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Doppelt oder halb? Auflösung des Novemberrätsels

Von / 23. November 2015 / 53 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Nun denn, ein letzter Rettungsversuch: Lassen wir Annas Formel mit den 50%-Wahrscheinlichkeiten also fallen. Den Erwartungswert des Betrags in der rechten Schachtel können wir aber immer noch berechnen. Die beiden Wahrscheinlichkeiten für X/2 und 2X hängen, wie wir inzwischen wissen, vom Verfahren zur Bestimmung der Beträge und von X selbst ab. Gibt es wenigstens ein Verfahren, bei dem zumindest der Erwartungswert des Betrags in der rechten Schachtel für jedes X größer als X ist?

Nein, werden Sie jetzt sicher sagen, denn sonst wäre ja für dieses Verfahren Wechseln immer besser, was nicht sein kann! (Geben Sie es zu, das haben Sie gedacht!)

Aber Überraschung: So ein Verfahren gibt es! Doch das führt uns zu weit weg vom eigentlichen Rätsel… Wer neugierig geworden ist, der klicke hier!

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Kommentare (53)

  1. #1 Dr. Webbaer
    24. November 2015

    Bedingte Wahrscheinlichkeiten ergeben sich über die Informiertheit anderer, wenn aber der Moderator stets den Wechsel anbietet bis empfiehlt, kann er zwar informiert sein, aber nicht informiert handeln.

    Insofern ist das ursprünglich unzulängliche “Monty Hall”- oder “Ziegenproblem” auch ergänzt worden, um ein “stets”.

    Wer “stets” so oder so handelt, kann zwar informiert sein, dies aber nicht über sein Handeln ausdrücken.

    —
    Hey, hier wird’s ja fast sozial-philosophisch.
    OK, muss nicht sein, geht vom Thema weg, no prob here.

    MFG
    Dr. W (der auch den im WebLog-Artikel bemühten Vortrag goutiert)

  2. #2 Dr. Webbaer
    24. November 2015

    Bedingte Wahrscheinlichkeiten ergeben sich über die Informiertheit anderer, wenn aber der Moderator stets den Wechsel anbietet bis empfiehlt, kann er zwar informiert sein, aber nicht informiert handeln.

    Insofern ist das ursprünglich unzulängliche “Monty Hall”- oder “Ziegenproblem” auch ergänzt worden, um ein “stets”.

    Wer “stets” so oder so handelt, kann zwar informiert sein, dies aber nicht über sein Handeln ausdrücken.

    —
    Hey, hier wird’s ja fast sozial-philosophisch.
    OK, muss nicht sein, geht vom Thema weg, no prob here.

    MFG
    Dr. W (der auch den im WebLog-Artikel bemühten Vortrag goutiert)

    PS:
    V2.0 – so schaut’s besser aus.

  3. #3 Stefan
    25. November 2015

    Ich denke € 6400 im obigen Beispiel kein “Randfall” sondern € 12800.

  4. #4 Karl-Heinz
    25. November 2015

    @ Stefan

    Im obigen Beispiel ist der Definitionsbereich von
    X ={€ 100, € 200, € 400, € 800, € 1600, € 3200 oder € 6400}
    Die Randbereiche von X sind dann € 100 und € 6400.

  5. #5 Stefan
    26. November 2015

    @Karl-Heinz:
    ja, der kleinere Betrag, der im anderen Kuvert verdoppelt wird, kann von 100 bis 6400 reichen.

    aber X ist nicht der kleinere Betrag, der im anderen Kuvert verdoppelt wird, sondern die Zufallsvariable des Betrags des Kuverts, das geöffnet wird. Diese Zufallsvariable hat den Wahrscheinlickeitsraum = {€ 100, € 200, € 400, € 800, € 1600, € 3200, € 6400, € 12800}.

    “Ist aber X = € 6400, dann verliert sie mit Sicherheit, statt nur mit einer 50%-Chance.” das gilt nicht für € 6400 sondern für € 12800

  6. #6 Karl-Heinz
    26. November 2015

    @ Stefan
    Ich muss zugeben, dass du recht hast. Werl lesen kann ist klar im Vorteil 🙂
    7 Schachteln mit je 2 Briefumschläge
    S1(100€,200€)
    S1(200€,400€)
    S1(400€,800€)
    S1(800€,1600€)
    S1(1600€,3200€)
    S1(3200€,6400€)
    S1(6400€,12800€)
    Die Schachteln mit den Briefumschlägen werden gut geschüttelt, sodass die Briefumschläge zufällig gezogen werden. Die X-Variable kann dann die Werte {100€,200€, … 6400€,12800€) annehmen.

  7. #7 Ulrich Berger
    26. November 2015

    @ Stefan:
    Gut beobachtet, wird umgehend korrigiert!

  8. #8 Karl-Heinz
    27. November 2015

    Ich versuche mal rein aus Spaß, das obengenannte Beispiel durchzurechnen und hoffe dabei das ich keinen Blödsinn verzapfe.

    a) Wie groß ist der Erwartungswert, wenn immer gewechselt wird?
    b) Wie groß ist der Erwartungswert, wenn nie gewechselt wird?
    c) Wie groß ist der Erwartungswert, wenn mit der Wahrscheinlichkeit p gewechselt wird.
    d) Wie groß ist der maximale Erwartungswert, wenn der Moderator den Betrag im geöffneten Briefumschlag sowie den maximal möglichen Gewinn mitteilt.

    Verwendete Bezeichnungen und Formeln:
    W … Wechsel
    kW … kein Wechsel
    pW … Wenn mit der Wahrscheinlichkeit p gewechselt wird.

    E(W)=∑E(W|Xi)*P(Xi) … Erwartungswert, wenn immer gewechselt wird.

    E(kW)=∑E(kW|Xi)*P(Xi) … Erwartungswert, wenn nie gewechselt wird.

