Ich dachte ja erst, daß Yersin vielleicht irgendeine spezielle Beziehung zu dem Hotel hätte. Das ist aber nicht der Fall.

Yersin, der in diesem Ort vor gut 100 Jahren ein heute noch existierendes Pasteur-Institut begründet hat, ist in der Stadt allgegenwärtig, es gibt ein Yersin-Museum, eine zentrale Yersin-Straße und sogar einen ganzen Yersin-Park mit einem Yersin-Denkmal:



Außerdem gibt es Yersin-Schulen, in Da Lat eine private Yersin-Universität, und das Grab (außerhalb der Stadt) hat eine eigene Pagode. Welcher andere Wissenschaftler hat Vergleichbares vorzuweisen?

Nur mal zum Größenvergleich: der Park um das Ho-Ch-Minh-Denkmal in Ho-Chi-Minh-Stadt:

Goldbach hatte 1742 eigentlich nicht diese, sondern eine schwächere Vermutung aufgestellt, nämlich dass sich jede ungerade Zahl n größer 5 als Summe dreier Primzahlen darstellen lasse. Diese Vermutung würde aus der anderen folgen, weil man erst die gerade Zahl n-3 als Summe zweier Primzahlen zerlegen und dann 3 als dritte Primzahl addieren könnte.

Während die erste (stärkere) Vermutung nach wie vor weit offen ist, war die schwächere Variante schon 1937 von Winogradow immerhin für alle n>10^6800000 bewiesen worden. Der Beweis wurde später noch verfeinert, so dass man einen Beweis für alle n>10¹³⁴⁶ bekam. Diese Zahl ist aber immer noch viel zu groß als dass man einfach für die verbleibenden kleineren Zahlen die Richtigkeit von Hand (mit Computer) überprüfen könnte.

Am Montag hat der in Paris arbeitende peruanische Mathematiker Harald Helfgott eine 133 Seiten lange Arbeit auf das ArXiv gestellt, in der die schwächere Variante der Goldbachvermutung für alle n>10³⁰ bewiesen wird. Der Beweis benutzt die Hardy-Winogradow-Littlewood-Kreismethode. Weil man für alle kleineren Zahlen die Goldbachvermutung schon mit Computerhilfe verifiziert hatte, beweist das dann die schwache Version der Goldbachvermutung.

Es gibt noch ein anderes Problem über Primzahlen, das diese Woche einige Aufmerksamkeit fand. Es geht um die Frage nach der Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge, d.h. Paaren von Primzahlen mit Differenz 2. Dieses Problem ist zwar weiter offen, Yitang Zhang hat aber in einer bei “Annals of Mathematics” eingereichten Arbeit bewiesen, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen mit Differenz kleiner 70000000 gibt. Der Beweis benutzt eine Verbesserung der Bombieri-Winogradow-Ungleichung. Nature berichtet auf ihrer Webseite.

Nha Trang wird als “Nizza des Ostens” bezeichnet, offensichtlich wegen der Strandpromenade.

Etwas abseits des Strandes sieht man natürlich schon, dass man nicht in Nizza ist:

Der Vergleich mit Nizza paßt in vielerlei Hinsicht, nicht nur wegen der Strandpromenade oder der Palmen, sondern zum Beispiel auch:
- neben der Landessprache wird inzwischen mehr Russisch als Englisch gesprochen (wobei es in Nizza nach meiner Erinnerung noch keinen Gorkipark gibt)
- abends wird auf der Strandstraße richtig aufgedreht – hier allerdings nicht mit Maseratis (wie in Nizza) sondern mit Unmengen von Mopeds.

