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Wurden die Wahlen im Iran manipuliert? Und kann man das anhand der nackten Zahlen mittels Benford’s Law nachweisen? Georg Hoffmann hat da seine Zweifel. Doch der Astrophysiker Boudewijn F. Roukema meint JA. Was Benford’s Law ist und wieso Roukema glaubt, den Wahlbetrug damit nachweisen zu können, erklärt sein Kollege und Science Buster Prof. Dr. Heinz Oberhummer in diesem Gastbeitrag.

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Wahlbetrug im Iran?

Die Wahl zum iranischen Präsidenten am 12. Juni 2009 brachte laut dem iranischen Innenministerium folgendes Ergebnis:

Ahamdinejah (A): 24.527.516 (62,63%)

Mousavi (M): 13,216.411 (33,75%)

Rezaee (R): 678.244 (1,73%)

Karroubi (K): 333.635 (0,85%)

Der Astrophysiker Boudewijn F. Roukema von der Nicolaus Copernicus
Universität in Torun, Polen, analysierte die Wahlergebnisse der Wahl mit
Hilfe des Benfordschen Gesetzes. Seine Folgerung ist, dass die Wahl
mit großer Wahrscheinlichkeit nicht korrekt
durchgeführt sondern manipuliert wurde.

Der
Iran hat eine große mathematische Tradition und Iraner haben die
Algebra entscheidend weiter entwickelt und verfeinert. Das Wort Algebra
stammt sogar aus dem Persischen. Es ist wichtig für die Bevölkerung im
Iran, dass es nun auch eine wissenschaftliche Grundlage gibt, die den
Wahlbetrug nachweisen kann. Dafür kann man B. F. Roukema nicht genug
danken.

Was ist das Benford’sche Gesetz?

Das
Benford’sche Gesetz beschreibt die Verteilung von 1 bis 9 in der
vordersten Ziffer von Datensätzen. Intuitiv würde man annehmen, dass
die Ziffern 1 bis 9 alle gleich oft an vorderster Stelle stehen. Das
ist der Fall, wenn man z.B. alle Zahlen von 1 bis 9 oder 11 bis 99
verwendet. Für diese beiden Datensätze kommen die Zahlen von 1 bis 9 an
der vordersten Stelle gleich oft vor. Meistens ist das aber nicht der Fall:
Zum Beispiel kommt im Datensatz von 1 bis 19 die Zahl 1 an erster
Stelle in mehr als der Hälfte der Fälle vor. Für genügend große
Datensätze erscheint folgendes Muster: die 1 ist an vorderster Stelle
mit einer Wahrscheinlichkeit von 30,1%, die 2 mit 17,6%, etc.
vertreten, während die 9 nur mehr mit 4,6% erscheint. Diese Verteilung
nennt man nach seinem Entdecker das Benford’sche Gesetz.

Das
Benford’sche Gesetz gilt für eine überraschend große Anzahl von
Datensätzen. Dazu gehören z.B. Einwohnerzahlen von Orten, Auflagenzahlen
von Zeitschriften, Zahlen in beliebigen Artikeln, Zahlen in
Sportstatistiken, Börsendaten, Volkszählungen, Kassenbons im
Supermarkt, etc. Das Benford’sche Gesetz wird auch verwendet um
Manipulationen an Steuerdaten, Versicherungsforderungen, Buchhaltung
etc. aufzudecken.

Das Benford’sche
Gesetz gilt auch für die Verteilung der Stimmen eines Kandidaten in
verschiedenen Wahlbezirken. Abweichungen vom Benfordschen Gesetz
deuten auf nicht korrekte Wahlen oder Wahlmanipulationen hin.

Sind die Ergebnisse der Iranwahl 09 vereinbar mit dem Benford’schen Gesetz?