    E(pW)= ∑ (p * E(W|Xi)*P(Xi)) + ∑ ((1-p) * E(kW|Xi)*P(Xi))
    = p* ∑E(W|Xi)*P(Xi) + (1-p)* ∑ E(kW|Xi)*P(Xi)
    = p* E(W) + (1-p)* E(kW)
    = p*(E(W)–E(kW)) + E(kW) … Erwartungswert, wenn mit der Wahrscheinlichkeit p gewechselt wird.

    Ist E(W) gleich E(kW), dann ist gilt E(pW)=E(W)=E(kW).
    Mit anderen Worten, der Erwartungswert ist unabhängig davon, ob man Wechselt oder nicht.

    Wahrscheinlichkeitsverteilung für X
    P(100€) =P(12800€)= 1/14
    P(200) = P(400€) = … P(6400€) = 2/14

    Zu a) E(W)=∑E(W|Xi)*P(Xi)
    = 1/14*(1*200)
    + 2/14*(0,5*(100+400))
    + 2/14*(0,5*(200+800))
    + 2/14*(0,5*(400+1600))
    + 2/14*(0,5*(800+3200))
    + 2/14*(0,5*(1600+6400))
    + 2/14*(0,5*(3200+12800))
    + 1/14*(1*6400) = 2721,43€

    Zu b) E(kW) = ∑E(kW|Xi)*P(Xi) =
    = 1/14*100 + 2/14*200 + 2/14*400 + 2/14*800 + 2/14*1600 + 2/14*3200 + 2/14*6400 +
    1/14*12800
    = 2/14 (50+200+400+800+1600+3200+12800) =2721,43€

    Zu c) Der Erwartungswert ist immer gleich, egal ob gewechselt wird oder nicht da p*(E(W)–E(kW)) gleich 0 ist.

    Zu d) Es wird bis zu 6400€ immer gewechselt. Bei 12800€ findet kein Wechsel statt.
    E = 1/14*200 + 2/14*400 + 2/14*800 + 2/14*1600 + 2/14*3200 + 2/14*6400 + 2/14*12800 +
    1/14*12800 =4528,57€

  9. #9 Karl-Heinz
    27. November 2015

    Sorry muss Punkt d richtigstellen.
    E = 1/14*(1*200)+ 2/14*(0,5*(100+400))+ 2/14*(0,5*(200+800))+ 2/14*(0,5*(400+1600))+ 2/14*(0,5*(800+3200))+ 2/14*(0,5*(1600+6400))+ 2/14*(0,5*(3200+12800))+ 1/14*(1*12800)= 3178,57

  10. #10 Michael Kunerth
    28. November 2015

    Eigentlich war – meiner Meinung nach – Stephan Urban #13 der erste, der die Lösung richtig (vielleicht nicht präzise und ausführlich genung) formuliert hat:
    “Es ist nur möglich mit bedingter Wahrscheinlichkeit zu rechnen: ist links X, dann ist der Erwartungswert für rechts 2X und ist links 2X, dann ist der Erwartungswert für rechts X – also durchschnittlich 3X/2 und damit ist E genausogroß wie für links!”.
    Das deckt sich mit dem einfachen Beispiel von oben und ist kein Gegenbeweis, sondern zeigt, dass die Formel für den Erwartungswert des Geldbetrags in der rechten Schachtel E(Grechts) von Anna falsch ist. Richtig wäre: E(Grechts) = 1/2(2X/2) + 1/2(2X) = 3X/2 = E(Glinks).
    Dass X eine Zufallsvariable ist, die beliebige Werte annehmen kann ist klar – aber wesentlich ist, dass für X nicht innerhalb einer Formel zwei verschiedene Werte eingesetzt werden dürfen, wie das bei Anna ja der Fall ist. Hier genau liegt in Annas Argument der Fehler (wie in Anmerkung 3 gefordert) und gar nicht in den jeweiligen 50% Wahrscheinlichkeiten. Außerdem ist der Geldbetrag X auf keinen Fall der Erwartungswert.
    Annas Überlegung müsste also lauten:
    “In der linken Schachtel ist ein bestimmter Geldbetrag, den ich jedoch nicht kenne – entweder X oder 2X. Dann ist in der rechten Schachtel entweder 2X drin oder X und beides ist gleich wahrscheinlich.” Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten p = 1 “wenn links X, dann rechts 2X” und umgekehrt stehen somit implizit da.
    Sowohl von einer Ungleichverteilung als auch von Grenzen der Beträge waren in der Aufgabenstellung nicht die Rede und sind außerdem nicht von Relevanz.

    • #11 Ulrich Berger
      30. November 2015

      Jedes Argument, das die Formulierung “… ist links 2X …” enthält, kann schon deshalb nicht schlüssig sein, weil der Betrag im linken Kuvert als X definiert wurde. Hier wurde (wie später noch öfter) X als der “einfache” Betrag missinterpretiert.

  11. #12 Ulfi
    28. November 2015

    ich frag mich, warum mein kommentar #2 nicht als richtig gilt: der hinweis, dass es bei angenommenen Gewinnen 100$ und 200$ und X=200$ definitiv kein Ereignis 400$ eben kann (bzw 50$ für X=100), muss doch ausreichend sein um zu zeigen, dass man den erwartungswert so nicht bilden darf. Man kann das äquivalent auch über Wahrscheinlichkeiten in einem übergeordneten zustandsraum (zustände 50$,100$,200$,400$) darstellen, aber “der Zustandsraum ist kaputt” reicht auch völlig aus.

    • #13 Ulrich Berger
      30. November 2015

      Du hast gemeint,

      wenn man bereits die kiste mit dem doppelten Gewinn gewählt hat, befindet sich in 1/2 (X/2) + 1/2 (2X) der Wert 2X drin, der aber nicht mehr eintreten kann, weil man ja bereits den großen wert hat.

      Das ist aber gültiges kein Argument gegen die Berechnung des Erwartungswerts. Z.B. berechnet man den Erwartungswert für die Augenzahl A beim Würfeln unstrittigerweise als E(A) = 1/6*1+1/6*2+…+1/6*6 = 3,5. Dein analoges “Gegenargument” würde hier lauten: “Wenn man bereits die 4 gewürfelt hat, befindet sich in der Formel der Wert 1 drin, der aber nicht mehr eintreten kann, weil man ja bereits die 4 hat.”

