Von wahrer und scheinbarer Größe

In den vergangenen Artikeln habe ich diverse Male von “Größenklassen” der Sterne geredet, ohne näher darauf einzugehen, was das eigentlich genau sein soll, außer dass es etwas mit der Helligkeit der Sterne zu tun hat. Das muss ich dringend nachholen, der Begriff ist fundamental und wird uns hier noch öfters über den Weg laufen. Jeder, der sich mit Astronomie beschäftigt, sollte wenigstens eine vage Vorstellung davon haben, was er bedeutet.

 

Ein babylonisches Erbe

Die Babylonier (!) waren laut Wikipedia die Erfinder einer 6-teiligen Abstufung der Sternhelligkeiten, und dieses System wurde von Hipparch von Nicäa für seinen berühmten antiken Sternkatalog übernommen. Die hellsten Sterne sind demnach von 1. Größe und die dunkelsten, gerade noch sichtbaren, sind von 6. Größenklasse. Man spricht im Astronomen-Jargon von Magnitude (das ist Latein, aber auch Englisch!) und schreibt z.B. 1 mag oder 1^m.

Die Abstufung der Größenklassen ist logarithmisch, dem Auge erscheinen Sterne 1. Größe nicht 15-mal heller als Sterne von 4^m, was sie eigentlich sind. Eine logarithmische Abstufung bedeutet, dass die nächstkleinere Größenklasse um einen festen Faktor heller ist als die Klasse darüber. Dieser Faktor beträgt für das menschliche Auge ungefähr 2,5: 2,5 Sterne von 2^m erscheinen in Summe so hell wie einer von 1^m. Ähnliches gilt auch für andere Sinne der Wahrnehmung.

Mit der Erfindung des Teleskops wurde es möglich, schwächere Sterne als 6^m zu beobachten und die Skala wurde nach oben erweitert, sie ist ja ohnehin offen. Ein Teleskop mit dem x-fachen Objektivdurchmesser der Pupille des dunkeladaptierten menschlichen Auges fängt theoretisch ein x²-faches an Licht auf, was eine entsprechend höhere “Grenzgröße” ermöglicht. Fotografien erreichen noch höhere Grenzgrößen durch das Aufsummieren von Licht während der Belichtungszeit. Außerdem wollte man das System auf Planeten wie Jupiter und Venus erweitern, die deutlich heller als Fixsterne sind. Sogar Sirius ist bekanntlich deutlich heller als 1^m.

Als Nullpunkt für die Größenklassenskala dient dabei eine Auswahl von (hoffentlich!) nichtvariablen Sternen, deren Helligkeiten festgelegt wurden. Zunächst war der Polarstern (1,97^m) das Eichnormal, der praktischerweise am Nordhimmel immer sichtbar ist und eine ziemlich konstante Höhe über dem Horizont hat. Bis man feststellte, dass Polaris eben doch variabel ist, wenn auch nur geringfügig. Stattdessen verwendet man jetzt eine Gruppe von Sternen in Polnähe, die internationale Polsequenz zur Kalibrierung des Nullpunkts der Helligkeitsskala. Die gemessenen Helligkeiten von Sternen können mit solchen Standardsternen verglichen werden, um ihren exakten Wert zu bestimmen.

Beispiele für Sternhelligkeiten:

Die folgenden Sterne haben wir zum Teil schon kennengelernt oder sie sind mit Allgemeinwissen leicht auffindbar. Ihr könnt sie Euch selbst einmal anschauen:

0. Größe:

α Aur / Capella (0,1^m) Hauptstern im Fuhrmann
β Ori / Rigel (0,1^m) rechter unterer (südwestlicher) Stern im Orion
α CMa / Prokyon (0,3^m) Hauptstern im Kleinen Hund
α Lyr / Wega (0,0^m) Hauptstern in der Leier (Sommerdreieck, Nordwest-Ende)

1. Größe:

α Tau / Aldebaran (0,9^m) Hauptstern im Kopf des Stieres
β Gem / Pollux (1,1^m) unterer (südlicher) Stern der Zwillinge
α Cyg / Deneb (1,3^m) Hauptstern im Schwan (Sommerdreieck, Nordost-Ende)
α Aqu / Altair (0,8^m) Hauptstern im Adler (Sommerdreieck, Süd-Ende)

2. Größe:

ζ Ori / Alnitak (1,8^m) linker (östlicher) Gürtelstern des Orion
ε Ori / Alnilam (1,8^m) mittlerer Gürtelstern des Orion
δ Ori / Mintaka (2,2^m) rechter (westlicher) Gürtelstern des Orion
κ Ori / Saiph (2,1^m) Stern unten links (Südosten) im Orion
ζ UMa / Mizar (2,0^m) mittlerer Deichselstern im Großen Wagen
β CMa / Mirzam (2,0^m) zweithellster Stern im Großen Hund, westlich Sirius