Nein!
Die Wahlstimmen der einzelnen Kandidaten in den 266 Wahlsprengeln des
Iran erfüllen nicht das Benfordsche Gesetz. Die augenscheinlichste
Abweichung scheint in der überproportionalen Häufigkeit der 7 an erster
Stelle des viert-platzierten Kandiaten K auf. Das könnte man zum
Beispiel erreichen, wenn man in einem einzelnen Wahlbezirk 57.000
Stimmen für Kandidat K durch 7.000 Stimmen ersetzt und die so
gewonnenen 50.000 Stimmen dem Kandidaten A zuschlägt.

Wie viele Stimmen könnten manipuliert sein?

Es
kann sich um viele Millionen Stimmen handeln, die durchaus in der
Größenordnung des Stimmenvorsprungs des ersten Kandidaten gegenüber dem
zweiten liegen könnten. Allerdings kann mit Hilfe des Benford’schen
Gesetz nicht gesagt werden, wie viele Millionen Stimmen genau
manipuliert wurden.

Könnte man eine neue, gerechte Stimmenauszählung durchführen?

Das
ist eigentlich ganz einfach: Man untersucht zumindest diejenigen 41
Wahlbezirke, in denen die abgegebenen Stimmen für den Kandidaten K eine
7 an der vordersten Stelle hat. Man findet dort mit an Sicherheit
grenzender Wahrscheinlichkeit Wahlfälschung, inkorrekte Auszählung oder
Wahlmanipulation. Stichprobenartige Neuauszählungen, wie vom Wächterrat
angekündigt, sind kaum sinnvoll. Der Wächterrat könnte sogar die obigen
suspekten Wahlbezirke bewusst nicht neu auszählen lassen.

Könnte man Wahlen auch so manipulieren, dass das Benford’sche Gesetz erfüllt ist?

Klar,
man muss ich nur etwas in Mathematik auskennen. Dem Wächterrat traue
ich das nicht zu. Wie man das machen könnte, werde ich daher hier nicht
weiter ausführen.

Originalarbeit von B.F. Roukema und Kritik

Originalarbeit von B.F. Roukema:

B.F. Roukema, Benfords Law Anomalies in the 2009 Iranian Election, submitted to Annals of Applied Statistics

Es
gibt allerdings auch Bedenken in die Richtung, dass das Benford’sche
Gesetz für die Verteilung der Wählerstimmen der Kanditaten bei der
Iranwahl 09 nicht unbedingt gelten muss: Princeton Election Consortium

Dort finden Sie jedenfalls weitere Kommentare und
wissenschaftliche Analysen zum wahrscheinlichen Wahlbetrug bei der
Iranwahl 09.

[Anm. UB: Thilo Kuessner hat darauf hingewiesen, dass es auch andere kritische Stimmen gibt, etwa in diesem Artikel in der Washington Post.]

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Kommentare (11)

  1. #1 Feldspat
    24. Juni 2009

    Das war mal wirklich interessant. Von Benford’s Law hab ich vorher noch nie was gehört.

  2. #2 Marc
    24. Juni 2009

    Auch Georg von Primaklima hat sich mit den Wahlergebnissen auseinandergesetzt und dabei auch Benfords Law berücksichtigt. Er kommt allerdings – soweit ich sehe – zu einem anderen Ergebnis. Hier: Wie ich mal den Wahlbetrug im Iran eindeutig nachgewiesen habe!

  3. #3 ali
    24. Juni 2009

    @Marc
    Siehe erster Link im Post 😉

  4. #4 Marc
    24. Juni 2009

    @ali und alle:

    Oh, entschuldigt, wie dusselig. Ich habe den Vorspann nur überflogen und dann erst beim “richtigen” Artikel begonnen. Dennoch halte ich meine Linkempfehlung auf Georgs Text aufrecht. 🙂

  5. #5 Heinz Oberhummer
    24. Juni 2009

    Es gibt im Prinzip zwei Möglichkeiten, um einen möglichen Wahlbetrug zu untersuchen:

    1. Man untersucht die letzten Stellen der Wahlergebnisse. Diese sollten im Mittel gleich verteilt sein. Die Analyse dieser Wahlergebnisse weist auf Wahlbetrug hin. Eine gute Übersicht darüber liefert der Artikel der Washington Post:
    http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2009/06/20/AR2009062000004.html

    2. Man untersucht die ersten Stellen der Wahlergebnisse. Hier gilt für viele Datensätze das Benford’sche Gesetz. Im folgenden Text von Georg Hoffmann wurde richtig auf eine Übereinstimmung der Stimmenzahlen in den einzelnen Wahlbezirken mit dem Benford’schen Gesetz für die beiden bestplatzierten Kandidaten Ahmadinejad und Mousavi geschlossen:
    http://www.scienceblogs.de/primaklima/2009/06/wie-ich-mal-den-wahlbetrug-im-iran-eindeutig-nachgewiesen-habe.php

    Die dortige Schlussfolgerung, dass sich damit ein möglicher Wahlbetrug dadurch in Luft aufgelöst hat, ist jedoch voreilig.

    Eine Untersuchung aller vier Kandidaten findet man in der Arbeit von R.F. Roukema:
    http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0906/0906.2789v2.pdf

    Wie B.F. Roukema in dieser Arbeit zeigt, sind die Abweichungen für die beiden erst-platzierten Kandidaten Ahmadinejad und Mousavi vom Benford’schen Gesetz tatsächlich kaum aussagekräftig. Erst beim viert-platzierten Kandidaten Karroubi tritt eine Anomalie dadurch auf, dass die 7 an erster Stelle verglichen mit dem Benford’schen Gesetz überproportional oft in den Wahlbezirken vorkommt. Das legt Wahlbetrug nahe.

    Inzwischen hat R.F. Roukema seine Arbeit noch erweitert. Seine Analyse legt nahe, dass allein in den drei stimmenstärksten Wahlbezirken, welche die Anomalie mit der 7 des viert-platzierten Kandidaten zeigen, die Differenz zwischen den ersten beiden Kandidaten sich um etwa eine Millionen reduziert.

  6. #6 Roland
    24. Juni 2009

    Infos zu Benford’s Law gibts auch in Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Benfordsches_Gesetz. Interessant!

  7. #7 Christian A.
    24. Juni 2009

    Linki schon im Text, probier mal den zweiten 😉

  8. #8 Heinz Oberhummer
    26. Juni 2009

    Der Einwand, dass das Benfordsche Gesetz eventuell für die Wahl im Iran nicht gelten sollte, weil die einzelnen Wahlbezirke ähnliche Stimmzahlen haben, scheint nun sehr unwahrscheinlich. Die Stimmenzahlen der Wahlkreise schwanken zwischen mehreren Zehnerpotenzen – eine wichtige Voraussetzung für die Benfordsche Verteilung.

  9. #9 Günther Pökl
    28. Januar 2010

    Roukema ist Astrophysiker; er hat für sein Fachgebiet das Recht, dem benfordschen Phänomen (denn Gesetz ist es längst keines) nahezu uneingeschränkt zu huldigen.
    Ganz so einfach, wie es sich die meisten Autoren machen, die über das benfordsche Phänomen schreiben (zumeist schreiben sie nur ab), liegt die Sache mit dem benfordschen phänomen nämlich nicht. Erst wenn die Standardabweichung der dekadischen Logarithmen der Wahlergebnisse einen von der Verteilung der Daten abhängigen Wert überschreitet (bei logarithmischer Normalverteilung der Daten wäre das ab einer Standardabweichung der logarithmierten Daten von >0.74), gilt das benfordsche Phänomen im Rahmen zweistelliger Dezimalgenauigkeit uneingeschränkt.
    Das entspricht etwa einem lognormalverteilten Datensatz mit einem Maximum von 50.000 Minima (z.B. min = 10; max = 500.000). Solche datenmäßige Voraussetzungen gibt es gar nicht so häufig wie man glaubt. In der Astronomie ist diese Grundvoraussetzung freilich zumeist erfüllt. Auf der Erde weitaus seltener. Daher sind bei Benfordanalysen auf der Erde, die Probleme bei Daten wittern, recht oft die Benfordanalysen das Problem und nicht die Daten. Also Vorsicht: Benford ist kein Naturgesetz. Es ist ganz logisch erklärbar, nur hat es immer wieder den Anschein, wenn ich in die Bücher oder ins Web gucke, ich bin entweder der einzige, der das bis jetzt verstanden hat, oder die anderen publizieren es auch nicht.

  10. #10 Günther Pökl
    28. Januar 2010

    Roukema ist Astrophysiker; er hat für sein Fachgebiet das Recht, dem benfordschen Phänomen (denn Gesetz ist es längst keines) nahezu uneingeschränkt zu huldigen.
    Ganz so einfach, wie es sich die meisten Autoren machen, die über das benfordsche Phänomen schreiben (zumeist schreiben sie nur ab), liegt die Sache mit dem benfordschen phänomen nämlich nicht. Erst wenn die Standardabweichung der dekadischen Logarithmen der Wahlergebnisse einen von der Verteilung der Daten abhängigen Wert überschreitet (bei logarithmischer Normalverteilung der Daten wäre das ab einer Standardabweichung der logarithmierten Daten von >0.74), gilt das benfordsche Phänomen im Rahmen zweistelliger Dezimalgenauigkeit uneingeschränkt.
    Das entspricht etwa einem lognormalverteilten Datensatz mit einem Maximum von 50.000 Minima (z.B. min = 10; max = 500.000). Solche datenmäßige Voraussetzungen gibt es gar nicht so häufig wie man glaubt. In der Astronomie ist diese Grundvoraussetzung freilich zumeist erfüllt. Auf der Erde weitaus seltener. Daher sind bei Benfordanalysen auf der Erde, die Probleme bei Daten wittern, recht oft die Benfordanalysen das Problem und nicht die Daten. Also Vorsicht: Benford ist kein Naturgesetz. Es ist ganz logisch erklärbar, nur hat es immer wieder den Anschein, wenn ich in die Bücher oder ins Web gucke, ich bin entweder der einzige, der das bis jetzt verstanden hat, oder die anderen publizieren es auch nicht.

  11. #11 Günther Pökl
    28. Januar 2010

    Roukema ist Astrophysiker; er hat für sein Fachgebiet das Recht, dem benfordschen Phänomen (denn Gesetz ist es längst keines) nahezu uneingeschränkt zu huldigen.
    Ganz so einfach, wie es sich die meisten Autoren machen, die über das benfordsche Phänomen schreiben (zumeist schreiben sie nur ab), liegt die Sache mit dem benfordschen phänomen nämlich nicht. Erst wenn die Standardabweichung der dekadischen Logarithmen der Wahlergebnisse einen von der Verteilung der Daten abhängigen Wert überschreitet (bei logarithmischer Normalverteilung der Daten wäre das ab einer Standardabweichung der logarithmierten Daten von >0.74), gilt das benfordsche Phänomen im Rahmen zweistelliger Dezimalgenauigkeit uneingeschränkt.
    Das entspricht etwa einem lognormalverteilten Datensatz mit einem Maximum von 50.000 Minima (z.B. min = 10; max = 500.000). Solche datenmäßige Voraussetzungen gibt es gar nicht so häufig wie man glaubt. In der Astronomie ist diese Grundvoraussetzung freilich zumeist erfüllt. Auf der Erde weitaus seltener. Daher sind bei Benfordanalysen auf der Erde, die Probleme bei Daten wittern, recht oft die Benfordanalysen das Problem und nicht die Daten. Also Vorsicht: Benford ist kein Naturgesetz. Es ist ganz logisch erklärbar, nur hat es immer wieder den Anschein, wenn ich in die Bücher oder ins Web gucke, ich bin entweder der einzige, der das bis jetzt verstanden hat, oder die anderen publizieren es auch nicht.