Letzte Woche hat Florian sich Gedanken zur Flachen Erde und vor allem den Vertretern dieser doch etwas in die Jahre gekommenen Vorstellung, wir lebten nicht auf einer Kugel, sondern einer wie auch immer geformten flachen Scheibe gemacht. Es ist schon erstaunlich, dass auch in 2017 noch Menschen davon überzeugt sind. Es ist noch viel erstaunlicher, wie viel Zeit und Energie so mancher darauf verwendet. Die Flache Erde ist aber eigentlich nur was für Anfänger – da draußen gibt es noch interessantere Ideen: Die Erde ist nämlich nicht einfach nur flach, sie ist konkav! Ja, richtig gelesen – wir befinden uns nicht auf der Außen-, sondern der Innenseite einer Kugel. Wir leben in der Hohlen Erde.

Abb. 1 - Ein Beispiel für den Innenweltkosmos

Abb. 1 – Ein Beispiel für den Innenweltkosmos (Bild: CC BY 3.0)

Die Idee ist nicht ganz so alte wie die Flache Erde, aber es hat ja auch eine Weile gedauert, bis die Menschen überhaupt die grundsätzliche Form unserer Heimatwelt enträtselt hatten. Und sehr lange war ja gar nicht klar, was diese komischen Lichter am Himmel sind oder wie die Erde von oben wirklich aussieht. Für eine gewisse Zeit mag der Innenweltkosmos sogar nicht unplausibler gewesen sein, als die anderen Weltbilder. Genies haben für ihn argumentiert.

 

Richtig rechnen reicht nicht

Der vielleicht interessanteste Aspekt der Hohle-Welt-Lehre ist, dass im Gegensatz z.B. zur Flachen Erde mit den Beobachtungen konsistente mathematische Beschreibungen unserer Welt und was sich drin bewegt möglich sind. Gerade weil in der Innenweltkugel nur sprichwörtlich “die Seiten vertauscht” sind, von der aus wir das Weltall betrachten. Das ist doch mal interessant – und ein schönes Beispiel dafür, dass Naturwissenschaft eben mehr heißt, also Formeln suchen und Werte einsetzen. Dass sich das so rechnen lässt, als lebten wir in einer Innenwelt heißt nicht, dass die beiden Weltbilder nicht unterscheidbar wären – es verdeutlicht aber, dass Naturgesetze auf viele Arten ausgedrückt werden können.

Wenn man eine Hypothese anbietet, dann sollte man idealerweise nicht nur den richtigen mathematischen Formalismus anbieten, sondern auch einen Mechanismus, der die Beobachtungen erklärt. Den nennen wir dann üblicherweise Naturgesetz. Wenn man nichts weniger als die ganze Welt ganz anders als üblich erklären will, dann muss man nichts weniger als alle bekannten Naturgesetze ganz anders als üblich formulieren. Und an dieser Stelle hakt auch die mathematisch korrekte Version der Hohle-Welt-Lehre gewaltig.

Zum Beispiel müsste man annehmen, dass sich die Länge eines Stabes, der Senkrecht auf der Weltachse steht ändert, wenn er entlang der Weltachse bewegt wird, sich also sein Abstand zum Zentrum ändert. Das muss so sein, denn sonst wären z.B. die Existenz des Mondes und der Sonne, die ja schon von menschengemachten Sonden besucht wurden mit ihrer beobachteten Größe, in einer Kugel von gerade mal 6.370 km Radius nicht erklärbar. Allerdings wäre diese Längenänderung nur von einem Gott, der die Welt von außen, im Sinne Kants die Welt an sich sieht, feststellbar. Ein Innenweltler würde davon nichts merken, weil ja auch alle seine Maßstäbe und Messgeräte der Änderung unterworfen sind.

Dito die Lichtgeschwindigkeit: Ein Licht- oder Funksignal, das in Richtung Zentrum geschickt wird, muss in Bezug auf den Beobachter auf der Erde seine Geschwindigkeit anpassen, denn sonst hätte es die Kugel in rund 40 ms durchquert. Das ist nicht das, was wir beobachten.

Diese Beispiele sollen den interessanten Fall verdeutlichen, dass man wunderbar rechnen kann, ohne zu physikalisch sinnvollen, d.h. überprüfbaren Ergebnissen zu kommen. Und ohne erklären zu müssen, was eigentlich die Ursache der Beobachtung ist. Wenn man die Behauptung aufstellt, dass Strecken oder die Lichtgeschwindigkeit sich in Abhängigkeit vom Abstand zum Zentrum ändern, dann muss man das mit sehr guten Argumenten untermauern. Vor über Hundert Jahren hat schon mal jemand etwas ähnlich exotisches behauptet, nämlich, die Vakuumlichtgeschwindigkeit sei in allen Bezugssystemen gleich. Er hatte zu seiner Zeit (und seine Nachfolger haben heute immer noch) immer wieder Probleme, diese Behauptung zu verteidigen. Aber er konnte es eben und wurde durch Beobachtungen unterstützt. Deswegen hat er sich auch durchgesetzt. Die Innenweltler sind davon noch weit entfernt. Sie haben keinen Einstein in ihren Reihen.