3. Größe

ε Aur / Almaaz (3,0^m) Spitze im Dreieck (Haedi-Asterismus) neben Capella
δ UMa / Megrez (3,3^m) Ansatz der Deichsel im Großen Wagen
β CMi / Gomeisa (2,9^m) Stern rechts (westlich) neben Prokyon

4. Größe

g UMa / Alkor (4,0^m) “Reiterlein”, kleiner Stern direkt neben dem mittleren Deichselstern des Großen Wagens
φ² Ori (4,1^m) unterer linker Stern des kleinen Sterndreiecks im Kopf des Orions
Atlas, Electra, Maja, Merope, Taygeta (3,6^m… 4,3^m) hellere Plejaden (außer der hellsten, Alcyone, am Deichselansatz des Plejaden-Wägelchen-Asterismus)
γ CMi (4,3^m) kleiner Stern 1 Vollmonddurchmesser nördlich von Gomeisa, β im Kleinen Hund

5. Größe

Pleione, Celaeno (5,1^m und 5,4^m) nächstschwächere beiden Plejaden, links und rechts von Taygeta an den “Hinterrädern” des Plejaden-Wägelchen-Asterismus

6. Größe

Alles, was man vom Land aus in einer klaren, mondlosen Nacht gerade noch sieht (und sonst nicht).

 

Die fünfte Wurzel aus Hundert

Das System in der heutigen Form stammt vom Engländer Norman Pogson. Er legte fest, dass ein Stern 1. Größe exakt 100-mal heller als ein Stern 6. Größe ist. Das sind 5 Größenklassen Unterschied; wenn also x der Helligkeitsunterschied zwischen zwei aufeinander folgenden Größenklassen ist, dann ist x·x·x·x·x =  x⁵ = 100 ein Unterschied von 5 Größenklassen. x¹⁰ = x⁵·x⁵ = 100·100 =10.000 ist ein Unterschied von 10 Größenklassen, x¹⁵ = 1 Million einer von 15 usw.:

Alle fünf Größenklassen ein Faktor 100 mehr.

Das sollte man sich tief verinnerlichen, dann kann man sich stets herleiten, wie groß eine Größenklasse Unterschied exakt ist und die Zwischenstufen abschätzen. Wenn x⁵ = 100 ist, dann ist nämlich offensichtlich x = = 2,511886… . 7 Größenklassen Differenz wären also 2^m + 5^m, das sind ungefähr 2,5·2,5·100 = 6,25·100 = 625 (genauer wären es 631). Oder 8 mag Unterschied wären 10 mag – 2 mag = 10.000 / 2,5 / 2,5 = 4000 / 2,5 = 1600 (genauer: 1589).

(Ingenieure und Nachrichtentechniker, die mit Dezibel-Angaben vertraut sind, können sich merken, dass eine Größenklasse exakt 4 dB sind. Also 1 dB mehr als ein Faktor 2. 5 Größenklassen sind nämlich 4·5 = 20 dB, und 20 dB sind bekanntlich exakt ein Faktor 100. Wem Dezibel nichts sagen, der sollte diesen Absatz sofort wieder vergessen, dies zu erklären würde ihn nur in Verwirrung stürzen.)

Exakt gerechnet wird mit dem Logarithmus wie folgt (für Leute, die sich das besser merken können als ich):

Wenn der Größenklassenunterschied zwischen zwei Sternen mit Größenklassen m₁ und m₂ Δm = m₂-m₁ Größenklassen beträgt, dann beträgt das (lineare) Verhältnis der Helligkeiten den Faktor

Das Minuszeichen im Exponenten wird uns von der Konvention eingebrockt, dass kleinere Magnituden heller sind als größere.

Umgekehrt sei gegeben, dass Stern 2 mit Größenklasse m₂ f-mal heller sei als Stern 1 mit Größenklasse m₁. Dann gilt entsprechend:

mit dem Zehnerlogarithmus log₁₀ = lg.

 

Beispiele:

Sirius A hat -1,5^m und Sirius B 8,5^m. Wieviel heller ist Sirius A im Vergleich zu Sirius B?

Der Größenklassenunterschied beträgt -1,5^m – 8,5^m = -10^m

(was wir schon wussten: 10 Größenklassen = Faktor 100·100)

Castor A und B haben 1,93^m und 2,97^m. Wie hell erscheinen beide zusammen?

