Wenn man für den Rand eines konvexen Körpers die Wechselsumme #Ecken-#Kanten+#Flächen berechnet erhält man immer 2 als Ergebnis. Zum Beispiel für den Würfel 8-12+6=2 oder für den Tetraeder 4-6+4=2. Wenn man dasselbe für den Rand eines 4-dimensionalen konvexen Körpers macht, wird man stets 0 als Ergebnis erhalten. Beispielsweise hat der oben abgebildete Hexadecachoron 8 Ecken,…

Dass Aprilscherze nicht immer subtil sein müssen, bewies Martin Gardner im April 1975: die Relativitätstheorie ist widerlegt, Leonardo da Vinci hat die Wasserspülung erfunden, im Schach gewinnt 1.h4 mit 100%iger Sicherheit, ist eine ganze Zahl und die unten abgebildete Karte kann nicht mit 4 Farben eingefärbt werden, behauptete er in seiner “Scientific American”-Kolumne. “Zu meinem…

Die Euler-Charakteristik von Flächen ließ sich auf vielerlei Weise berechnen, eine (aus der Verallgemeinerung des Igelsatzes hergeleitete) war über die Nullstellen von Vektorfeldern. Das war der Satz von Poincaré-Hopf (TvF 204): Für ein Vektorfeld mit endlich vielen Nullstellen auf einer Fläche ergibt sich als Summe der Nullstellen-Indizes gerade die Euler-Charakteristik der Fläche. Die Nullstellen-Indizes (TvF…

Die Euler-Charakteristik einer Fläche bekommt man, indem man die Fläche in Dreiecke zerlegt, Ecken, Kanten und Flächen zählt und E-K+f berechnet. In TvF 6, lang ist’s her, hatten wir gezeigt, daß man immer E-K+F=2-2g bekommt, wenn g die Anzahl der Henkel ist. Und in TvF 71 hatten wir die Gauß-Bonnet-Formel welche die Euler-Charakteristik als Integral…

Die Euler-Charakteristik war hier schon häufiger Thema, beim Igelsatz (TvF 201) wie auch bei Zerlegungen von Flächen (TvF 3) oder dem Gauß-Bonnet-Theorem (TvF 71). Der Igelsatz zeigt den Zusammenhang zwischen Euler-Charakteristik und Nullstellen von Vektorfeldern. Letztere haben offenkundig damit zu tun, wie getwistet das Tangentialbündel der Fläche ist. Die Twists im Tangentialbündel wiederum mißt man…

Letzte Woche hatten wir gesehen, dass die nicht-orientierbaren Flächen wie die projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche nicht in den 3-dimensionalen Raum eingebettet werden können, jedenfalls nicht ohne Selbstschnitte. Die nächste Frage ist dann, ob es wenigstens Abbildungen mit möglichst wenigen Selbstschnitten gibt. Der Fachausdruck für die – nach Einbettungen – nächst-allgemeinere Klasse von Abbildungen…

Fixpunkte und ihre Anzahl

Spezielle Vektorfelder und ein anderer Beweis von E-K+F=2-2g.

Vektorfelder und ihre Nullstellen.

Windstille Punkte auf gekämmten Kokosnüssen.