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Kommentare (30)

  1. #1 DH
    25. April 2017

    Kreativ sind sie ja schon, die V-Theoretiker, ohne sie würde was fehlen.
    Die Innenwelt-These ist auch psychologisch interessant, weil sie ganz bildlich die Motivation entlarvt, aus Prinzip das Gegenteil zu dem zu sagen, was akzeptiertes Wissen ist. Ob die da wirklich dran glauben, würde ich bezweifeln.
    Würde die Wissenschaft ihre These übernehmen, wären die Innen-Theoretiker die ersten, die dann eine Kugel-These vertreten würden, also die heutigen Fakten.

    Spannend ist auch, daß der Ursprung der Theorie in der zweiten Hälfte des 20.Jhds war, sowas wie dem goldenen Zeitalter der Esoterik.

  2. #2 Joseph Kuhn
    25. April 2017
  3. #3 RPGNo1
    25. April 2017

    Bei Hohler Erde fällt mir immer folgende literarische Aufarbeitung ein: http://www.perrypedia.proc.org/wiki/Horror

  4. #4 tomtoo
    25. April 2017

    Was sagt da eigentlich die Mathe zu ?

    So eine Welt von der alles von aussen nach innen gestülpt ist ?

  5. #5 Frank Wappler
    26. April 2017

    Oliver Gabath schrieb (25. April 2017):
    > […] behauptet, nämlich, die Vakuumlichtgeschwindigkeit sei in allen [inertialen] Bezugssystemen gleich.
    > […] wurde durch Beobachtungen unterstützt.

    Die Konstanz (und Endlichkeit) der Vakuumlichtgeschwindigkeit (Signalfrontgeschwindigkeit) ist keineswegs eine Behauptung, die durch Beobachtungen gestützt oder erschüttert werden könnte;

    sondern ein Theorem, das aus den folgenden Gegebenheiten herzuleiten ist:

    – der (von Einstein 1905 angedeuteten) chronometrischen Definition von “Distanz (zweier gegenüber einander ruhender Beteiligter \hbox{A} und \hbox{B} voneinander)” als
    \hbox{Distanz}[ \, \hbox{A}, \hbox{B} \, ] := \frac{\hbox{c}}{2} \, \hbox{Pingdauer As bzgl. B},
    wobei \hbox{c} ein formales, Dimensions-behaftetes, von Null verschiedenes Symbol darstellt,

    – der allgemeinen Definition von “(Durchschnitts-)Geschwindigkeit (der Bewegung eines Beteiligten bzw. eines Signalaustausches zwischen zwei gegenüber einander ruhenden Enden; dem \hbox{Start A} und dem \hbox{Ziel B})” als
    \frac{\hbox{Distanz}[ \, \hbox{A}, \hbox{B} \, ]}{\hbox{ Dauer As von As Startanzeige bis zu As Anzeige gleichzeitig zu Bs Zielankunftsanzeige}},
    womit insbesondere der (Mess-)Wert der Signalfrontgeschwindigkeit zwangsläufig stets als \hbox{c} erhalten wird,

    – und natürlich den zugrundegelegten, auf Signalfront-Beobachtungen beruhenden Definitionen von “gegenseitiger Ruhe bzw. gemeinsamer Mitgliedschaft im selben Inertialsystem (von geeigneten Beteiligten, wie z.B. den beiden Enden \hbox{A} und \hbox{B}) und von “Gleichzeitigkeit, bzw. ansonsten Ungleichzeitigkeit (von Anzeigen gegenüber einander ruhender Beteiligter), wie in Einsteins gedanken-experimentellen Beschreibungen skizziert.

    > Hohle-Welt-Lehre […] Ein Licht- oder Funksignal, das in Richtung Zentrum geschickt wird, muss in Bezug auf den Beobachter auf der [“Oberfläche” der] Erde seine Geschwindigkeit anpassen, denn sonst hätte es die Kugel in rund 40 ms durchquert.

    Damit zwangsläufig für einen Begriff von “Geschwindigkeit“, der nicht dem oben beschriebenen, auf der chronometrischen bzw. relativistischen Distanzdefinition beruhenden Geschwindigkeitsbegriff entspricht, sondern notwendiger Weise einem anderen;
    welcher andererseits aber im Rahmen der sogenannten “Hohle-Welt-Lehre” (offenbar noch) gar nicht ausdrücklich und nachvollziehbar definiert wurde.

  6. #6 Ingo
    26. April 2017

    Die Hohlwelttheorie bietet
    – keine Vorhersage von beobachtbaren Fakten
    und
    – ist das komplizierteste Modell von allen
    und ist daher ein schlechtes Modell.