Wir rechnen beide in Leuchtkräfte (relativ zur 0. Größenklasse) um, addieren diese, und rechnen zurück in Größenklassen:

Ein Teleskop hat 20 cm Öffnung. Um wieviel Größenklassen hellere Sterne als das bloße Auge zeigt es?

Im Allgemeinen geht man von der recht optimistischen Annahme aus, dass die Augenpupille auch eines erwachsenen Menschen sich auf 7 mm erweitern kann. Ein Teleskop mit 20 cm = 200 mm Öffnung hat demnach die (200 mm/7 mm)² = (28,6)²-fache lichtsammelnde Fläche des unbewaffneten Auges, sammelt also einen Faktor 816 mehr Licht. Dies rechnen wir in Größenklassen um:

Sterne erscheinen im 20-cm-Teleskop also um 7,3 Größenklassen kleiner (d.h. heller). Wenn die Grenzgröße für’s bloße Auge 6,5^m ist, dann ist sie im Teleskop 13,8^m (denn 13,8-7,3 = 6,5).

Rigel ist 260 pc entfernt und hat 0,13^m. Wie hell erschiene er in 10 pc Entfernung?

260 pc sind 26·10 pc. Die Helligkeit nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab, also ist der Stern in 260 pc Entfernung 26² = 676 mal lichtschwächer als in 10 pc Entfernung. Wieviele Größenklassen macht der Faktor 676 aus?

 

Absolute Helligkeit

Man bezeichnet M auch als die absolute Helligkeit des Sterns, im Gegensatz zur scheinbaren Helligkeit, von der wir bisher implizit gesprochen haben – eben die Helligkeit, mit der uns der Stern am Himmel erscheint. Wenn man die Leuchtkräfte verschieden weit entfernter Sterne vergleichen will, oder wenn man sie in Form einer Größe angeben will, die leicht in die scheinbare Helligkeit umgerechnet werden kann, verwendet man gerne die absolute Helligkeit, die auf eine Entfernung von 10 pc (nicht etwa Lichtjahre! 1 pc = 3,26 LJ, 10 pc = 32,6 LJ) bezogen ist. Das Quadrieren der Entfernung r[pc] im Verhältnis zu 10 pc kann man mit in die Formel übernehmen und wenn man die Helligkeitsdifferenz zwischen absoluter Helligkeit M und scheinbarer Helligkeit m auf die linke Seite der Formel bringt, sieht die Entfernungsformel nach ein paar Umformungen so aus:

M-m heißt Entfernungsmodul, denn diese Größe hängt nur von der Entfernung ab (um genau zu sein, dem Verhältnis der wahren Entfernung, in welcher der Stern die Helligkeit m hat zu der Entfernung von 10 pc, wo er die Helligkeit M hat). Kennt man also den Entfernungsmodul für eine bestimmte Entfernung (etwa die des Plejadenhaufens) und die absolute Helligkeit eines Sterns (etwa die der Plejadensterne), so ergibt sich die scheinbare Helligkeit sofort aus der absoluten Helligkeit – Entfernungsmodul. Oder umgekehrt, kennt man den Entfernungsmodul und die scheinbare Helligkeit, dann ergibt sich die absolute Helligkeit als scheinbare Helligkeit + Entfernungsmodul.

Nur der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es auch eine absolute Helligkeit für Planeten, Asteroiden und Kometen gibt, die man allerdings nicht in virtuelle 10 pc Entfernung versetzt, weil man sie dort nicht mehr sehen können würde, sondern in eine für Abstände im Sonnensystem skalierte Entfernung. Außerdem muss zusätzlich die Entfernung des Objekts von der Sonne mitberücksichtigt werden, die Beleuchtungsstärke durch die Sonne muss mit in die Formel eingehen. Deshalb bezieht man die absolute Helligkeit von Asteroiden auf 1 AE Abstand von der Sonne und 1 AE Abstand vom Beobachter.

 

Photometrische Systeme und Farbindizes

Bisher haben wir stillschweigend angenommen, dass sich die angegebenen Helligkeiten auf das beziehen, was wir mit unseren Augen sehen, also die visuelle Helligkeit, häufig abgekürzt mit m_vis, m_v oder auch V. Fotoplatten und CCDs sehen aber das Lichtspektrum mit anderen Empfindlichkeiten für die verschiedenen Farben. Als man noch mit Fotoplatten arbeitete und die Helligkeit der Sterne auf diesen ausmaß, gab man die so bestimmte Helligkeit  als “fotografische Helligkeit” m_phot an und errechnete die visuelle über einen Korrekturfaktor.