Unterschiede gibt es aber auch: in Nizza gibt es keine Moped-Taxis und Fahrrad-Rikschas (letztere auch hier inzwischen selten, erstere stehen an jeder Straßenkreuzung).
Und natürlich gibt es in Nizza auch keine Cham-Tempel:

Der Leser (Vincent) hatte seinen e-Mail-Wechsel eigentlich letzte Woche als Kommentar unter einem meiner früheren Artikel eingestellt. Ich hatte den Kommentar nicht freigeschaltet und werde das auch nicht tun, zum einen weil ich keine Lust habe, verklagt zu werden, zum anderen weil ich die Echtheit der e-Mails nicht überprüfen kann. Deshalb hier nur (mit Vincent’s Genehmigung) der um Namen, Adressen und sonstige Hinweise auf den Adressaten bereinigte, sonst aber originale e-Mail-Wechsel:

Sent: 03/24/13 10:26 AM
To: Vincent Popper
Subject: Aw: Re: Re: doktorpromotion

Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW
Inh.: Sxxx Pxxx
Exxx 34
8xxx Lxxx
Telefon: 0xxx
Mobil: 0xxx
info@ixxx.de
wxxx@gmx.de
Vertretungsberechtigt:
Sxxx Pxxx
Dr. Mxxx Hxxx
Dr. Lxxx Hxxx

Sehr geehrter Herr Popper,

in Beantwortung Ihrer Mail vom 21.03.2013 teilen wir Ihnen wie folgt mit:

1) Die Kosten für die erfolgreiche Vermittlung eines Doktorvaters (Promotionsberatung und Promotionsservice) betragen 14.000 €.

2 Eine persönliche Besprechung ist selbstverständlich möglich. Ein Treffen in Berlin lässt sich indes nicht arrangieren; wir schlagen unsererseits München vor.

Mit freundlichem Gruß

Sxxx Pxxx Dr. Mxxx Hxxx Dr. Lxxx Hxxx für
Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW

Gesendet: Montag, 25. März 2013 um 09:51 Uhr
Von: “Vincent Popper”
An: wxxx@gmx.de
Betreff: Re: Aw: Re: Re: doktorpromotion
Mein lieber Dr. Lxxx Hxxx,

Vielen Dank für das Angebot. wird der Preis auch den Entwurf der Dissertation?
kann ich in Raten zahlen? wie lange wird die Promotion Programm im vergangenen
(darunter, wie lange wird es dauern, um eine doctorvater finden?)

Vincent

Sent: 03/26/13 10:08 AM
To: Vincent Popper
Subject: Aw: Re: Re: doktorpromotion

Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW
Inh.: Sxxx Pxxx
Exxx 34
8xxx Lxxx
Telefon: 0xxx
Mobil: 0xxx
info@ixxx.de
wxxx@gmx.de
Vertretungsberechtigt:
Sxxx Pxxx
Dr. Mxxx Hxxx
Dr. Lxxx Hxxx

Sehr geehrter Herr Popper,

gern beantworten wir Ihnen Ihre Fragen wie folgt:

Der Preis bezieht sich auf die Vermittlung eines Doktorvaters.

Gerne können wir Sie auch bei der Dissertation selbst – natürlich im rechtlich zulässigen Rahmen –, beispielsweise durch einen entsprechenden Entwurf, unterstützen.

Falls dies erwünscht sein sollte, müsste man den Umfang unserer Tätigkeit gemeinsam festlegen; danach bemisst sich dann das Entgelt.

Mit freundlichem Gruß

Sxxx Pxxx Dr. Mxxx Hxxx Dr. Lxxx Hxxx für
Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW

Gesendet: Mittwoch, 27. März 2013 um 11:59 Uhr
Von: “Vincent Popper”
An: wxxx@gmx.de
Betreff: Re: Aw: Re: Re: Re: doktorpromotion
Hallo, Dr. Herr. Hxxx,

Ich habe keine Zeit für Dissertation, können wir mieten ghoastwriter? Ich arbeite viel und es ist nicht leicht, eine Dissertation in dieser Angelegenheit zu beenden.

Vincent

Sent: 03/27/13 02:38 PM
To: Vincent Popper
Subject: Aw: Re: Re: doktorpromotion

Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW
Inh.: Sxxx Pxxx
Exxx 34
8xxx Lxxx
Telefon: 0xxx
Mobil: 0xxx
info@ixxx.de
wxxx@gmx.de
Vertretungsberechtigt:
Sxxx Pxxx
Dr. Mxxx Hxxx
Dr. Lxxx Hxxx

Sehr geehrter Herr Popper,

zunächst brauchen Sie einen Doktorvater, der Ihnen ein Thema vorgibt, das lege artis zu bearbeiten ist.

