Es gibt viele Möglichkeiten, Pi zu bestimmen. Die mit Abstand abgefahrenste Methode zählt die Aufpraller zweier Billardkugeln. Einfach nur zählen …
Am 14. März wird traditionell der Pi-Day gefeiert
(in amerik. Schreibweise 3-14), aber dieses Mal passt die Jahreszahl mit in die Reihe, sodass der Epic-Pi-Day vor der Tür steht! An dem Tag können wir folgende Konstellation finden:
3-14-15 9:26:53
Bis es soweit ist, möchte ich euch mit Videos, Bildern und Geschichten versorgen. Alle bisherigen Beiträge findet ihr hier.
Heute: Billard zur Pi-Bestimmung
Die Idee ist recht simpel, aber das Ergebnis dafür umso erstaunlicher. Holen wir etwas aus 🙂
Oben auf dem Foto seht ihr zwei Billardkugeln. Wird die rote Kugel angespielt (erste Kollision), rollt sie los. Sie trifft die Bande (zweite Kollision) und trifft, wenn man gut gezielt hat, wieder die weiße Kugel (dritte Kollision). Soweit so gut. Im nächsten Schritt wird es mathematischer:
Wir nehmen an, dass sich die Kugeln reibungsfrei bewegen und sämtliche Stöße elastisch sind. Wir spielen die Kugeln wieder mit der Bande an, aber dieses Mal ist die weiße Kugel ‘M’ 100-mal schwerer als die rote Kugel ‘m’. Oder um es in einer Formel zu schreiben:
M/m=100N mit N=1
Beim Aufprall der beiden Kugeln wird die leichte Kugel angestoßen, aber die schwere wird dabei kaum abgebremst. Die leichte Kugel ist schneller und prallt an der Bande ab, sie rollt auf die schwere Kugel zu und trifft diese. Die leichte Kugel prallt nun wieder von der schweren Kugel ab und rollt wieder auf die Bande zu. Die schwere Kugel wurde wieder etwas abgebremst, rollt aber weiter … und so weiter …
Irgendwann hat die leichte Kugel die schwere so oft getroffen, dass sie schließlich stehen bleibt und beim nächsten Stoß die Richtung wechseln wird. Die leichte Kugel die schwere bald nicht mehr erreichen und die Zählung für diese Runde ist komplett.
Die folgende Animation verdeutlicht die Bewegung und zählt die Kollisionen.
Bei gleichschweren Kugeln (N=0 ergibt M = m) gab es 3 Kollisionen und nun bei N=1 (M = 100m) sind es 31. Was passiert wohl bei N=2 (M = 10.000m)?
Ja, in dem Fall gibt es tatsächlich 314 Kollisionen. Der Mathematiker Gregory Galperin hat das weiter gerechnet und kommt auf ein erstaunliches Ergebnis:
N=0 -> 3
N=1 -> 31
N=2 -> 314
N=3 -> 3141
N=4 -> 31415
…
Die eingesetzte Potenz beim Massenverhältnis berechnet eine Anzahl von Kollisionen, die, wenn man nach der Drei ein Komma setzt, Pi bis auf die n-te Stelle exakt bestimmt.
Und es gilt für jede Potenz mit N < 1.000.000
Diese irrwitzig großen Massenverhältnisse sind natürlich nur noch Zahlenspiele, aber es ist doch erstaunlich, wie so ein simpel beginnendes Experiment Pi auf so viele Stellen exakt beschreibt. Das Paper ist hier frei einsehbar. Es werden einfache mechanische Formeln verwendet und keine sonstigen Annahmen vorausgesetzt (bis auf die Reibungsfreiheit und die elastischen Stöße). Falls jemand einen Fehler finden sollte, bitte melden 🙂
Ich habe auch geguckt, ob es noch ein Video zu dem Thema gibt, und bin mal wieder bei Numberphile fündig geworden.
Viel Spaß beim Gucken!
Das ist die abgedrehteste Methode Pi zu berechnen, die ich bislang gefunden habe.
Oder kennt ihr noch weitere?
—
Quelle:
– Bilder von: Playing Pool with Pi, G. Galperin 2003, DOI: 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252
– Animation von: The Pi Machine, The New York Times, 10.03.2014
– Video von: Numberphile
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