    Interesannt finde ich sie aber aus einem anderen Blickwinkel betrachtet.
    Naemlich der Fragestellung “Was ist ein Modell”.
    Angenommen die Hohlweltanhaenger “biegen” sich die Naturgesetze so lange zurecht, bis alle beobachtbaren Fakten in das Holweltmodell hineinpassen:
    – Lichtgeschwindigkeit ist langsamer je naeher das Licht am Zentrum ist
    – Laengen/Groessen von Objekten aendern sind je nach naehe des Standpunkt zum Mittelpunkt
    – Licht kruemmt sich entlang des “Horizontes”
    und so weiter und so weiter.
    Nehmen wir also an, dass das Modell soweit angepasst ist, dass es wiederspruchsfrei ist. (Nur ein Gedankenexperiment).
    Das Modell ist jetzt wahnsinnig kompliziert aber stimmig.

    Fragestellung: Ist das Modell dann (neben den normalen Modellen von einer runden Erde) gleichberechtigt richtig, oder nicht?
    Das einzige unterscheidungskriterium ist eigentlich nur, dass das eine Modell kompliziert ist, und das andere einfach.
    Mit einem Modell kann man einfach rechnen, mit dem anderen wahnsinnig kompliziert (weil sich Groessen/Laengen/Lichtgeschwindigkeit immer aendern muessen usw).
    Trotzdem fuehren beide zu richtigen Ergebnisse (im Gedankenmodell), und bilden das ab, was man tatsaechlich beobachtet.

    Sind dann beide Modelle richtig?

    Sind es letztendlich nur verschiedene Arten Zusammenhaenge zu visualisieren?
    Also letztendlich nur verschiedene Koordinatensysteme? (von denen eines allerdings sehr umstaendlich ist)

  7. #7 Robert aus Wien
    26. April 2017

    Die Hohlwelttheorie bietet
    – keine Vorhersage von beobachtbaren Fakten

    Doch: die Schuhspitzen sind nach oben gebogen. Würden wir auf der Oberfläche einer Kugel leben, müßten sie nach unten gebogen sein.
    :-)

  8. #8 Frank Wappler
    27. April 2017

    Ingo schrieb (#6, 26. April 2017):
    > […] in das Hohlweltmodell hineinpassen:
    > – Lichtgeschwindigkeit ist langsamer je naeher das Licht am Zentrum ist

    Bezüglich welcher Definition der Messgrößen “Geschwindigkeit” und “Nähe (zum Zentrum)” ??

    > – Laengen/Groessen von Objekten aendern sind je nach naehe des Standpunkt zum Mittelpunkt

    Bezüglich welcher Definition der Messgröße “Länge/Größe” ??

    > – Licht kruemmt sich entlang des “Horizontes”

    Bezüglich welcher Definition der Messgröße “Krümmung” ??

    > und so weiter und so weiter. […]
    > Ist das Modell dann (neben den normalen Modellen von einer runden Erde) gleichberechtigt richtig, oder nicht?

    Ein Modell, das (reelle) Werte zusammenfasst bzw. projeziert, ohne dabei entsprechende bestimmte nachvollziehbare (theoretische, gedanken-experimentelle) Definitionen zugrundezulegen, wie diese werte als Messwerte aus gegebenen Beobachtungsdaten ermittelt wurden oder noch werden sollen,

    ist im Sinne einer Beschreibung der (physikalischen) Wirklichkeit nicht nur nicht richtig,
    sondern noch nicht einmal falsch, also eine rein mathematische Fiktion.

    Es wäre nicht falsifizierbar, also nicht wissenschaftlich.

    (Das auf den üblichen, nachvollziehbaren, relativistisch definierten Messgrößen beruhende Modell dagegen, dass die Erdoberfläche einer geschlossenen Kugelobfläche ähnelt, zu deren (gegenseitig konvexem) Inneren bedeutende Bestandteile wie z.B. der Spitzen des Mt. Everest, des Chimborazo, oder des Burj Khalifa alle ausdrücklich gehören würden,
    ist messbar falsch.)

    > alle beobachtbaren Fakten

    Fakten, im Sinne von Messwerten, sind nicht an sich beobachtbar;
    sondern werden aus (geeigneten) gegebenen Beobachtungsdaten erst durch Anwendung einer nachvollziehbar definierten, jeweils ausgewählten Messoperation ermittelt.

    Formal ist das bekanntlich als Eigenwertgleichung auszudrücken:

    \hat A \psi_a = a \psi_a.

    (Wobei ich hoffe, dass \LaTeX-Darstellung auch in diesem ScienceBlog recht bald ermöglicht wird, wie schon in zumindest einigen anderen).

  9. #9 UMa
    27. April 2017

    Was ich nie verstanden habe:
    Wieso muss es unbedingt die Erde, sein, die bei der Innenwelt außen ist?

    Geht nicht auch irgend ein anderer Körper?

