Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine geschlossene Kurve auf einer Brezelfläche die Fläche in zwei getrennte Komponenten zerlegt? (So wie im Bild oben die mittlere Kurve, während die anderen beiden Kurven die Fläche nicht zerlegen.) Maryam Mirzakhani, Fields-Medaillistin 2014, hatte diese Wahrscheinlichkeit seinerzeit als Nebenprodukt ihrer Berechnung des Volumens des Modulraums hyperbolischer Metriken mit…

Eine Arbeit von Altschuler und Philipps, veröffentlicht in Musical Times und populärwissenschaftlich aufbereitet in der Feature Column der AMS (Teil 1, Teil 2) interpretiert Musikwerke mittels der Topologie von Flächen. Für ein 2-dimensionales Koordinatensystem hat man die Zeit und die Tonhöhe – so ergibt jedes Musikstück einen Graphen in der 2-dimensionalen Ebene. Doch manchmal kommen…

Im Januar-Heft der Annals of Mathematics findet sich eine Arbeit eines hinduistischen Mönchs über den Beweis der Cannon-Thurston-Vermutung für Flächen: “Cannon-Thurston maps for surface groups”. Eine Methode zur Konstruktion von Fraktalen mit vielen Symmetrien sind Limesmengen Kleinscher Gruppen: man nimmt eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen Raumes, schaut sich den Orbit eines Punktes unter…

Anlaß dieser Reihe war ja ursprünglich mal der Beweis der Poincaré- und Thurston-Vermutung durch Perelman gewesen. Nachdem wir nun über 269 Folgen den Nutzen der Geometrisierung am Beispiel der Flächen erörtert haben, fehlt jetzt zum Abschluß der Reihe natürlich noch die Vorstellung der eigentlichen Beweisidee – wieder am Beispiel der Flächen. Während die von Perelman…

Als Eklektizismus “bezeichnet man Methoden, die sich verschiedener entwickelter und abgeschlossener Systeme (z. B. Stile, Philosophien) bedienen und deren Elemente neu zusammensetzen”. In der Kunst spricht man wohl eher von “Postmoderne”. David Mumford hatte in seiner Eröffnungsrede zum ICM 1998 in Berlin die heutige Mathematik (speziell Wiles’ Beweis des Fermat-Theorems) mit der Postmoderne in der…

Die Euler-Charakteristik von Flächen ließ sich auf vielerlei Weise berechnen, eine (aus der Verallgemeinerung des Igelsatzes hergeleitete) war über die Nullstellen von Vektorfeldern. Das war der Satz von Poincaré-Hopf (TvF 204): Für ein Vektorfeld mit endlich vielen Nullstellen auf einer Fläche ergibt sich als Summe der Nullstellen-Indizes gerade die Euler-Charakteristik der Fläche. Die Nullstellen-Indizes (TvF…

Aus der Schule kennt man natürlich Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum. Auch auf gekrümmmten Flächen kann man Vektoren parallelverschieben, anschaulich sieht das dann so aus: Definiert wird die Parallelverschiebung (entlang einer Kurve) über die folgende Bedingung: ein Vektorfeld ist parallel entlang einer Kurve, wenn seine Ableitung (nach den Tangentialvektoren der Kurve) 0 ist.…

Letzte Woche hatten wir gesehen, dass die nicht-orientierbaren Flächen wie die projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche nicht in den 3-dimensionalen Raum eingebettet werden können, jedenfalls nicht ohne Selbstschnitte. Die nächste Frage ist dann, ob es wenigstens Abbildungen mit möglichst wenigen Selbstschnitten gibt. Der Fachausdruck für die – nach Einbettungen – nächst-allgemeinere Klasse von Abbildungen…

Letzte Woche hatten wir beschrieben, welche im R3 eingebetteten Flächen minimale Energie haben. Eine Frage, die sich da natürlich stellt: kann man eigentlich jede topologische Fläche in den R3 einbetten? Die geschlossenen, orientierbaren Flächen lassen sich ja offensichtlich in den R3 einbetten: die unten abgebildeten ebenso wie alle Flächen, die man durch Ankleben weiterer Henkel…

Die Klassifikation der Flächen via Morse-Theorie.