Meine Blogzeit geht im Moment für die Kommentarschlacht in meinem letzten Beitrag drauf. Darum hier ein kleiner Pausenfüller.

Auf Twitter wurde heute eine Mathematikaufgabe verbreitet (einmal an den Hut getippt in Richtung @garwboy und @gnat) und da hier viele lesen, die nicht auf Twitter sind (so vermute ich zumindest), möchte ich diese in deutscher Übersetzung hier nochmals wiedergeben. Schliesslich sind Wahscheinlichkeitsrechnunngen öfters Thema auf Scienceblogs:

Wenn Sie eine Antwort auf diese Frage zufällig auswählen, wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Sie richtig liegen?

a) 25%

b) 50%

c) 60%

d) 25%

(Originalquelle)

Kommentare (27)

  1. #1 Sim
    Oktober 28, 2011

    Nur zum Verständnis. Das ist eine selbstreferenzielle Frage? Das bedeutet Frage und Antwort muss konsistent sein. Na mal schaun.

    Angenommen a) wäre richtig dann wäre die Ws. 25% aber d) gibt auch 25% an womit die Ws. die richtige ANtwort zu tippen 50% wäre. a) und d) kommen also wohl nicht als Antwort in Frage

    Damit sind wir schon bei b) …angenommen das wäre richtig dann müsst ich aber eben mit einer Ws von 50% auf b) tippen das geht nicht die Chance auf b) zu tippen ist ja bei Gleichverteilung 25%

    Bleibt also noch c) und das ist aus analogen Gründen Mumpitz

    Ergo: Keine der angebotenen Antworten ergibt Sinn.

    Aber das heißt ja nicht dass es keine Antwort auf die Frage gäbe: 0% ist richtig.

  2. #2 Hanno
    Oktober 28, 2011

    Dürfte eine Variante sein von „Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als Element enthalten“, Russelsche Antinomie in Wikipedia. Auch das Barbier-Paradoxon ist eine bekannte Variante davon.

    Erzeugt aufgrund von Selbstreferenz einen Widerspruch.

    Wenn man den Gedanken weiterdenkt, landet man irgendwann bei Gödels Arbeiten zur Logik, aber das ist dann zu hoch für mich 😉

  3. #3 Peter
    Oktober 28, 2011

    Tut mir leid, wenn ich der (zumindest sehr amüsanten) Frage jetzt ein wenig den Spaß nehme. Nach einigem überlegen ist mir aufgefallen, dass die Frage unvollständig ist.

    Was vermutlich gemeint ist, ist die Frage:

    > Wenn Sie eine Antwort auf diese Frage !! aus den folgenden vier Möglichkeiten !! zufällig
    > auswählen, wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Sie richtig liegen?

    Die Antwort ist dann eindeutig 0% (Argumentation siehe Kommentar 1 bzw. Beweis durch Widerspruch).

    Um ein (scheinbares) Paradox zu erzeugen benötigt man noch die Annahme, dass eine der Antworten richtig ist. Diese Annahme ist aber weder richtig noch begründet. Würde man diese implizite Annahme zu der Frage hinzunehmen würde aus der Frage:

    > Wenn Sie eine Antwort auf diese Frage !! aus den folgenden vier Möglichkeiten !! zufällig
    > auswählen, wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Sie richtig liegen? Eine der
    > gegebenen Antworten ist richtig.

    Dieses Konstrukt würde aber eine (beweisbar) falsche Aussage enthalten und ist somit nicht Paradox, sondern falsch.

    Um noch ganz pedantisch zu werden könnte man die Frage im genauen Wortlaut nehmen:
    > Wenn Sie eine Antwort auf diese Frage zufällig auswählen, wie gross ist dann die
    > Wahrscheinlichkeit, dass Sie richtig liegen?
    In dieser Frage sind die vorgegebenen Antworten ja gar nicht referenziert, also würde ich eine Zufällige reele Zahl im Intervall [0;1] wählen. Auch hier könnte man mit ein wenig fleiß sauber beweisen, dass 0 die richtige Antwort ist, da die Wahrscheinlichkeit zufällig (exakt) 0 zu wählen 0 ist (auch wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte von 0 natürlich nicht 0 ist).

    Herzliche Grüße, und entschuldigung für den “verdorbenen” Spaß ;), Peter.