    Vielleicht der Mond? Dann würde sich der Kosmos, auch die Erde, im Inneren des Mondes befinden.
    Oder Pluto? Der Kosmos befindet sich im inneren Plutos!
    Oder irgendein kugelrundes Staubkorn in einer anderen Galaxie?
    Oder ein spezieller Tischtennisball? Nennen wir ihn “Außen”. Nur welcher ist es dann?

  10. #10 tomtoo
    27. April 2017

    @UMa

    Das war unlogisch. Weil der Rest ist ja innen.

  11. #11 Laie
    27. April 2017

    Die Hohl-Erde-Theorie ist bis jetzt die schönste unter den unsinnigsten.

  12. #12 UMa
    28. April 2017

    @tomtoo: Unlogisch ist es nicht, vielleicht bloß unverstanden.
    Im Falle der Erde als Innenwelt, ist die Erde außen und der Rest innen, z.B. auch Pluto.
    Im Falle des Plutos als Innenwelt, ist Pluto außen und der Rest innen, auch die Erde.

  13. #13 tomtoo
    28. April 2017

    @UMa

    Wenn doch *all*es andere innen ist.Gibts halt nur ein Aussen, da wo wir leben. Im Prinzip ein geozentrisches Weltbild. Nur halt von aussen nach innen gestülpt. Oder hab ichs immer noch nicht verstanden ?

  14. #14 Ingo
    28. April 2017

    @Frank Wappler #8
    > Es wäre nicht falsifizierbar, also nicht wissenschaftlich.

    Das fasst es sehr schoen zusammen.

    Trotzdem die grundsaetzliche Frage nochmal:
    “Handelt es sich bei der Hohlwelt-Theorie nicht einfach nur um ein “sehr merkwuerdig gewaehltes Koordinatensystem?””

    Auch im Modell der Hohlwelt wurde ein Astronaut in grosser Hoehe die Erde als (scheinbare) Kugel wahrnehmen.
    Das beweisst natuerlich nicht die Richtigkeit des Hohlweltmodells.

    Der Einwand, dass man genausogut den Mond/Pluto/Staubkorn als Zentrum definieren kann, und sich die Erde demanch im Inneren des Mondes/Pluto/Staubkorn befindet ist natuerlich genau so gueltig.
    Man kann sich eben sehr viele unsinne Koordinatensysteme ausdenken.

    Koordinatensysteme an sich schaffen natuerlich keine Faktenvorhersagen, und sind ebenso wenig falsifizierbar.

  15. #15 Karl-Heinz
    30. April 2017

    @tomtoo

    Was sagt da eigentlich die Mathe zu ? So eine Welt von der alles von aussen nach innen gestülpt ist ?

    Alles im grünen Bereich.
    Ich fange mit der Methode ,so immer Löwen :-)

    Man stelle einen zylindrischen Käfig in die Wüste:
    Fall 1: Der Löwe ist innerhalb des Käfigs. Dieser Fall ist trivial.
    Fall 2: Der Löwe ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und führe eine Inversion an den Käfigwänden durch. So gelangt der Löwe in den Käfig und man selbst nach draußen. Man achte darauf, dass man sich nicht in die Mitte des Käfigs stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet.

  16. #16 tomtoo
    30. April 2017

    @Karl Heinz

    War mir ja wieder klar das Löwen fangen für Mathematiker ne Übung noch vor dem Frühstück ist. ; )

  17. […] Quo Vadis (ScienceBlogs): Die Welt ist flach? Sie ist sogar konkav! […]

  18. #18 Frank Wappler
    5. Mai 2017

    Ingo schrieb (#14, 28. April 2017):
    > dass man genausogut den Mond/Pluto/Staubkorn als Zentrum definieren kann, und sich die Erde demnach im Inneren des Mondes/Pluto/Staubkorn befindet […]

    Wenn es schlicht um Identifizierbarkeit und Zugehörigkeit ginge, also zu unterscheiden, welche identifizierbaren Bestandteile jeweils (nur) zur “Erde“, zum “Pluto“, zum “Mond” bzw. zu (einem bestimmten, einzeln identifizerten) “Staubkorn” gehören, und welche nicht,
    dann bestünde keine Notwendigkeit (bei Drohung mit Ockhams Klinge),
    dafür zusätzliche Begriffe einzusetzen, wie z.B. “Inneres”, oder “Äußeres”.

    Aber es geht dabei um mehr; nämlich um geometrische Beziehungen (zwischen identifizierbaren, unterscheidbaren Bestandteilen bzw. “Punkten”); insbesondere deren (paarweise) Zwischenbeziehungen:

    – für je zwei gegebene “Enden” soll entscheidbar sein, welche Punkte “dazwischen gelegen” sind, und welche nicht.