Schwarzweiß-Fotoplatten auf der Basis von Silbersalzen waren für blaues Licht empfindlicher als das menschliche Auge und für rotes entsprechend weniger empfindlich. Heutige CCD-Astrokameras gibt es für alle möglichen Spektralbereiche von Infrarot bis Ultraviolett. Damit man überhaupt untereinander vergleichbare Helligkeiten mit verschiedenen Geräten messen kann, hat man verschiedene Farbsysteme definiert, deren wichtigstes das 1953 von Harold Johnson und William Morgan eingeführte UBV-System ist. U steht für “Ultraviolett”, B für “Blau” und V für “Visuell”. Später kamen weitere Farbbereiche (Bänder) hinzu, etwa R wie “Rot” und I wie “Infrarot” (UBVRI-System) und heute gibt es noch zahlreiche weitere Standardfilter. Die Farbsysteme geben bestimmte Filter-Transmissionskurven vor.

Die Filter sind dabei so definiert, dass ein A0-Stern (und da dient Wega in der Leier als Standardstern) in allen diesen Bändern die gleiche Helligkeit hat. Sterne anderer Spektralklassen / Temperaturen haben unterschiedliche Helligkeiten in den verschiedenen Filtern. Weil sie annähernd Schwarzkörperstrahler sind, kann man die Farben der Sterne durch Differenzen der Helligkeit in verschiedenen Filtern angeben. Diese Größen nennt man Farbindizes (Singular: Farbindex).

Typischerweise werden für Sterne die Farbindizes U-B und B-V angegeben, also die Differenzen aus der Helligkeit in den U- und B-Filtern bzw. in den B- und V-Filtern. Ein negativer Farbindex bedeutet, dass der linke, kurzwelligere Größenklassenwert kleiner ist als der rechte, langwelligere. Da ein größerer Magnitudenwert weniger Helligkeit bedeutet, sind Sterne mit negativen Farbindizes heißer und blauer als A0-Sterne (also O- und B-Sterne), Sterne mit positivem Farbindex sind kühler und roter (FGKM-Sterne). Die Sonne hat Farbindizes von U-B=0,16  und B-V=0,65. Hier das Farb-Helligkeitsdiagramm eines Kugelsternhaufens.

 

Bolometrische Helligkeit

Ein Leuchtkraftvergleich zwischen Sternen mit verschiedenen Farbindizes auf der Basis einzelner Filterbänder ist natürlich irgendwie unfair – die B-Helligkeiten von Beteigeuze und Rigel sind 4,38^m bzw. 0,1^m , die I-Helligkeiten hingegen -2,45^m bzw. 0,15^m, so dass Beteigeuze einerseits viel dunkler und andererseits viel heller als Rigel zu sein scheint – wie verhält es sich denn nun bezüglich der abgestrahlten Leistung in Watt?

Aus diesem Grunde gibt es noch eine weitere Helligkeitsangabe über alle Frequenzen des Lichts, die bolometrische Helligkeit. Der Name suggeriert, dass diese mit einem Bolometer ermittelt wird, einem Gerät, dass die Strahlungsintensität einer Lichtquelle anhand seiner Erwärmung in deren Licht ermittelt. Allerdings kann man für Sterne – schon wegen der Absorption mancher Wellenlängen durch die Atmosphäre, aber vor allem wegen der geringen Lichtstärke der Sterne – ihre Helligkeit nicht wirklich mit einem Bolometer messen (außer die der Sonne).

Statt dessen misst man die visuelle Helligkeit und modelliert eine Schwarzkörper-Strahlungskurve gemäß der Temperatur des Sterns, die dann mit der visuellen Helligkeit skaliert wird (so dass der Ausschnitt des V-Filters aus der Strahlungskurve mit der Helligkeit des Sterns übereinstimmt). Die Differenz zwischen der visuellen Strahlungsleistung und der so ermittelten gesamten Strahlungsleistung der Schwarzkörper-Strahlungskurve nennt sich bolometrische Korrektur (BC). Diese wird von der visuellen Helligkeit abgezogen (negativer Wert = heller!) und ergibt dann die bolometrische Helligkeit:

Die bolometrische Helligkeit berücksichtigt also die Helligkeit über alle Wellenlängen und erlaubt den direkten Vergleich der Strahlungsleistung von Sternen verschiedener Farbe. Beteigeuze hat eine absolute bolometrische Helligkeit von -8,0^m, Rigel von -7,84^m. Beteigeuze sticht Rigel also in der Gesamtstrahlungsleistung ziemlich knapp aus.