  4. #4 Ulrich Berger
    Oktober 28, 2011

    Kommt auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung an. “Zufällig” auswählen heißt nicht notwendigerweise, aus einer Gleichverteilung wählen. Falls aber letzteres gemeint sein sollte, dann: 0%.

  5. #5 rolak
    Oktober 28, 2011

    Ja was denn, wollt ihr 0%-Fans etwa behaupten, ihr hättet diese Antwort, die ja auch ‘eine Antwort’ ist, zufällig gewählt? Ich erlaube mir, Zweifel anzumelden…
    Wie wäre es denn mit folgendem Ansatz: Mit meinem aktuellen Lieblingswürfel (geformt wie der übliche 1..6-Würfel und genauso zufällig im Ergebnis, allerdings drei Seiten mit ‘b)’ beschriftet und die anderen 3 mit ‘nachts ist es kälter als draußen’) löst sich alles in ein Logikwölkchen auf 😉

  6. #6 cydonia
    Oktober 28, 2011

    Da geh ich doch mit, rolak. Russell hätte das Wölkchen mit seiner Pfeife kurz sichtbar gemacht, und hätte sich dann wieder den wichtigen Dingen zugewandt.

  7. #7 Peter
    Oktober 28, 2011

    @Ulrich Berger: die exakte Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist für das Ergebnis gar nicht relevant, solange die “0” eine Nullmenge bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes bleibt, ist die die Wahrscheinlichkeit 0. Oder etwas umgangsprachlich gesprochen: Solange ich “unendlich” viele antwortmöglichkeiten habe ist die Wahrscheinlichkeit die 0 zu treffen immer noch 0, unabhängig davon ob ich die 0 genau so wahrscheinlich treffe, wie die z.B. 0,5 oder ob ich die 0 tausend mal so wahrscheinlich treffe wie die 0,5.

  8. #8 schlappohr
    Oktober 28, 2011

    Abgesehen davon, dass diese Aufgabe ein Paradoxon enthält, meine ich, dass diese Art von Fragen ohnehin sinnlos ist:
    Der Leser wird die gestellte Frage nur einmal beantworten, es handelt sich also um ein *einzelnes* Ereignis. Ich meine, dass es keinen Sinn ergibt, eine Wahrscheinlichkeit für ein Einzelereignis anzugeben. Angenommen, die richtige Antwort lautet 50% – wie kann der Leser feststellen, ob diese Antwort tatsächlich stimmt? Er kann es überhaupt nicht. Wenn er die Lösung des Rätsels bekommt, kann er feststellen, ob seine Antwort richtig oder falsch war, aber er kann nicht feststellen, ob die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit seiner Antwort tatsächlich 50% ist. Dazu müsste er in einer großen Anzahl von Runden spielen und dann eine Verteilung seiner Antworten berechnen, aber dann haben wir kein Einzelereignis mehr.
    Das Problem an dieser ganzen Sache ist, dass der Begriff der Wahrscheinlichkeit empirisch definiert ist und damit nicht für Einzelereignisse angewendet werden kann.
    Das gleiche Problem tritt auf, wenn im Wetterbericht die Regenwahrscheinlichkeit für morgen angegeben wird. Die einzigen sinnvollen Antworten sind 0% und 100%, alles andere lässt sich am Ende des morgigen Tages nicht überprüfen.

    Wobei ich zugegeben dennoch einen Schirm mitnehmen würde, wenn die Vorhersage bei 70% liegt…

  9. #9 Prometheus
    Oktober 28, 2011

    Es muss ja kein Einzelergeignis sein. Man betrachtet einfach mehrere Personen. Naja, ändert nur am Paradoxon nichts.

  10. #10 SlowLarry
    Oktober 28, 2011

    Zu 50% werden 25% gewählt und zu 25% wählt man 50%. Also b)

  11. #11 SlowLarry
    Oktober 28, 2011

    Zu 25% werden 50% gewählt und zu 50% wählt man 25%. Also a) oder d)

  12. #12 rolak
    Oktober 28, 2011

    Gerade gelesen: Da und dort schreibt die bzw höchstwahrscheinlich nur ein Teil der Konkurrenz 😉

  13. #13 Sim
    Oktober 28, 2011

    Leute beherscht euch.