    Damit ist auch die Vorstellung verbunden (bzw. im Rahmen einer Definition gefordert),

    – dass die betreffenden beiden Enden voneinander verschieden sind, und dass eventuelle Punkte zwischen diesen beiden Enden wiederum verschieden von jedem dieser Enden sein sollen (d.h. die Behandlung degenerierter Fälle); und (darauf aufbauend)

    – dass sich eine eindeutige “lineare Anordnung (bzw. Reihenfolge)” ergibt; d.h.

    – falls B zwischen A und C liegt, dann soll weder außerdem A zwischen B und C liegen, noch außerdem C zwischen A und B, und

    – falls sowohl F zwischen P und Q liegt, als auch F zwischen P und Q,
    dann soll außerdem
    entweder sowohl F zwischen P und G liegen, als auch G zwischen F und Q,
    oder ansonsten sowohl G zwischen P und F liegen, als auch F zwischen G und Q.

    Die Gesamtheit aller Punkte zwischen zwei (verschiedenen) bestimmten Enden wäre (der Kürze halber) auch
    “das (linienartige) Innere zwischen” diesen beiden Enden zu nennen;
    die Gesamtheit eventueller anderer Punkte dagegen “das Äußere”.

    Davon ausgehend lässt sich bei Betrachtung von drei gegebenen “Ecken” nun definieren bzw. konstruieren, dass ein Punkt “in deren (flächenartigem) Inneren liegt”,
    falls dieser zwischen einer Ecke und einem Punkt (des (linienartigen) Inneren) zwischen den beiden verbleibenden Ecken liegt.

    Wiederum sind degenerierte Fälle zu behandeln bzw. von vornherein in der Definition auszuschließen:
    die betreffenden drei Ecken sollen voneinander verschieden sein, und nicht eine Ecke (im linienartigen Inneren) zwischen den verbleibenden beiden anderen Ecken liegen.

    Und wiederum sind Forderungen hinsichtlich Eindeutigkeit und Reihenfolge (im geeigneten, hier “flächenartigen” Sinne) zu bedenken.

    Entsprechend lässt sich weiter definieren bzw. konstruieren:
    Ein Punkt “liegt im (körperlichen) Inneren” von vier geeignet gegebenen Ecken (eines Tetraeders),
    falls dieser zwischen einer Ecke und einem Punkt des flächenartigen Inneren der drei verbleibenden Ecken liegt.

    Bei Betrachtung von Punktmengen mit mehr als vier Elementen (z.B. einer “ganz normalen, hohlen Kugelfläche im Raum”), ließen sich nun all deren Teilmengen von jeweils vier Elementen daraufhin untersuchen, ob und welche (weiteren) Punkte im jeweiligen “körperlichen Inneren” lagen.

    Die wesentliche Frage, die bei abstrakt-mathematischen Betrachtungen wie oben ausdrücklich unbeantwortet gelassen wird, ist und bleibt daher:

    Wie soll denn überhaupt entschieden werden, ob ein bestimmter Punkt “zwischen” zwei gegebenen anderen liegt, oder nicht ??

    Und sofern diese Bestimmung auf Messung von Distanzen (bzw. zumindest: von Distanz-Verhältnissen) zurückgeführt werden soll, so dass (z.B., naheliegender Weise) B genau dann “zwischen A und C gelegen” heißen soll, falls
    \frac{AB}{AC} + \frac{BC}{AC} = 1,
    dann um so nachdrücklicher:

    Wie sollen denn überhaupt Werte von Distanz-Verhältnissen von (geeigneten) Punkten untereinander gemessen werden ??.

    Konventionell, nachvollziehbar, aus gutem Grund natürlich:
    entsprechend der chrono-geometrischen Distanz-Definition

    \hbox{Distanz } AB := \frac{c}{2} \, \hbox{ Pingdauer von } A \hbox{bzgl. } B,

    vorausgesetzt dass A und B gegenüber einander ruhend waren und blieben;
    wie insbesondere in der Definition der SI-Einheit “Meter” angedeutet.

    (Die deshalb ebenso nachdrücklich zu stellenden Fragen: “Wie sind denn überhaupt Dauer-Verhältnisse zu ermitteln??” und “Wie ist zu ermitteln, ob gegebene Beteiligte gegenüber einander ruhten??” seien hier nicht weiter verfolgt …)

    > “Handelt es sich bei der Hohlwelt-Theorie nicht einfach nur um ein “sehr merkwuerdig gewaehltes Koordinatensystem?””

    Es handelt sich wohl um eine besondere, offensichtlich nicht auf (chrono-geometrischen) Messungen von Distanz-Verhältnissen basierende, sondern eher willkürliche Meinung und Vorgabe, was “zwischen” bestimmten identifizierbaren, hinreichend weit voneinander entfernten Bestandteilen der Erdoberfläche läge;
    nämlich nicht (wie chrono-geometrisch feststellbar) “Erde/Erdgestein/Erdmagma”,
    sondern “Luft” bzw. “Weltall” bzw. “alles andere außer Erde”.