Inhaltlich können wir Sie im rechtlich zulässigen Rahmen unterstützen; darüber können wir uns gerne unterhalten, wenn Sie unsere Vermittlungsleistung bzgl. des Doktorvaters in Anspruch nehmen.

Mit freundlichem Gruß

Sxxx Pxxx Dr. Mxxx Hxxx Dr. Lxxx Hxxx für
Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW

Gesendet: Samstag, 30. März 2013 um 18:49 Uhr
Von: “Vincent Popper”
An: wxxx@gmx.de
Betreff: Re: Aw: Re: Re: Re: Re: doktorpromotion
Hallo, Dr. Hxxx,

Ich wissen das in Deutschland, um eine doktorvater ist eine Sache, aber die von der Universität angenommen zu werden ist eine andere. Können Sie garantieren, die Aufnahmen von der Universität?

To: Vincent Popper
Subject: Aw: Re: Re: doktorpromotion

Ixxx für Fxxx und Wxxx IFW
Inh.: Sxxx Pxxx
Exxx 34
8xxx Lxxx
Telefon: 0xxx
Mobil: 0xxx
info@ixxx.de
wxxx@gmx.de
Vertretungsberechtigt:
Sxxx Pxxx
Dr. Mxxx Hxxx
Dr. Lxxx Hxxx

Sehr geehrter Herr Popper,

wenn Sie konkretes Interesse an einer Vermittlung haben, teilen Sie uns bitte Ihre entsprechenden Daten mit (Name, Adresse, Telefonnummer, derzeitige berufliche Tätigkeit). Wir arbeiten und vermitteln absolut seriös; dies ist mit anonymen Kunden nicht möglich.

Mit freundlichem Gruß

Sxxx Pxxx Dr. Mxxx Hxxx Dr. Lxxx Hxxx für
Institut für Fxxx und Wxxx IFW

Nachdem wir nun über 269 Folgen den Nutzen der Geometrisierung am Beispiel der Flächen erörtert haben, fehlt jetzt zum Abschluß der Reihe natürlich noch die Vorstellung der eigentlichen Beweisidee – wieder am Beispiel der Flächen.

Während die von Perelman bewiesene 3-dimensionale Geometrisierungsvermutung ja eine etwas kompliziertere Formulierung hat (jede 3-Mannigfaltigkeit kann in Stücke zerlegt werden, die lokal-homogene Metriken tragen), ist die Formulierung für Flächen recht klar: jede Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung.

Ein im Nachhinein sicher recht plausibler Beweisansatz dafür: man starte mit irgendeiner Metrik und lasse die Fläche dann mittels einer geschickt gewählten Differentialgleichung so fließen, dass sie in eine Metrik konstanter Krümmung fließt.

Das Video zeigt die Entwicklung von Kurven unter der Gleichung , wobei der nach außen zeigende Normalenvektor und die Krümmung der Kurve in s ist. Die Kurve konvergiert letztlich gegen eine Kurve konstanter Krümmung.

Der Fluß im Video benutzt die Krümmung der in der Ebene eingebetteten Kurven, auf ähnliche Weise kann man einen Fluß für im Raum eingebettete Flächen definieren.
Nun gibt es natürlich nach dem Satz von Hilbert außer der Sphäre keine Flächen konstanter Krümmung im 3-dimensionalen Raum. Insofern ist es von vornherein hoffnungslos, Flächen im Raum so fließen lassen zu wollen, daß ihre Krümmung konstant wird.

Was man stattdessen machen kann: man läßt nicht die Fläche, sondern die Metrik fließen, d.h. betrachtet einen Fluß auf dem Raum aller Riemannschen Metriken (zu einer gegebenen Fläche oder Mannigfaltigkeit). Der dabei letztlich erfolgreiche Ansatz geht auf Hamilton zurück und heißt Ricci-Fluß, weil er die Ricci-Krümmung benutzt: oder in normalisierter Form , wobei n die Dimension und r der Mittelwert der Skalarkrümmung ist.