    0% ist eine konsistente Antwort auf die Frage unter naheliegenden Annahmen wie zum Beispiel ,dass das zufällig auswählen aus 4 Antwortmöglichkeiten äquivalent zum Wurf eines idealen Tetraeders, auf dessen Seitenflächen a), b), c), d) geschrieben steht, ist.

    Die Frage ist also nicht so unglaublich paradox. Wenn man allerdings bei Antwortmöglichkeit c) die 60% durch 0% ersetzt… dann wirds kriminell.

  14. #14 BreitSide
    Oktober 28, 2011

    Hmmm, ich hätte jetzt auch aus dem Bauch heraus 50 % genommen. Im zweiten Anlauf, erst einmal bin ich natürlich…

    Ich hab irgendwie ein Problem mit der Formulierung “richtige Antwort”. Aber peter hat schön darauf hingewiesen, dass die implizite Annahme, die Antwort müsse eine der 4 vorgegebenen sein, die Meisten auf die falsche Fährte setzt. Beim Jauch ist ja auch keine 5. Antwort erlaubt, und wir sind ja alle folgsam…

    Das erinnert mich dann wieder an die berühmte Aufgabe, die 9 Punkte im Quadrat durch 4 Geraden zu verbinden. Und das Mädchen, das meinte, sie würde es mit einem Strich schaffen, wenn man ihr nur einen genügend dicken gäbe…

  15. #15 ali
    Oktober 28, 2011

    Das ist etwas, das ich beim Bloggen hier mag: Da begegnet mir sowas und ich finde es einfach witzig. Ich poste es und dann beginnt eine Diskussion drunter wo man plötzlich noch viel mehr Futter zum Nachdenken kriegt, Dinge mit denen sich mein nicht so auf Mathematik getrimmtes Hirn sonst nicht beschäftigt hätte.

    Aus einem kurzen Minpost in der Kategorie “Humor” lerne ich dann plötzlich noch was. Bloggen bildet.

  16. #16 PeteH
    Oktober 29, 2011

    50%

  17. #17 Sascha Vongehr
    Oktober 29, 2011

    Liebe Leute: Instruktionen lesen! Wuerfel genommen, Resultat: c) 60%
    Fertig.

  18. #18 Stefan W.
    Oktober 30, 2011

    Ich habe die Antworten ausgeschnitten, und auf die Pinwand geklebt. Dann mit einem Darfpfeil 20x nach den Antworten geworfen. 12 Treffer bei c), 5 Treffer bei a) 3 Treffer bei b).

    Richtige Antworten sind also c) und d).

  19. #19 sesslor
    Oktober 31, 2011

    Da die Frage sich auf sich selbst bezieht, fällt es mir sehr schwer, sie überhaupt zu formulieren. Ich vermute, dies ist auch gar nicht möglich.

  20. #20 Ulrich Berger
    Oktober 31, 2011

    @ Peter:

    Die naheliegende Interpretation der Frage ist natürlich die, dass unter den vier vorgegebenen Antworten zufällig gewählt wird. Ansonsten wäre die korrekte Antwort nämlich: “Kommt drauf an.” (Nämlich auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung.)

    solange die “0” eine Nullmenge bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes bleibt, ist die Wahrscheinlichkeit 0.

    Nein, das gilt nur, wenn die Verteilung keine Atome enthält. Wenn ich das “zufällig auswählen” z.B. so gestalte, dass ich eine Münze werfe und bei Kopf die Antwort “50%”, bei Zahl die Antwort “80%” gebe, dann ist die richtige Antwort “50%”.

  21. #21 Krischan
    Oktober 31, 2011

    Aaalso, jetzt will ich auch schlaubergern. Selbst bei Herrn Berger sehe ich noch, dass hier von vier vorgeschlagenen Antworten gesprochen wird. Allerdings sind zwei der Antworten inhaltsgleich. Daraus ergeben sich nur noch drei mögliche aus vier Antwortmöglichkeiten, wobei die Wahrscheinlichkeit, die 25% zu wählen verdoppelt wird. Das müsste doch in irgendeiner Art und Weise berücksichtigt werden, oder?