    Mir kommt das wie eine Trotzreaktion darauf vor, dass die chrono-geometrischen Distanz-Definition erst so spät (Synge 1960?) als solche erkannt und (insbesondere zur Definition der o.g. Zwischenbeziehungen) herangezogen wurde …

    Mit Koordinaten hat all das aber so gut wie gar nichts zu tun:
    die Messmethodik zur Ermittlung von Distanz-Verhältnissen, oder die damit für konkrete Beteiligte ermittelten Messwerte, hängen doch nicht davon ab, ob und wie die betreffenden Beteiligten mit Koordinaten-Zahlentupeln bestreußelt wurden.

  19. #19 Karl-Heinz
    7. Mai 2017

    @Frank Wappler
    Kennst die zufällig auch die Möbiustransformation?

  20. #20 Frank Wappler
    http://cayley.menger.determinant
    8. Mai 2017

    Karl-Heinz schrieb (#19, 7. Mai 2017):
    > Kennst d[u] zufällig auch die Möbiustransformation?

    Beiläufig schon.
    Und was dazu alles schon bekannt ist, lässt sich ja im Zweifelsfall auch nachschlagen;
    nicht zuletzt in Hinsicht auf [[Analytische Geometrie]] und [[Kugelspiegelung]].

    Karl-Heinz:
    Kennst du den Unterschied zwischen einem [[Geradenstück]] und einen [[Kreisbogen]],
    wie sie z.B. dort genannt und sogar grafisch-künstlerisch interpretiert sind
    ?

  21. #21 karl-Heinz
    8. Mai 2017

    @Frank Wappler

    Kennst du den Unterschied zwischen einem [[Geradenstück]] und einen [[Kreisbogen]],
    wie sie z.B. dort genannt und sogar grafisch-künstlerisch interpretiert sind?

    Ja …
    Komplexe Ebne (Realteil x-Achse, Imaginärteil y-Achse)
    Abbildungsfunktion z -> 1/z … Stürzung (Inversion)
    Für eine Inversion am Kreis müsste man eigentlich die Abbildungsfunktion z -> 1/z* nehmen.
    Der Ausdruck z* ist das konjugiert Komplexe von z (Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils von z).

    Ich beziehe mich aber auf die Abbildungsfunktion z -> 1/z.
    Die waagrechten Geraden entstehen dadurch, dass man den Imaginärteil konstant setzt.
    Im(z)=0 violett _______
    Im(z)= 1 rot _______
    Im(z)= 2 rot — — — —
    Im(z)= -1 blau .-.-.-.-.-.
    Im(z)= -2 blau .–.–.–.–.
    Die senkrechten Geraden entstehen dadurch, dass man den Realteil konstant setzt.
    Re(z)=0 grün ____________
    Re(z)= 1 grün — — — — —
    Re(z)= 2 grün – – – – – – – –
    Re(z)= -1 gelb ————-
    Re(z)= -2 gelb ……………..

    Die Geraden Im(z)=0 und Re(z)=0 werden auf sich selbst abgebildet und gehen durch den Ursprung (0/0i).
    Die waagrechten Geraden Im(Z)= 1 und Im(Z)= 2 werden als Kreise nach unten abgebildet und gehen durch den Ursprung (0/0i).
    Die waagrechten Geraden Im(Z)=-1 und Im(Z)= -2 werden als Kreise nach oben abgebildet und gehen durch den Ursprung (0/0i).
    Die senkrechten Geraden Re(z)= 1 und Re(z)= 2 werden als Kreise nach rechts abgebildet und gehen durch den Ursprung (0/0i).
    Die senkrechten Geraden Re(z)= -1 und Re(z)= -2 werden als Kreise nach links abgebildet und gehen durch den Ursprung (0/0i).

    Da alle Geraden durch den “unendlich fernen Punkt” verlaufen, gehen alle diese Kreise durch den Koordinatenursprung. Umgekehrt werden alle Kreise, die den Ursprung enthalten, auf eine Gerade transformiert – alle anderen Kreise werden wieder auf Kreise transformiert.

  22. #22 Karl-Heinz
    8. Mai 2017

    Mit der Innenweltkosmos kann ich persönlich nichts anfangen. Wie schon in den vorangegangenen Beiträgen angesprochen, verkomplizieren sich viele Berechnungen und es ist nicht gerade vernünftig anzunehmen, dass die Erde eine Sonderstellung einnehmen soll.