  12. #14 Karl-Heinz
    29. November 2015

    @Michael Kunerth
    Ich glaube, bei diesem Beispiel muss man irrsinnig aufpassen, dass mathematische Begriffe nicht miteinander vermischt werden.
    Die Gefahr ist groß, dass sich die Katze in den Schwanz beißt.
    Ich bezieh mich auf das obige Beispiel.
    1-ter Schritt) Begriffe sauber trennen und benennen
    p… Wahrscheinlichkeit.
    X … Zufallsvariable des Betrags des Kuverts, welches zuerst ausgewählt wird.

    Die Zufallsvariable X kann die Werte = {€ 100, € 200,
    € 400, € 800, € 1600, € 3200, € 6400, € 12800} annehmen.

    kW … es wird nicht zum anderen Briefumschlag gewechselt,

    W … es wird zum anderen Briefumschlag gewechselt
    E(kW|X) … bedingter Erwartungswert, wenn X eintritt und wenn nicht gewechselt wird
    E(W|X) … bedingter Erwartungswert, wenn X eintritt und wenn gewechselt wird
    Man beachte, dass die Erwartungswerte E(kW|X) und E(W|X) eine FUNKTION der Zufallsvariable X sein wird.
    2-ter Schritt)Berechnung E(kW|X)
    Wenn man weiß, dass im Briefumschlag der Betrag X sein wird, dann ist der Erwartungswert natürlich E(kW|X) = f(X) = X
    3-ter Schritt) Berechnung E(W|X)
    Hier müssen 3 Fälle unterschieden werden
    a) X ist der kleinste Betrag
    b) X ist der größte Betrag
    c) X weder der kleinste noch der größte Betrag
    ad) a:
    E(W|X) = g1(X=100) = 200 bzw. E(W|Xmin) = 2*Xmin
    ad) b:
    E(W|X) = g2(X=12800) = 6400 bzw. E(W|Xmax) = Xmax/2
    ad )c:
    E(W|X) = g3(X) = 0,5*(X/2 )+ 0,5*(2X) = 1,25X
    Anmerkung: f, g1,g2,g3 sind Funktionen um zu verdeutlichen, dass der bedingte Erwartungswert eine Funktion von X ist.
    JB hat sauber argumentiert, darum ist er auch für mich der Sieger

  13. #15 Karl-Heinz
    29. November 2015

    @Ulfi

    Auch für mich ist
    “Deutsche Sprache, schwere Sprache” 😉

  14. #16 Karl-Heinz
    29. November 2015

    @Michael Kunerth
    Anbei die Wertetabelle

    i       X        p(X= Xi)    E(kW|X = Xi)    E(kW|X = Xi)              E(W|X = Xi)     E(W|X = Xi)

                                                                      *p(X= Xi)                                          *p(X= Xi)         

    ———————————————————————————————————————–

    1    100        1/14        100                     7,14                                    200             14,29
    2    200        2/14        200                   28,57                                    250             35,71
    3    400        2/14        400                  57,14                                     500             71,43
    4    800        2/14        800                114,29                                   1000           142,86
    5    1600      2/14        1600              228,57                                   2000           285,71
    6    3200      2/14        3200              457,14                                   4000           571,43
    7    6400      2/14        6400              914,29                                   8000         1142,86
    8    12800    1/14      12800              914,29                                   6400          457,14
                           

    ∑ p(X= Xi)   =1                 

    E(kW) = ∑E(kW|Xi)*p(Xi)    =  2721,43                 
    E(W) = ∑E(W|Xi)*p(Xi)    =      2721,43         

    E(kW) Erwartungswert wenn nicht gewechselt wird.
    E(W)   Erwartungswert wenn gewechselt wird

  15. #17 Michael Kunerth
    30. November 2015

    @ Ulrich Berger & Karl-Heinz
    Danke für die Mühe! Aber genau in obiger Tabelle zeigt sich die Absurdität der Auswahl der Beträge – denn diese sind so konstruiert, dass jeweils der einfache Betrag des größeren G-Paares dem doppelten des kleineren entspricht, um Annas Annahme: “In der linken Schachtel ist ein bestimmter Geldbetrag, den ich jedoch nicht kenne. Nennen wir ihn X. Dann ist in der rechten Schachtel entweder X/2 drin oder 2X” zu entsprechen – doch dies trifft ja praktisch NIE zu (und wenn, müsste der Moderator diese Beträge eigentlich aus Fairnessgründen eliminieren)!
    Hier eine Tabelle mit Beträgen, die im Vergleich zur obigen nicht nach Annas Argument konstruiert und daher realistisch sind (von 120 bis 260 in 20er Schritten und abwechselnd l/r/r/l):
    Glinks – Grechts
    ———————
    120* – 240
    280 – 140*
    320 – 160*
    180* – 360
    200* – 400
    440 – 220*
    480 – 240*
    260* – 520
    ———————
    2280 = 2280
    Wie man sehen kann, gibt es hier links keine zwei gleichen Beträge. Das heißt, jedes einzelne G-Paar entspricht dem obigen “einfachen Beispiel” und daher ist es auch egal wo Ober- und Untergrenzen angesetzt werden, da jedes Paar in sich begrenzt ist. Man kann sich also in der linken Schachtel keinen – zumindest nicht ein und denselben – Betrag X vorstellen, von dem in der rechten Schachtel die Hälfte oder das Doppelte drinnen ist. Genau das steht ja auch in obiger Auflösung: “Dann ist X entweder € 100 oder € 200” und mit zwei verschiedenen X-Beträgen kann man nicht in einer Formel weiterrechnen, wenn man ein sinnvolles Ergebnis haben will. Daher meine Formulierung “… ist links 2X …”, denn so kann man wenigstens den Erwartungswert berechnen und erkennt, dass Wechseln nichts bringt.

