.

Eberhard Hopf, damals als Stipendiat der Rockefeller-Stiftung bei Birkhoff in Harvard (und dort über mathematische und auch astrophysikalische Fragen arbeitend) bewies eine Verschärfung des Ergodensatzes mit einer flexibleren Beweismethode. Seine Arbeit „On the time average theorem in dynamics“ wurde von vielen als das erste verständliche Werk in moderner Ergodentheorie angesehen. Er arbeitete auch an einem Buch zur Ergodentheorie, das aber erst fünf Jahre später fertig wurde. Ergodizität wurde auch in der reinen Mathematik ein wichtiges Hilfsmittel, beispielsweise zur Untersuchung von Flüssen auf geometrisch definierter Flächen. Für hyperbolische Flächen bewies Hedlund die Ergodizität des Horozykelflusses und Hopf später die Ergodizität des geodätischen Flusses.

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