    Andererseits verwende ich Abbildungen um Berechnungen zu vereinfachen oder bestimmte Dinge in der Abbildungsebene einfach grafisch zu lösen. Ein beliebtes Beispiel ist das Smith-Diagramm. Seine Abbildungsfunktion ist r(z) =(z-1)/(z+1). Bei dieser Abbildung wird die rechte Halbimpedanzebene auf das Innere des Einheitskreises in der Reflexionsfaktorebene abgebildet. Jedenfall verwende ich das Smith-Diagramm um Bauelemente für die Antennenanpassung zu berechnen. Bei der Lösungsfindung bewege ich mich auf Kreisen.
    Abbildungen haben also schon ihre Berechtigungen und sind richtig eingesetzt, einfach cool.
    Innenweltkosmos finde ich dagen uncool.
    Kommt einer Vergewaltigung einer ansonst guten Idee gleich (Inversion am Kreis bzw. Kugel)

  23. #23 Frank Wappler
    8. Mai 2017

    Karl-Heinz schrieb (#21, 8. Mai 2017):
    > Komplexe Ebene (Realteil x-Achse, Imaginärteil y-Achse)

    Sicherlich stimmen wir darin überein, dass beide Diagramme im schon oben verlinkten Bild Ausschnitte der komplexen Ebene darstellen sollen, und beide insbesondere Teile der “reellen Achse”, Teile der “imaginären Achse”, sowie deren “Schnittpunkt (den “Achsen-Ursprung”) beinhalten.

    > Abbildungsfunktion z -> 1/z … Stürzung (Inversion)

    Es sei zunächst dahingestellt, was diese Abbildungsfunktion (bzw. allgemeinere Möbiustransformationen) mit dem Thema des obigen ScienceBlog-Artikels zu tun haben sollen …

    Aber sicherlich können wir uns darauf einigen, dass der Definitionsbereich der vorgeschlagenen Abbildungsfunktion die Menge
    \mathbb C \setminus \{ (0, 0 \, i) \} sein soll,
    d.h. alle komplexen Zahlen außer “dem Achsen-Urspung”;
    und dass der entsprechende Wertebereich dann ebenfalls diese Menge
    \mathbb C \setminus \{ (0, 0 \, i) \} ist.

    (Um hier Symbole durch “<Latex-Befehle>” darzustellen, schreibe ich übrigens “$latex <Latex-Befehle> $”.)

    > Die waagrechten Geraden entstehen dadurch, dass man den Imaginärteil konstant setzt. […]

    Wieso sollte denn eine Menge komplexer Zahlen mit konstantem (gleichem) Imaginärteil ausgerechnet als (Teilmenge einer) Gerade(n) aufgefasst bzw. dargestellt werden,
    und nicht stattdessen z.B. als (Teilmenge einer) Kreis(es)
    ??

    Sicherlich weil (bzw. ggf. zur Darstellung, dass):

    Für je drei (i.A. verschiedener) solcher komplexer Zahlen mit konstantem (gleichem) Imaginärteil,
    a := q + k \, i, b := r + k \, i, c := s + k \, i,
    mit q, r, s, k \in \mathbb R gilt:

    0 = \begin{vmatrix}   0 & (b - a)^2 & (c - a)^2 & 1 \cr  (a - b)^2 & 0 & (c - b)^2 & 1 \cr  (a - c)^2 & (b - c)^2 & 0 & 1 \cr  1 & 1 & 1 & 0  \end{vmatrix},

    d.h. die Cayley-Menger-Determinanten der Differenzen zwischen je drei solchen komplexen Zahlen mit konstantem (gleichem) Imaginärteil verschwinden.

    Analog dazu verschwinden die Cayley-Menger-Determinanten der Distanzen zwischen je drei (i.A. verschiedenen) Beteiligten, die gegenüber einander gerade liegen.

    (Und das gilt gerade ausdrücklich nicht für je drei verschiedene Bestandteile eines Kreises, der konstante, endliche Krümmung hat, also nicht abschnittsweise zu einer Gerade degeneriert ist.)

    > Die senkrechten Geraden entstehen dadurch, dass man den Realteil konstant setzt. […]

    Wieso sollte denn eine Menge komplexer Zahlen mit konstantem (gleichem) Realteil ausgerechnet als (Teilmenge einer) Gerade(n) aufgefasst bzw. dargestellt werden,
    und nicht stattdessen z.B. als (Teilmenge einer) Kreis(es)
    ??

    Sicherlich weil (bzw. ggf. zur Darstellung, dass):

    Für je drei (i.A. verschiedener) solcher komplexer Zahlen mit konstantem (gleichem) Realteil,
    x := p + h \, i, y := p + j \, i, z := p + k \, i,
    mit h, j, k, p \in \mathbb R gilt ebenso:

    0 = \begin{vmatrix}   0 & (y - x)^2 & (z - x)^2 & 1 \cr  (x - y)^2 & 0 & (z - y)^2 & 1 \cr  (x - z)^2 & (y - z)^2 & 0 & 1 \cr  1 & 1 & 1 & 0  \end{vmatrix}.

    p.s.
    > Die Geraden Im(z)=0 und Re(z)=0 werden auf sich selbst abgebildet […]
    > Die waagrechten Geraden Im(Z)= 1 und Im(Z)= 2 werden als Kreise nach unten abgebildet […]
    > Die waagrechten Geraden Im(Z)=-1 und Im(Z)= -2 werden als Kreise nach oben abgebildet […]
    > Die senkrechten Geraden Re(z)= 1 und Re(z)= 2 werden als Kreise nach rechts abgebildet […]
    > Die senkrechten Geraden Re(z)= -1 und Re(z)= -2 werden als Kreise nach links abgebildet […]

    Das stimmt alles; aber nur sofern man weiß bzw. sofern nachvollziehbar definiert ist, wie “Geraden” und “Kreise” metrisch definiert und voneinander zu unterscheiden sind.