Der Unterschied zwischen normalisiertem und unnormalisiertem Fluß ist, daß beim unnormalisierten Fluß Flächen positiver Krümmung sich auf einen Punkt zusammenziehen, während Flächen negativer Krümmung sich immer weiter ausdehnen:

Beim normalisierten Fluß hingegen konvergiert der Fluß gegen eine Einstein-Metrik (d.h. eine Metrik konstanter Ricci-Krümmung), wenn er denn konvergiert.

Für Flächen ist die Ricci-Krümmung einfach 1/2 mal “die” Krümmung der Fläche K (die für Flächen im Raum gerade die Gauß-Krümmung ist). Den Mittelwert der Krümmung kann man mit Gauß-Bonnet berechnen er ist , hängt also nicht von der Metrik ab. Der normalisierte Ricci-Fluß hat dann die Form
.
Wenn der Fluß für t gegen Unendlich gegen eine Metrik konvergiert, dann muß für diese sein, also muß K in jedem Punkt gleich sein. Der Fluß konvergiert also, wenn er konvergiert, gegen eine Metrik konstanter Krümmung. Um zu beweisen, daß es eine Metrik konstanter Krümmung gibt, muß man also “nur” beweisen, daß der Fluß konvergiert.

Im Fall von Flächen funktioniert das letztlich auch. In höheren Dimensionen ist es aber komplizierter, wie die folgenden Bilder (aus John Lotts Laudatio zur Fieldsmedaille für Perelman) andeuten sollen:
im allgemeinen kann es passieren, daß die Krümmung in einem Teil der Mannigfaltigkeit gegen Unendlich geht, sich also während des Flusses Teile der Mannigfaltigkeit “abschnüren”,:

Man muß dann eine “Chirurgie” durchführen und die einzelnen Teile weiterfließen lassen:

Letztlich bekommt man im 3-dimensionalen Fall das gewünschte Bild, die Zerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in hyperbolische Stücke und Graphmannigfaltigkeiten:

Für Flächen ist aber alles einfacher: der Ricci-Fluß fließt unendliche lange Zeit – ohne daß die Krümmung an einzelnen Stellen gegen Unendlich geht – und er konvergiert letztlich, natürlich gegen eine Metrik konstanter Krümmung. Das liefert also noch einmal einen Beweis des Uniformisierungssatzes und zeigt, daß es auf jeder Fläche mit mindestens 2 Henkeln hyperbolische Metriken gibt. Was sich im Falle von Flächen natürlich auch einfacher beweisen ließ, siehe TvF 69. Aber der Ricci-Fluß-Beweis ist eben der Ansatz, der dann auch in Dimension 3 zum Beweis der Geometrisierungsvermutung führte, deren Anwendungen für Flächen das Thema dieser Reihe waren.

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” [...] the solution of Fermat’s 300-year-old problem, is the quintessential post-modern theorem. The basic qualities of what is known as post-modern art and architecture are their conscious combination of idioms from every era in the past. And, indeed, Wiles’ proof combines ideas from almost every branch of classical mathematics – number theory proper, algebraic geometry, Lie group theory and analysis; and its roots go back to Kronecker’s famous vision, his `Jugendtraum’, in the 19th century.”

Ähnliches kann man sicher auch über den geometrischen (vor allem hyperbolischen) Zugang zur Topologie der Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten sagen: er erlaubt es, Ideen (Philosophien, Stile) aus fast jedem Teil der Mathematik in mit der Topologie in Beziehung zu bringen.

Wir hatten diese Reihe ja mal begonnen, um die von Perelman bewiesene (3-dimensionale) Geometrisierungsvermutung am einfacheren Beispiel der (2-dimensionalen) Flächen zu diskutieren. Für diese hat man die seit mehr als 100 Jahren bekannte Klassifikation
- geschlossene, orientierbare Flächen werden eindeutig durch die Anzahl ihrer Henkel klassifiziert; zu jeder ganzen Zahl gibt es eine geschlossene, orientierbare Fläche mit g Henkeln.