  22. #22 Krischan
    Oktober 31, 2011

    Aaalso, jetzt will ich auch schlaubergern. Selbst bei Herrn Berger sehe ich noch, dass hier von vier vorgeschlagenen Antworten gesprochen wird. Allerdings sind zwei der Antworten inhaltsgleich. Daraus ergeben sich nur noch drei mögliche aus vier Antwortmöglichkeiten, wobei die Wahrscheinlichkeit, die 25% zu wählen verdoppelt wird. Das müsste doch in irgendeiner Art und Weise berücksichtigt werden, oder?

  23. #23 Quartvorhalt
    Oktober 31, 2011

    “Wenn Sie eine Antwort auf diese Frage zufällig auswählen..”

    Betonung auf Wenn.

    Bei (vermeintlicher) Kenntnis der Antwort, werde ich natürlich keine zufällige Antwort wählen, sondern die – hoffentlich – richtige nennen können. Eine zufällige Auswahl aus einem abzählbar unendlich großen Pool an Antworten wird sicher falsch sein, es ist also die schlechteste Lösung, auf diese optionale Bedingung einzugehen.

    Die Frage kann natürlich auch so gestaltet sein, daß die richtige Antwort Ja oder Nein ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit mit Raten richtig zu liegen, mindestens 0.5. Aber auch hier gibt es Fragen vollkommen unterschiedlicher Qualität: Ist 3 eine Primzahl, ja oder nein?, das kriegen wir hin, ja, ist 179426087 eine Primzahl? Hm. Wie lange habe ich Zeit für die Antwort? 10 Sekunden? Dann tippe ich auf… mit immerhin mind. 0.5 Wahrscheinlichkeit (die Zahl ist natürlich ungerade).

  24. #24 Redfox
    November 14, 2011

    If I flip a coin, what are my chances of getting head?

  25. #25 darkwarpirat
    August 2, 2012

    Hab da mal eine Frage und zwar, muss die Antwort aus den 4 angegebenen Antworten gewählt werden? für mich sieht es so aus als wolle der Fragensteller hier eine Antwort ausserhalb der 4 Antworten. Es wird nur nach der Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort auf eine unbekannte Frage mit 4 möglichen Antworten (a,b,c,d). Da 2 Antworten gleich sind verdoppelt sich die Wahrscheinlichkeit. Also haben wir 3 Antworten mit den Wahrscheinlichkeiten 50%,25% und 25%. Somit ist die Ergebnismenge Ohm={25%,50%}.

  26. #26 darkwarpirat
    August 2, 2012

    Kleine Ergänzung: die 4 Antworten sind völlig egal für die Frage. Sie könnten auch lauten
    a) x
    b) y
    c) z
    d) x

    Es wird nicht nach der richtigen Antwort gefragt, sonder nach der Wahrscheinlichkeit einer solchen.

  27. #27 elwaldi
    Mai 23, 2013

    Wenn das Zufallsexperiment die Ergebnismenge S={A,B,C,D) hat und p(A)=P(B)=p(C)=p(D)=25% ist, dann ist jedes Ereignis eine Teilmenge von S. Das “Ereignis” E=”Die Antwort stimmt” versuche ich also als Teilmenge von S zu schreiben. Sollte das nicht gehen, wäre die Aufgabe falsch gestellt, vielleicht auch paradox. Wann stimmt denn die Antwort? Wenn die Antwort 25% richtig wäre, dann wäre E={A,D} und p(E)=p(A)+p(D)=25%+25%=50%. Dann wäre die Antwort 25% aber falsch. Ein Widerspruch. Wenn die Antwort 50% richtig wäre, wäre E={B} und p(E)=25%, dann wäre die Antwort 50% auch falsch. Wenn die Antwort 60% richtig wäre, ergibt sich E={C} und p(E)=25%, ein Widerspruch. Die Möglichkeit, dass E mehr als ein Element enthalten kann, außer bein E={A,D} scheidet ebenfalls aus, weil dann widersprüchliche Aussagen gleichzeitig richtig sein müssten. Wenn die richtige Antwort nicht auswählbar ist, wäre E={}, also p(E)=0. Das ergibt keinen Widerspruch, denn dann würde keine Antwort stimmen. Also ist die Antwort 0%.
    Ein Paradoxon erhält man erst, wenn man z.B. die Aufgabe abändert und bei C) 0% statt 60% schreibt. Dann wäre E=”die Antwort stimmt” kein Ereignis im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung (bei dieser Wahl von S und der oben angenommenen Gleichverteilung).