    Rein topologisch betrachtet (hinsichtlich des Vorhandenseins bestimmter durch Färbung und Schraffur unterschiedbarer Linien und ihrer Schnittpunkte) sind die beiden Diagramme im verlinkten Bild ganz gleich (jedenfalls sofern der “Achsen-Ursprung” ausdrücklich nicht abgebildet ist).

  24. #24 Dichter
    14. Mai 2017

    selten doofes Thema, außer man nimmt an, dass die welt 4-dimensional ist. Dann muss eine neue Begriffswelt her, weil innen und außen dann einen anderen Sinn bekommen.

  25. #25 karl-Heinz
    15. Mai 2017

    @ Frank Wappler

    … d.h. alle komplexen Zahlen außer “dem Achsen-Urspung” …

    Gerade für die Möbius Transformation ist es sinnvoll die komplexe Zahlenebene zu erweitern.

    C* = C U {unendlich}.
    Es werden auf C* folgende Rechenregel definiert:
    a + unendlich = unendlich für a ist Element von C
    a * unendlich = unendlich für a ist Element von C ohne {0}
    a / unendlich = 0 für a ist Element von C

    Zn –> unendlich für n –> unendlich 1 / Zn –> 0 für n –> unendlich

  26. #26 Frank Wappler
    http://Richtig.rechnen.reicht.nicht
    16. Mai 2017

    Karl-Heinz schrieb (#25, 15. Mai 2017):
    > Gerade für die Möbius Transformation ist es sinnvoll die komplexe Zahlenebene zu erweitern.
    > C* = C U {unendlich}. […]

    Das mag in gewisser Hinsicht als sinnvoll gelten;
    allerdings lässt sich diese erweiterte Menge “C*” wohl kaum als eine Ebene auffassen.

    Im Übrigen trägt die Möglichkeit der Möbius-Transformation komplexer Zahlen offenbar nichts dazu bei
    zu beurteilen, ob mindestens drei (oder mehr) “Enden” (z.B. von im obigen ScienceBlogs-Beitrag genannten “Rectilineator-Elementen“) “enlang einer geraden Strecke verlegt” gewesen wären, oder in wie fern nicht.

  27. #27 anderer Michael
    Ex-Karnevalsprinz Michael VI
    8. Juli 2017

    Frank Wappler
    Eigentlich habe ich von diesem hilfswissenschaftlichem Zeugs nichts verstanden ( brauche ich auch nicht, dafür gibt es ja die Hilfswissenschaftler als Zuträger für die wirklich wichtigen Bereiche). Eines interessiert mich aber doch .Was ist eine LATEX -Darstellung? Hat das was mit Kautschuk zu tun?

    • #28 Oliver Gabath
      9. Juli 2017

      LaTeX ist eine Textsatz-Sprache und wird oft synonym für die zugehörige Software gebraucht. Im Gegensatz zu Schreibprogrammen wie WORD fügt man die Steuerzeichen für die Formatierungsbefehle und Sonderzeichen selbst in den Fließtext ein. Ähnlich dem Programmieren braucht man dafür eine Entwicklungsumgebung und eine Bibliothek, die den Steuerzeichen Symbole oder Formatvorlagen zuordnet.

      Man muss sich etwas einarbeiten, aber wenn man erst mal drin ist, kann man mit weniger Aufwand deutlich mehr machen. Insbesondere mathematische Formeln, Tabellen, Aufzählungen, Strukturierung in Kapiteln, Inhaltsverzeichnisse und intertextuelle Referenzen sind in LaTeX vergleichsweise einfach.

      Ich hab LaTeX beim Schreiben meiner Studienarbeit für mich entdeckt und bin seither drauf hängen geblieben – bei der Arbeit führt an WORD kein Weg vorbei, aber privat schreibe ich praktisch alles mit LaTeX – um genau zu sein mit dem TeXniccenter als Entwicklungsumgebung und MikTex als Bibliothek.

  28. #29 anderer Michael
    9. Juli 2017

    Und mal noch weiter gefragt.
    Frank Wappler und Karl-Heinz : Habt Ihr Mathebücher abgeschrieben oder war das eine Diskussion?

  29. #30 anderer Michael
    9. Juli 2017

    Zu dem LaTeX
    Immer wenn man ins Detail geht , wird es kompliziert. Alleine die Aussprache ist schon ein größerer Absatz bei Wikipedia.Und 10 Jahre hat die Entwicklung gebraucht. Der technologisch Unbedarfte bekommt gar nichts davon mit.