In der additiven Zahlentheorie will man zu einer Menge natürlicher Zahlen A und einer festen Anzahl s herausfinden, welche natürlichen Zahlen n sich als Summe von s Elementen aus A zerlegen lassen.
Klassisches Beispiel ist die Goldbach-Vermutung: jede gerade Zahl n≠2 soll Summe zweier Primzahlen sein. Hier ist s=2 und A={\mathcal P} die Menge der Primzahlen. (Aus der Goldbach-Vermutung würde dann die ternäre Goldbach-Vermutung folgen, dass jede ungerade Zahl als Summe dreier Primzahlen zerlegt werden kann. Letzteres Problem wurde noch 1912 von Edmund Landau in seinem ICM–Vortrag als „unangreifbar“ bezeichnet.)
Ein weiteres Beispiel ist die Waringsche Vermutung: jede natürliche Zahl n kann als Summe von vier Quadratzahlen, neun Kubikzahlen, neunzehn Biquadraten, … zerlegt werden. (Hilbert hat 1909 bewiesen, dass eine solche endliche Zerlegungszahl für jeden Exponenten existiert, allerdings diese Anzahl s nicht explizit bestimmt.)

Ganz allgemein hat man für diese Art von Problemen einen analytischen Ansatz über Potenzreihen. Für gegebene s und A bezeichne r(n;s,A) die Anzahl der Möglichkeiten, n als eine Summe von s Elementen aus A zu zerlegen. Wenn wir die „erzeugende Funktion“ F_A(x)=\Sigma_{a\in A}x^a betrachten und ihre s–te Potenz bilden, dann ist der Koeffizient von xn in dieser Reihe gerade die Anzahl von Möglichkeiten, s in n Summanden aus A zerlegen. Also: F_A(x)^s=\Sigma_n r(n;s,A)x^n .

Die Koeffizienten einer Potenzreihe kann man mit Hilfe des Residuensatzes berechnen: in der komplexen Ebene gilt für eine auf dem Einheitskreis konvergente Potenzreihe \Sigma_n a_nz^n stets a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{S^1}f(z)z^{-(n+1)}dz. So erhält man, wenn man Konvergenzfragen einmal ignoriert, die Formel r(n;s,A)=\frac{1}{2\pi i}\int_{S^1}F_A(z)^s z^{-(n+1)}dz.

Im allgemeinen ist nicht klar, ob der Konvergenzradius von FA groß genug ist, um diese Formel anwenden zu können. Dieses Problem läßt sich vermeiden, wenn man (zu einer natürlichen Zahl N) die endliche Teilmenge von AN von A betrachtet, die nur die Elemente ≤ N aus A enthält. Für die entsprechende Anzahl rN und die erzeugende Funktion der Menge AN betrachtet hat man dann jedenfalls eine korrekte Formel r_N(n;s,A)=\frac{1}{2\pi i}\int_{S^1}F_{A_N}(z)^s z^{-(n+1)}dz.

Damit kann man rN für jedes N berechnen. Für n≤N ist rN(n;s,A)=r(n;s,A). Im Prinzip kann man also alle r(n;s,A) auf diese Weise berechnen. Das Problem dabei ist aber die Auswertung des Integrals über dem Einheitskreis. Für diese gibt es den Ansatz über die von Hardy und Littlewood entwickelte Kreismethode. Man zerlegt das Intervall in Bögen mit großen und kleinen Beiträgen zum Integral. Auf den „major arcs“ findet man eine Funktion, die bis auf Terme kleinerer Ordnung mit F_{A_N}^s übereinstimmt und sich einfach integrieren läßt. Für die „minor arcs“ zeigt man, dass ihr Beitrag von kleinerer Ordnung ist.

Die ternäre Goldbach-Vermutung – die Frage, ob jede ungerade Zahl als Summe dreier Primzahlen zerlegt werden kann – entspricht eigentlich dem Fall s=3 und A={\mathcal P}. Man wählt hier aber einen etwas anderen Ansatz. Man definiert die Mangoldt-Funktion durch Λ(pk)=log(p) für Potenzen einer Primzahl p und Λ(x)=0 sonst, und betrachtet dann die Summe r(n)=\Sigma_{a+b+c=n}\Lambda(a)\Lambda(b)\Lambda(c). Wenn r(n)≠0 ist, dann gibt es jedenfalls eine Zerlegung von n als Summe dreier Primzahlpotenzen. Man kann zeigen, dass die Primzahlpotenzen weniger zur Summe beitragen als die Primzahlen selbst, weshalb geeignete Abschätzungen für r(n) ausreichen, um die Zerlegbarkeit als Summe dreier Primzahlen zu beweisen.
Wenn man jetzt für ein n≤N die Exponentialsumme S(\alpha) \Sigma_{k\le N}\Lambda(n)e^{2\pi ki\alpha} ansetzt, dann bekommt man, dass die Fourier-Koeffizienten von S(α)3 gerade r(n) geben: r(n)=\int_{S^1}S(\alpha)^3e^{-2\pi ni\alpha}d\alpha . Man will also wieder eine zahlentheoretisch definierte Funktion über den Kreis integrieren.

Iwan Winogradow war seit 1934 Direktor des damals noch in Leningrad befindlichen Steklow-Instituts. Er war eine führende Persönlichkeit der analytischen Zahlentheorie, bekannt vor allem für eine Methode zur Auswertung trigonometrischer Summen der Form f(\alpha,N)=\Sigma_{p\le N}a_pe^{2\pi i\alpha p} für eine irrationale Zahl α, wobei sich die Summe über alle Primzahlen p unter einer Schranke N erstreckt.

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Kommentare (1)

  1. #1 volki
    31. Juli 2020

    “Erst 2014 schaffte es Helfgott mit verbesserten Methoden die Schranke auf 10^27 zu verbessern, so dass die verbleibenden Fälle mit dem Computer abgearbeitet werden konnten.”

    Dazu sollte man erwähnen, dass diese verbesserten Methoden 2 preprints umfassen mit über 250 Seiten Beweis und das abarbeiten mit Computer nocheinmal ein eigenes preprint war, mit über 30 Seiten und weit davon entfernt ist, eine einfache Computerverifikation zu sein. Um 10^27 Fälle zu testen, muss man sich doch einiges überlegen.

    Was auch noch interessant ist: Bis ist jetzt keines der Preprints in einem Journal erschienen. Laut Helfgotts Homepage, wird jedoch ein Buch in den Ann. of Math. Studies. erscheinen, das den Beweis enthält (derzeit umfasst das Buch ca. 580 Seiten).