Den schwierigeren Teil des Beweises der Flächen-Klassifikation – dass es nur diese Flächen gibt, beweist man mit Triangulierungen, eleganter mit Morsetheorie oder wenn das zu einfach ist auch mit Riemann-Roch, den einfacheren Teil – dass die Flächen alle nicht homöomorph zueinander sind, mit geeigneten Invarianten, etwa Fundamentalgruppe (TvF 31) oder Euler-Charakteristik (TvF 6) oder hyperbolischem Volumen (TvF 70), wobei im Fall von Flächen letzteres bis auf einen Faktor dasselbe ist wie die Euler-Charakteristik.

In Dimension 3 hat man zwar mit dem Beweis der Poincaré-Vermutung die Klassifikation der einfach zusammenhängenden 3-Mannigfaltigkeiten, die allgemeine Klassifikation ist aber mit Geometrisierung erstmal nur auf ein anderes Problem zurückgeführt, nämlich die Klassifikation der hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten. Für dieses hat man immerhin berechenbare Invarianten, etwa das hyperbolische Volumen (anstelle der in Dimension 3 stets trivialen Euler-Charakteristik) oder die Fundamentalgruppe, für die im hyperbolischen Fall das Isomorphismusproblem algorithmisch lösbar ist.

Die eigentliche Anwendung der Hyperbolisierung war sicherlich, daß man hyperbolische Geometrie und damit auch viele andere Themen der klassischen Mathematik für die Topologie nutzbar machen kann.

Zusammenfassungen der in dieser Reihe behandelten Anwendungen hyperbolischer Geometrie gab es in TvF 89 und TvF 158, einige der wichtigsten sind vielleicht beim mathematischen Verständnis des Chaos (geodätische Flüsse auf hyperbolischen Flächen sind das einfachste Beispiel von Anosov-Flüssen), in der Zahlentheorie (Modulformen), in der Gruppentheorie, wo Dehns Arbeiten über Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen das Vorbild für Gromovs Theorie der hyperbolischen Gruppen lieferten, und natürlich Thurstons Arbeit zur Klassifikation der Diffeomorphismen von Flächen als Beispiel dafür, wie man die Geometrie der hyperbolischen Metriken (und den entsprechenden Modulraum) benutzen kann, um ein rein topologisches Problem (die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen bis auf Homotopie) zu verstehen.

Auch die in den letzten Wochen besprochene Euler-Klasse (von Bündeln) ist sicher noch mal ein Beispiel dafür, wie sich dasselbe mathematische Objekt unter vielen Blickwickeln betrachten läßt.

Schon für die Euler-Charakteristik hatte es ja viele verschiedene Interpretationsmöglichkeiten gegeben.
Für eine triangulierte Fläche konnte man sie definieren als E-K+F, mit E,K,F die Anzahlen der Ecken, Kanten, Flächen.

Für eine hyperbolische Fläche konnte man sie berechnen als , wobei Area den Flächeninhalt bezeichnet.
Oder allgemeiner für eine Fläche mit einer beliebigen Riemannschen Metrik konnte man sie berechnen als , wobei K die Gausssche Krümmung bezeichnet. (Beide Formeln folgen aus dem Satz von Gauss-Bonnet.)

==========>

Oder man nahm ein Vektorfeld auf der Fläche und berechnete die Summe der Indizes seiner Nullstellen – nach dem Satz von Hopf-Poincaré gab das die Euler-Charakteristik.

Und es gab den Satz von Hopf über die Dimensionen der Homologiegruppen:
.
Und schliesslich kann man natürlich noch sagen, dass die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren Fläche mit g Henkeln eben 2-2g ist.

Ähnlich hatten wir in den letzten Wochen zahlreiche unterschiedliche Zugänge zur allgemeineren Euler-Klasse von Bündeln über Flächen. (Die die Euler-Charakteristik verallgemeinert, denn letztere bekommt man mittels der Euler-Klasse des Tangentialbündels.)

