Ende des 19. Jahrhunderts etablierte Poincaré die Topologie als „Methode, die uns die qualitativen Beziehungen in einem Raum zu erkennen erlaubt“. Er argumentierte, sie „könnte auf gewisse Weise Dienste leisten, die jenen der Zahlen analog wären“. Als topologische Invarianten definierte er die Fundamentalgruppe und die Zusammenhangszahlen und Torsionskoeffizienten (in heutigen Begriffen den Rang und die…
Eine (komplexe) ebene Kurve kann man auf zwei Arten beschreiben: implizit durch eine Gleichung F(x,y)=0 oder explizit als Bild einer parametrisierten Kurve c:C–>C2. Kegelschnitte und auch singuläre Kubiken lassen sich durch rationale Funktionen parametrisieren, nichtsinguläre Kubiken (elliptische Kurven) aber nicht: für ihre Parametrisierung benötigt man die unten abgebildete Weierstraßsche ℘-Funktion eines Gitters L. Die elliptische…
Anlaß dieser Reihe war ja ursprünglich mal der Beweis der Poincaré- und Thurston-Vermutung durch Perelman gewesen. Nachdem wir nun über 269 Folgen den Nutzen der Geometrisierung am Beispiel der Flächen erörtert haben, fehlt jetzt zum Abschluß der Reihe natürlich noch die Vorstellung der eigentlichen Beweisidee – wieder am Beispiel der Flächen. Während die von Perelman…
Als Eklektizismus “bezeichnet man Methoden, die sich verschiedener entwickelter und abgeschlossener Systeme (z. B. Stile, Philosophien) bedienen und deren Elemente neu zusammensetzen”. In der Kunst spricht man wohl eher von “Postmoderne”. David Mumford hatte in seiner Eröffnungsrede zum ICM 1998 in Berlin die heutige Mathematik (speziell Wiles’ Beweis des Fermat-Theorems) mit der Postmoderne in der…
Was machten wir hier noch mal? Topologie von Flächen, Anwendungen der hyperbolischen Geometrie und wie klassifiziert man Flächen.
In Rußland wird Perelman’s Verzicht auf das 1-Million-Dollar-Preisgeld des Clay-Instituts inzwischen zum Politikum.
Das Clay-Institut hatte im Jahr 2000 sieben Preise zu je 106 $ für die Lösung offener mathematischer Probleme ausgelobt.
Mal wieder Ordnung ins Ganze bringen.
Riemanns Abbildungssatz und Geometrisierung.
Wie kann man am besten kleinere Unebenheiten im Rasen ausgleichen? (Antwort hier)
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