  16. #18 Michael Kunerth
    1. Dezember 2015

    @ Ulrich Berger
    Um nicht weiterhin Kraut mit Rüben zu vermischen, mache ich einen neuen Anlauf:
    den Geldbetrag links bezeichne ich definitionsgemäß mit X und den rechts mit Y, den einfachen Betrag mit b und den doppelten mit 2b:
    X – Y
    ——-
    b – 2b (oder)
    2b – b
    Ist also X = b, dann ist Y = 2b. Dass p = 0 für Y = b/2 gilt ist trivial, da es b/2 ja gar nicht gibt – genauso gilt ja auch p = 0 für z.B. Y = b. Wesentlich ist aber, dass dies nur zu 50% der Fall ist! Das gleiche gilt umgekehrt natürlich auch für X = 2b (dass Y nicht 4b sein kann ist wiederum nicht erwähnenswert).
    Der Erwartungswert für X ist somit 3b/2 und ebenso für Y = 1/2(2b/2) + 1/2(2b) = 3b/2, also E(X) = E(Y) – Wechseln lohnt sich also nicht!
    Bei einer “fairen” Auswahl der Beträge, z.B.:
    X – Y
    ————–
    200 – 400
    440 – 220
    480 – 240
    260 – 520
    ————–
    1380 = 1380
    zeigt sich, dass dies (bei zufälliger Auswahl) immer gilt!
    Ich hoffe, dass hiermit der berechtigte Vorwurf der oben erwähnten Missinterpretation von X als “einfacher Betrag” ausgeräumt ist. Meine Beiträge #10 und #17 möge man bitte in dieser Hinsicht korrigiert sehen.

  17. #19 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Ich glaube Anna hat ihr Beispiel, mit der speziellen und sehr gemeinen Verteilung, extra für uns konstruiert, um bei uns Zweifel bei der Berechnung des Erwartungswertes aufkommen zu lassen, was ihr zumindest bei vielen (auch bei mir) gelungen ist. 😉

  18. #20 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Beispiel 1: Rechnen mit Erwartungswerten am Beispiel von Michael Kunerth

    Fragestellung: Wie groß ist der totale Erwartungswert des Geldbetrages, wenn zuerst geleichwahrscheinlich eine Schachtel aus den vier Schachteln und anschließend gleichwahrscheinlich das linke oder rechte Fach ausgewählt wird?

    ———————— linkes Fach……. rechtes Fach
    Schachtel1 ………… 200 € …………. 400 €
    Schachtel2 ………… 440 € …………. 220 €
    Schachtel3 ………… 480 € …………. 240 €
    Schachtel4 ………… 260 € …………. 520 €

    Lösung: p(Schachtel) =1/4, p(Fach) =1/2

    Erwartungswert (Schachtel) = LBetrag* p(Fach) + RBetrag*p(Fach)
    totaler Erwartungswert = ∑ E(schachtel) * p(Schachtel)
    totaler Erwartungswert =
    (200*0,5 + 400*0,5)*1/4 +
    (440*0,5 + 220*0,5)*1/4 +
    (480*0,5 + 240*0,5)*1/4 +
    (260*0,5 + 520*0,5)*1/4 = 345 €

  19. #21 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    Beispiel 2: Rechnen mit Erwartungswerten am Beispiel von Michael Kunerth
    Fragestellung: Wie groß ist der totale Erwartungswert des Geldbetrages, wenn zuerst gleichwahrscheinlich eine Schachtel aus den vier Schachteln und anschließend nur das linke/rechte Fach ausgewählt wird?
    ———————— linkes Fach……. rechtes Fach
    Schachtel1 ………… 200 € …………. 400 €
    Schachtel2 ………… 440 € …………. 220 €
    Schachtel3 ………… 480 € …………. 240 €
    Schachtel4 ………… 260 € …………. 520 €
    ——————————————————————————————-
    Lösung für links : p(Schachtel) =1/4, p(linkes Fach) =1 , p(rechtes Fach) =0
    Erwartungswert (Schachtel) = LBetrag* p(linkes Fach)
    totaler Erwartungswert = ∑ E(Schachtel) * p(Schachtel)
    totaler Erwartungswert =
    (200*1)*1/4 +
    (440*1)*1/4 +
    (480*1)*1/4 +
    (260*1)*1/4 = 345 € wenn nur das linke Fach gewählt wird
    ——————————————————————————————-
    Lösung für rechts : p(Schachtel) =1/4, p(linkes Fach) =0 , p(rechtes Fach) =1
    Erwartungswert (Schachtel) = RBetrag* p(rechtes Fach)
    totaler Erwartungswert = ∑ E(Schachtel) * p(Schachtel)
    totaler Erwartungswert =
    (400*1)*1/4 +
    (220*1)*1/4 +
    (240*1)*1/4 +
    (520*1)*1/4 = 345 € wenn nur das rechte Fach gewählt wird

    Die Erwartungswerte links und rechts sind bei diesem Beispiel
    zufällig gleich.

  20. #22 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    Beispiel 3: Rechnen mit Erwartungswerten am Beispiel von Michael Kunerth
    ———————— linkes Fach……. rechtes Fach
    Schachtel1 ………… 200 € …………. 400 €
    Schachtel2 ………… 440 € …………. 220 €
    Schachtel3 ………… 480 € …………. 240 €
    Schachtel4 ………… 260 € …………. 520 €

    Fragestellung:

    a)Wie groß ist der Erwartungswert des Geldbetrages, wenn zufällig 440 € ausgewählt wurde und man nicht wechselt?

    natürlich 440 €

    b)Wie groß ist der Erwartungswert des Geldbetrages, wenn zufällig 440 € ausgewählt wurde und man wechselt zum anderen Fach?

    natürlich 220 €

  21. #23 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Im Beispiel von Anna wurde geschlussfolgert, dass der Erwartungswert immer steigt, wenn man wechselt, was in deinem Beispiel ja nicht der Fall ist.
    E = 1,25 * ausgewählter Betrag

  22. #24 Michael Kunerth
    1. Dezember 2015

    @ Ulrich Berger
    Ich muss nun zugeben und mich dafür auch hiermit entschuldigen, dass meine Kommentare bisher wirklich höchstens gegenbeweislastig waren!
    Dafür präsentiere ich aber jetzt meine AUFLÖSUNG des Rätsels – wie gefordert – von Annas Annahme E(Y) = 5X/4 ausgehend:
    Es stimmt also tatsächlich, dass der Erwartungswert von Y, wenn man ihn von X aus berechnet, um 1/4 höher ist als X, da Anna natürlich recht hat, dass Y entweder X/2 oder 2X beträgt und beides gleich wahrscheinlich ist (hier war ich wirklich vernagelt!). Daher lässt sie sich auch verleiten, von ihrer ersten Wahl (linke Schachtel) auf die rechte Schachtel zu wechseln. Doch bedenkt sie nicht, dass durchschnittlich bei jedem ZWEITEN Ereignis bei Y – Annas E(Y) der “Verlust” = E(X) ZWEIMAL so hoch ist wie der “Gewinn” = E(X)/2. Und da ZWEI x ZWEI = VIER wird der vermeintliche Vorteil von X/4 bei einem Wechsel wieder wettgemacht. Ein Wechsel bringt also nichts – und das gilt IMMER. Siehe Tabelle unten (A’ bedeutet Annas):

    b……….X……….Y……..A’E(Y)…Y-A’E(Y)..E(X)
    ————————————————————–
    200……200……400……250……150…….300
    220……440……220……550…..-330…….330
    240……80……..240……600…..-360…….360
    260……260……520……325……195……390
    ————————————————————-
    Ds…….345……345……431.25..-86.25….345
    Vorraussetzung ist natürlich eine gleichverteilte Zufallsauswahl der Beträge.
    (Hiermit distanziere ich mich teilweise von meinen bisherigen Kommentaren).

  23. #25 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Darum ist Anna’s Beispiel ein sehr gemeines Beispiel 😉

  24. #26 Michael Kunerth
    1. Dezember 2015

    @ Karl-Heinz
    Danke für die vielen Beispiele! In Kommentar #24 habe ich meine Fehler zugegeben und mich sogar entschuldigt. Aber dafür habe ich eine neue AUFLÖSUNG des Rätsels angeboten. Bitte diese vorurteilsfrei und fachkundig zu beurteilen und mir gegebenenfalls Kritikpunkte an der “Beweisführung” mitzuteilen. Danke!

  25. #27 Karl-Heinz
    1. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Keine Ursache …
    Ich bin fasziniert davon, dass dich die Mathematik so interessiert 🙂
    Schönen Abend noch und lg

  26. #28 Michael Kunerth
    2. Dezember 2015

    Alternative AUFLÖSUNG des NOVEMBERRÄTSELS (Upgrade):

    b = einfacher Geldbetrag
    X = Geldbetrag linke Schachtel = b oder 2b
    Y = Geldbetrag rechte Schachtel = X/2 oder 2X
    A’E(Y) = Annas-Erwartungswert von Y = 5X/4
    Y-A’E(Y) = Mehr-/Minderbetrag von Y abzüglich Annas-Erwartungswert von Y
    E(X) = E(Y) = (X+Y)/2
    Ds. = Durchschnitt

    Annas Überlegungen sind dahingehend richtig, dass der Erwartungswert von Y, wenn man ihn von X aus berechnet, um 1/4 höher ist als X, da es stimmt, dass Y entweder X/2 oder 2X beträgt und beides gleich wahrscheinlich ist: A’E(Y) = 1/2(X/2) + 1/2(2X) = 5X/4.

    Daher lässt sie sich auch dazu verleiten, von der linken Schachtel, die ihre erste Wahl war, auf die rechte Schachtel zu wechseln.

    Doch bedenkt sie nicht, dass durchschnittlich bei der HÄLFTE der Fälle gegenüber Annas-Erwartungswert von Y ein Minderbetrag entsteht, der stets die HÄLFTE des Mehrbetrages (andere Hälfte) ausmacht.

    Da 1/2 x 1/2 = 1/4 beträgt, wird der vermeintliche Vorteil von X/4 bei einem Wechsel wieder aufgehoben – der Mehrbetrag entspricht immer nur dem halben, der Minderbetrag dem ganzen E(X) = E(Y):

    .Y….A’E(Y)..Y-A’E(Y)..E(X)=E(Y)
    ————————————————–
    X/2…5X/4….-3X/4…..(X+X/2)/2=3X/4
    2X….5X/4….+3X/4…..(X+2X)/2=3X/2
    ————————————————-

    Ein Wechsel bringt also nichts – und das gilt IMMER. Auch bei einer Ungleichverteilung ändert sich nichts an der Berechnung und ein etwaiger Gewinn/Verlust hat dann nur mit den ungleichen Durchschnittswerten von X und Y zu tun und nichts mit Annas-Erwartungswert
    von Y.

    Siehe Tabelle unten mit Gleichverteilung:

    ….b……..X……..Y…..A’E(Y)…Y-A’E(Y)…E(X)=E(Y)
    —————————————————————————
    100……100……200……125………75……150
    200……400……200……500……-300……300
    300……600……300……750……-450……450
    400……400……800……500…….300……600
    500……500…..1000……625…….375……750
    600…..1200……600…..1500……-900……900
    700…..1400……700…..1750….-1050…..1050
    800……800…..1600…..1000……600…..1200
    ————————————————————————-
    Ds…….675……675……843.75..-168.75…675
    …………………………………….=E(X)/4=X/4…bei Gleich-
    …………………………………….=E(Y)/4=Y/4…verteilung

  27. #29 Michael Kunerth
    2. Dezember 2015

    @ Ulrich Berger

    BITTE UM BEGUTACHTUNG VON #28

  28. #30 Michael Kunerth
    2. Dezember 2015

    @ Karl-Heinz

    Was hältst Du nun von meiner alternativen Auflösung des Novemberrätsels #28?

  29. #31 Michael Kunerth
    2. Dezember 2015

    @ Karl-Heinz

    Hier das Beispiel mit der konstruierten unrealistischen Verteilung (b ist eine geometrische Folge!) – der Durchschnitt von Y ist um 1/4 größer als X (5312.5 / 4250 = 1.25). So ist es klar, dass bei einem Wechsel von X auf Y der Betrag durchschnittlich um 1/4 größer ist und daher Annas Erwartungswert von Y entspricht – das wäre natürlich auch der Fall, wenn man gleich Y wählt!

    …….b………….X…………Y……….A’E(Y)…….Y-A’E(Y)…..E(X)=E(Y)
    ——————————————————————————————-
    …100………..200………..100……….250………-150…………150
    …200………..200……….400……….250……….150………….300
    …400………..800……….400………1000………-600…………600
    …800………..800………1600………1000……….600……….1200
    .1600………3200………1600………4000……..-2400……….2400
    .3200………3200………6400………4000………2400……….4800
    .6400……..12800………6400……..16000……..-9600……….9600
    12800……..12800……..25600……..16000………9600……..19200
    —————————————————————————————–
    Ds…………4250………5312.5…….5312.5……….0……….4781.25

  30. #32 Karl-Heinz
    2. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    Hallo Michael
    Bin gerade erst von der Arbeit nach Hause gekommen.
    Werde aber bis Morgen dein Beispiel angeschaut haben. Lg kh

  31. #33 Karl-Heinz
    3. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    Hallo Michael
    Ich stelle mal Annas Schachteln ins Netz. Auf der Basis kann man leichter argumentieren. In einer Schachtel befindet sich immer {B,2B} wobei B der kleinere Betrag ist.Jeder linker Wert kommt rechts genauso oft vor, damit links und rechts symmetrisch ist. Die Schachteln sind durchnummeriert, damit man auch einen speziellen Fall besser erläutern kann.

    ———————————————————–
                             linkes Fach       rechtes Fach
    Schachtel 1                   100                   200
    Schachtel 2                   200                   100
    Schachtel 3                   200                   400
    Schachtel 4                   400                   200
    Schachtel 5                   400                   800
    Schachtel 6                   800                   400
    Schachtel 7                   800                 1600
    Schachtel 8                 1600                   800
    Schachtel 9                 1600                 3200
    Schachtel 10               3200                 1600
    Schachtel 11               3200                 6400
    Schachtel 12               6400                 3200
    Schachtel 13               6400               12800
    Schachtel 14             12800                 6400
    ———————————————————–
    Summe                      38100               38100

  32. #34 Ulrich Berger
    3. Dezember 2015

    @ Michael Kunerth:
    Sorry, aber ich verstehe #28 nicht. Die Behauptung …
    “Annas Überlegungen sind dahingehend richtig, dass der Erwartungswert von Y, wenn man ihn von X aus berechnet, um 1/4 höher ist als X, da es stimmt, dass Y entweder X/2 oder 2X beträgt und beides gleich wahrscheinlich ist: A’E(Y) = 1/2(X/2) + 1/2(2X) = 5X/4”
    … ist jedenfalls falsch. Das haben wir bereits mit dem 100-200-Beispiel widerlegt.

    • #35 Michael Kunerth
      3. Dezember 2015

      @ Ulrich Berger
      Ich denke, Anna geht in ihren Überlegungen aufgrund der Angabe nicht vom 100-200-Beispiel aus, sondern von einem großen Betrags-Pool, aus dem jeweils zufällig ein Geldbetrag gezogen und in eine Schachtel gelegt wird, sowie in der anderen verdoppelt wird. Aufgrund des Münzwurfes ist gewährleistet, dass – wenn der Betrag in der linken Schachtel mit X bezeichnet wird – in der Hälfte aller Fälle in der rechten Schachtel X/2 und in der anderen Hälfte 2X liegt.

      • #36 Ulrich Berger
        7. Dezember 2015

        Nein, eben nicht. Das ist ja genau der Punkt dieses ganzen Beitrags hier: es gibt keine Betragsauswahlmethode, die dieses Ergebnis (“in der Hälfte aller Fälle in der rechten Schachtel X/2 und in der anderen Hälfte 2X”) gewährleistet.

        • #37 Michael Kunerth
          7. Dezember 2015

          Ja, danke für die Antwort – ich habs jetzt endlich auch geschnallt!

  33. #38 Karl-Heinz
    3. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    Bei der Argumentation beziehe ich mich auf die vorangegangene Tabelle. In der Schachtel befindet sich immer {B,2B} wobei B der kleinere Betrag in der Schachtel ist.
    Ich kann jetzt nach dem Erwartungswert fragen, wenn ich sowohl die Schachtel als auch das Fach zufällig auswähle. Der Erwartungswert E= 0,5*B + 0,5*(2B) = 1,5*B.
    Jetzt kann ich die Frage stellen, ob ich tauschen soll oder nicht. Die Mathematik gibt in diesem Fall die salomonische Antwort: Ziehst du B gewinnst du B dazu, hast du aber 2B gezogen verlierst du B.
    Also in diesem Fall bringt das Tauschen nichts, da (+/-B).
    Und jetzt kommt der Hammer.
    Ich wähle zufällig die Schachtel 4 und es wird mir mitgeteilt, dass ich 400 € gezogen habe. Auch jetzt kann ich mir die Frage stellen ob ich tauschen soll oder nicht. Die 400 Euro kommen in den Schachteln (3,4,5,6) vor. Ich weiß natürlich nicht in welche dieser Schachtel die 400 Euro vorkommen.
    ——————————————
    Schachtel 3      200      400
    Schachtel 4      400      200
    Schachtel 5      400      800
    Schachtel 6      800      400
    ——————————————
    Der Erwartungswert, wenn ich bei den 400 € bleibe ist 400 €
    Tausche ich aber, dann ist der Erwartungswert 2/4*200 + 2/4*800 = 2/4(200+800) = 1/2*1000 = 500 €
    Also 400*1,25 = 500 € also genau Annas Überlegung. Die Mathematik rät mir in diesem Fall zu tauschen, da sich durch das Tauschen eine höhere Gewinnerwartung habe.
    Ist ein bisschen wie in der Quantenphysik. Weiß ich den zuerst ausgewählten Betrag nicht, bringt das Tauschen nichts. Wird mir aber mitgeteilt welchen Wert ich gezogen habe, kann ich meinen Gewinn um 25% erhöhen, wenn ich tausche. Und das Beste kommt noch. Anna tut nur so ob sie den Wert kennt. Kann die Anna ihre Gewinnerwartung dadurch steigern, dass sie nur so tut, ob sie denn Wert kennt und anschließend tauscht?
    In Annas Überlegung steckt natürlich ein Fehler:
    Hinweis: Wie groß ist der Erwartungswert, wenn ich zufällig 100 € ausgewählt habe und anschließend tausche. Wie groß ist der Erwartungswert, wenn ich zufällig 12800 € ausgewählt habe und anschließend tausche.

    • #39 Michael Kunerth
      3. Dezember 2015

      Hallo Karl-Heinz!
      Bei 100 € ist der Erwartungswert wohl 200 €, bei 12800 € ist er 6400 € – weil beides Grenzbeträge sind.
      Eine Frage: Macht es einen Unterschied, wenn der Moderator Anna zuerst eine Schachtel auswählen lässt, dann (ohne, dass sie es sieht) den Betrag hineinlegt und in die andere Schachtel (aufgrund eines Münzwurfes) entweder den halben oder den doppelten Betrag und Anna es anschließend freistellt zu wechseln?
      LG Michael

  34. #40 Karl-Heinz
    4. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Richtig gerechnet Gratulation 🙂
    Kurze Anmerkung:

    Für unsere Überlegung habe ich ein Beispiel mit 14 Schachteln (mit einem linken und rechten Fach) konstruiert. Anna wählt eine beliebige Schachtel mit dem linken Fach aus und hat dann die Möglichkeit in das rechte Fach zu wechseln.
    Ebenso gut könnte ich 7 Schachteln mit je zwei Briefumschläge konstruieren. Anna wählt eine beliebige Schachtel mit einem Briefumschlag aus und hat dann die Möglichkeit zum anderen Briefumschlag zu wechseln. Beide Szenarien sind gleichwertig. Das zweite ist aber etwas komplizierter.

    Um zu berechnen, ob sich das Wechseln lohnt, muss man den totalen Erwartungswert für das Nicht-wechseln oder Wechseln ausrechen und miteinander vergleichen.
    —————————————
    E_total (Nicht_Wechseln) =?
    E_total(Wechseln)=?
    —————————————

    Also den Erwartungswert E_Schachtel(i) mit der Wahrscheinlichkeit p(i) mit der die Schachtel ausgewählt multiplizieren und anschließend die Beträge von E_Schachtel(i)* p(i) aufsummieren.
    Wenn man annimmt, das die Schachteln zufällig ausgewählt werden, handelt es sich um eine diskrete Gleichverteilung für die Schachteln und bei 14 Schachteln ist p(i) = 1/14.
    Frage: Wie groß sind die beiden Erwartungswerte?

  35. #41 Karl-Heinz
    4. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Ich möchte deine Frage mit deiner Erlaubnis etwas umformulieren.
    Anna wählt eine beliebige Schachtel mit dem linken Fach aus und der Moderator entscheidet dann durch einen Münzwurf, ob er den halben oder doppelten Betrag in die rechte Box gibt. Anna steht dann die Möglichkeit frei in das rechte Fach zu Wechseln.
    ——————————————
    Beispiel mit 4 Schachteln

                             linkes Fach
    Schachtel1              100
    Schachtel2              200
    Schachtel3              400
    Schachtel4              800
    ——————————————

    Frage1: Wie groß ist der Erwartungswert für die einzelnen Schachteln, wenn nicht gewechselt wird bzw. wenn gewechselt wird?

    Frage2: Wie groß ist der totale Erwartungswert wenn „nie gewechselt wird“ bzw. wenn „immer gewechselt“ wird?

    Frage3: Gilt für diesen Fall Annas Annahme, dass beim Wechseln immer gilt E =1,25*X für alle X?

    Frage4: Soll Anna bei diesem immer Beispiel wechseln?

    Hinweis: Falls du auf die Idee kommst mit bedingte Erwartungswerte E(kW|X) bzw. E(W|X) zu rechnen, der Definitionsbereich von X ist {€ 100, € 200, € 400, € 800}

    lg Karl-Heinz

  36. #42 Karl-Heinz
    4. Dezember 2015

    @Michael Kunerth

    Sorry: schwerer Fehler von mir in #38.

    Für die Berechnung des totale Erwartungswertes
    muss die Wahrscheinlichkeit p(i) verwendet werden.
    p(i) von X … ist Wahrscheinlichkeit mit der X auftritt.
    Die Zufallsvariable kann sowohl die Schachtel selbst als auch der Betrag in der linken Schachtel sein.

    lg kh

  37. #43 Karl-Heinz
    4. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    —- Frage von Michael —
    Macht es einen Unterschied, wenn der Moderator Anna zuerst eine Schachtel auswählen lässt, dann (ohne, dass sie es sieht) den Betrag hineinlegt und in die andere Schachtel (aufgrund eines Münzwurfes) entweder den halben oder den doppelten Betrag und Anna es anschließend freistellt zu wechseln?
    ————————————————
    Antort:
    Wenn Anna den Betrag nicht kennt macht es keinen Unterschied, ob sie Wechsel oder nicht.
    Falls die Anna den Betrag kennt, sagen wir es handelt sich 1.000.000 €, denkt sie sofort, dass die von der wöchentlichen Gameshow nicht ganz dicht sind und wechselt nicht mehr. 😉

  38. #44 Karl-Heinz
    4. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    —- Frage von Michael —
    Macht es einen Unterschied, wenn der Moderator Anna zuerst eine Schachtel auswählen lässt, dann (ohne, dass sie es sieht) den Betrag hineinlegt und in die andere Schachtel (aufgrund eines Münzwurfes) entweder den halben oder den doppelten Betrag und Anna es anschließend freistellt zu wechseln?
    ————————————————
    Antwort:

    Wenn Anna den Betrag nicht kennt macht es keinen Unterschied, ob sie Wechselt oder nicht.

    Falls die Anna den Betrag kennt, sagen wir es handelt sich eine Million €, denkt sie sofort, dass die Leute von der wöchentlichen Gameshow nicht ganz dicht sind, und wechselt nicht mehr.

  39. #45 Karl-Heinz
    4. Dezember 2015

    @Michael Kunerth
    —- Frage von Michael —

    Macht es einen Unterschied, wenn der Moderator Anna zuerst eine Schachtel auswählen lässt, dann (ohne, dass sie es sieht) den Betrag hineinlegt und in die andere Schachtel (aufgrund eines Münzwurfes) entweder den halben oder den doppelten Betrag und Anna es anschließend freistellt zu wechseln?
    ————————————————
    Antwort:

    Sorry ich muss mich wieder korrigieren.
    Ja es macht einen Unterschied.
    uB … ist der unbekannte Betrag.
    E(nicht wechseln) = (uB)
    E(wechseln) = 0,5*(uB/2) + 0,5(2*uB) = 1,25*uB

    Dein Fall weicht von der wöchentlichen Gameshow ab!!!!
    In der wöchentlichen Gameshow “Doppelt oder halb” bekommt ein Kandidat vom Moderator zwei verschlossene und undurchsichtige Schachteln vorgelegt, eine links und eine rechts. In einer der beiden Schachteln befindet sich ein unbekannter Geldbetrag und in der anderen das Doppelte dieses Geldbetrags. Die Position der Schachteln ist dabei zufällig, sie wird durch einen Münzwurf ermittelt. Der Kandidat darf eine Schachtel auswählen und den Inhalt als Gewinn behalten. Nachdem der Kandidat seine Entscheidung getroffen und verkündet hat, bekommt er vom Moderator stets eine letzte Chance, seine Entscheidung noch einmal zu überdenken und auf die andere Schachtel zu wechseln.

    Lg KH

    • #46 Michael Kunerth
      5. Dezember 2015

      Hallo Karl-Heinz!
      Es können sich Randbereiche nicht auswirken, da immer die Möglichkeit von X/2 bzw. 2X besteht. Durchschnittlich wird Y/X=1.25 sein – wie von Anna vermutet!
      LG Michael

  40. #47 Karl-Heinz
    5. Dezember 2015

    @Michael Kunerth zu #44
    Stimmt
    Diesmal war ich vernagelt.
    lg KH

  41. #48 Karl-Heinz
    5. Dezember 2015

    @Michael Kunerth zu #44

    Anstatt Y/X musst du schreiben E(wechseln)/E(nicht wechseln) = 1,25 damits richtig ist.

    lg kh

    • #49 Michael Kunerth
      6. Dezember 2015

      Ja, da hast Du recht – ich gehe immer von der Auswahl der linken Schachtel aus!
      LG Michael

  42. #50 Ulfi
    8. Dezember 2015

    @Ulrich berger
    “Das ist aber gültiges kein Argument gegen die Berechnung des Erwartungswerts. Z.B. berechnet man den Erwartungswert für die Augenzahl A beim Würfeln unstrittigerweise als E(A) = 1/6*1+1/6*2+…+1/6*6 = 3,5. Dein analoges “Gegenargument” würde hier lauten: “Wenn man bereits die 4 gewürfelt hat, befindet sich in der Formel der Wert 1 drin, der aber nicht mehr eintreten kann, weil man ja bereits die 4 hat.””

    Nein, dem widerspreche ich. Denn wenn der Würfel 6 Seiten hat und im erwartungswert nur werte 1-6 vorkommen, ist alles okay. In deinem Beispiel, übertragen auf den Würfel, standen im Erwartungswert aber nicht nur die Wertigkeiten von 1-6 sondern 2,4,6,8,10 und 12, offensichtlich ist das kaputt, wenn der würfel nur zahlen 1-6 hat. Nur weil die 6 auf dem Würfel ist, heisst es nicht, dass die 12 auch drauf ist.

    Und nur weil ich aus dem (100$, 200$) boxpaar die 300$ gezogen hab, heisst es nicht, dass es noch eine 400$ box gibt.

  43. #51 Ulfi
    8. Dezember 2015

    sed -i s/300/200g

  44. #52 Ulfi
    8. Dezember 2015

    Hmm. Noch einen Nachtrag.

    Schauen wir uns mal eine Variante des Experiments an, dann wird vielleicht klarer, warum ich so rum denke:

    Stellen wir uns ein ähnliches experiment vor. Die Gewinne sind die Potenzen von 2: 1,2,4,8,16,32,64,128. Die Boxen enthalten immer ein Paar von benachbarten Gewinnen. Nun zieht unsere Protagonistin eine der beiden Boxen und der Moderator der Spielshow gibt ihr die Information: Sie haben weder die 1 noch die 128€ gewonnen! Sollte sie jetzt wechseln? Ja! Und zwar exakt mit ihrer initialen Begründung: durch die Zusatzinformation des Moderators weiß sie, dass sie in keinem Eckfall sein kann, also entweder sie verdoppelt ihr momentanes X oder sie halbiert es und der Erwartungswert des wechsels ist 1.5X. Gibt der Moderator die Zusatzinformation nicht, dann macht es auf einmal keinen Sinn mehr zu wechseln, da der verlust der 128 allein so schwer wiegt, wie alle anderen möglichen Gewinne zusammen.

    Das sollte hinreichend begründen, warum ich so sehr auf den Wertebereich abfahre – der ist fundamental wichtig.

  45. #53 Karl-Heinz
    9. Dezember 2015

    test test