Die bekommt man per Definition natürlich durch Zurückziehen einer Klasse mittels klassifizierender Abbildung des Bündels (TvF 257). Dann expliziter, indem man die Krümmungsform des Bündels in ein bestimmtes Polynom, die Pfaffsche Determinante einsetzt (TvF 261). Im Falle des Tangentialbündels gibt das gerade die rechte Seite des Gauß-Bonnet-Theorems, wie wir in TvF 263 gesehen hatten. Und dann kann man in Analogie zum Igelsatz die Nullstellen eines Schnittes über Simplizes zählen (TvF 264 und TvF 268) und im Falle flacher Bündel hat man verschiedene Definitionen innerhalb der Gruppenhomologie (TvF 265 und TvF 267) und die in der algebraischen Topologie eigentlich gebräuchliche Konstruktion mittels Thom-Raum und Thom-Klasse hatten wir noch nicht mal erwähnt.

Jedenfalls waren die verschiedenen Interpretationen von Euler-Charakteristik und Euler-Klasse sicher noch mal ein prägnantes Beispiel, wie man das selbe Objekt aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten und diese verschiedenen Blickwinkel dann natürlich auch für mathematische Beweise, Formeln, Abschätzungen … nutzbar machen kann. Und sie zeigten noch einmal den Nutzen der Geometrisierung von Flächen, um deren Nützlichkeit es in dieser Reihe ja gehen sollte und insofern waren diese verschiedenen Interpretationen der Euler-Klasse sicher ein passender Abschluß für eine Reihe über Anwendungen der Geometrisierung in der Topologie von Flächen.

Was in dieser Reihe noch fehlt, weil es für den Schluß aufgehoben werden sollte, sind ein paar Worte zum eigentlichen Beweis der Geometrisierungsvermutung, die natürlich auch ein 2-dimensionales Analog hat. Das dann noch (in gebotener Kürze) zum Abschluß in der kommenden Woche.

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Es geht (im Artikel und wohl auch im Roman) weniger um seine Arbeiten als darum, WIE er arbeitet und das recht interessant und anschaulich dargestellt:

Wie er arbeitet, “hhhnnnnn … wie schwer doch das Aufwachen ist. Mit großer Mühe stehe ich auf und setze mich aufs Bett. Hah? In meinem Kopf sagt eine Stimme: Der zweite Term muss auf die andere Seite gestellt werden, dann muss man die Fourier-Transformation nehmen und in L² invertieren. Geht nicht! [...]

Eine “Soziologie des mathematischen Betriebs”, eine “Parallelwelt, aus der er berichtet” mit “Abgründen des Unwahrscheinlichen, in die Menschen wie Villani täglich blicken.”

Georg hatte Villanis Buch, das der Aufhänger für den SPIEGEL-Artikel ist, ja hier schon mal besprochen oder jedenfalls erwähnt. Mir ist nach Lesen des Artikels noch nicht klar, ob es lohnt das Buch zu kaufen. (Meinungen dazu gerne in den Kommentaren.) Was er über die Arbeit eines Mathematikers schreibt, klingt zwar interessant und schön erzählt, aber schließlich kennt man das als “Betroffener” ja alles schon.

Im SPIEGEL-Artikel geht es ausdrücklich (wird im vorletzten Absatz nochmal betont) nicht darum, die Landau-Dämpfung oder die Konvergenzgeschwindigkeit der nichtlinearen Wlassow-Gleichung zu verstehen. Trotzdem würde mich schon mal interessieren, was die “inkompressible Euler-Gleichung in Dimension 2, die nicht gleich Null ist” bedeutet. Soll die Gleichung oder die Dimension 2 ungleich Null sein? Und was sagt uns der Schlußsatz “Alle Abschätzungen, die in der nichtlinearen Aussage erscheinen, sind konstruktiv.”? Ein Übersetzungsfehler oder eine tiefere Aussage?

Der Artikel ist leider (noch?) nicht online.
Über einen ZEIT-Artikel zu Villani hatten wir hier vor 3 Jahren mal geschrieben.

Der heutige 120. Geburtstag von Joan Miró wäre ja eigentlich mal ein Anlaß über die Dreiecke, Kreise und Kegel in Mirós Zeichnungen zu schreiben. Aus Zeitmangel gibt’s aber nur ein Video mit einer Besprechung einer Reihe von Bildern: