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Anmerkungen zum israelischen Lottowunder

Von / 21. Oktober 2010 / 33 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich innerhalb von – sagen wir – 50 Jahren eine irgendwo auf der Welt gezogene Zahlenkombination in irgendeinem Lotto innerhalb eines “ungewöhnlich kurzen” Zeitraums von – sagen wir – 3 Monaten – wiederholt?

Die Mühe, das abzuschätzen, mache ich mir jetzt nicht. Aber die Antwort dürfte ziemlich nahe bei 1 liegen… Mehr zur Thematik gibt’s hier. Wer trotzdem gerne an “Lottowunder” glauben will, dem gefällt sicher das hier 😉

(*) Nicht wirklich, denn wenn z.B. dreimal hintereinander dieselben Zahlen gezogen werden sollten, dann würde die israelische Lotterie vermutlich aufgelöst…

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Kommentare (33)

  1. #1 Patrick
    21. Oktober 2010

    Boah, du kannst mir bestimmt helfen! Gestern (!) hatte ich das Phänomen, dass ich bei meinem iPod Zufallstitel hörte. Ich habe eine Liste von 17 Liedern, die ich zum Aufwachen immer in derselben Reihenfolge höre, und insgesamt 278 Lieder, die in zufälliger Reihenfolge abgespielt wurden – allerdings müssen m.W. alle Lieder einmal durchgespielt werden, bevor ein Titel sich wiederholen kann.

    Nun spielte der iPod ein Lied aus der Playliste – und direkt danach das auch in der Liste folgende! Zuerst fand ich das super, dann dachte ich: ist das überhaupt etwas Besonderes? Immerhin habe ich nur eine Liste, die ich in Reihenfolge höre, was die Auswahl etwas einschränkt. Und natürlich ist die Frage nicht, wie wahrscheinlich es ist, dass *irgendeinem* iPod-Hörer so was passiert, das ist dann ja wohl eh alltäglich.

    Ich habe das bei facebook gefragt und die bislang plausibelste Lösung scheint mir:

    “Du hast 16 Lieder, denen jeweils eines aus der Liste folgen kann, d.h. 16 “richtige” Paarungen aus 16! möglichen Paarungen, also 15! Möglichekeitenbei 278 Versuchen d.h. 278 / 15! ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 278 gehörten Songs 2 in der ursprünglichen Abfolge vorkommen.”

    Stimmt das?

  2. #2 Ulrich Berger
    21. Oktober 2010

    @ Patrick:

    Glaub ich kaum. Kommt aber drauf an, was die Frage genau ist. Ich fürchte ich hab’s nicht ganz verstanden. Ist es diese?

    Aus 278 Liedern werden zwei nacheinander zufällig gewählt (ohne Zurücklegen). Was ist die W., dass diese beiden auch in der 17er-Playlist sind, und zwar direkt hintereinander in derselben Reihenfolge?

    Oder diese?

    Ein Lied aus den ersten 16 Titeln der 17er-Playlist wurde gespielt. Dann wird aus 278 Liedern eines zufällig gewählt. Was ist die W., dass dieses ebenfalls in der 17er-Playlist ist, und zwar direkt auf das erste folgend?

  3. #3 Patrick
    21. Oktober 2010

    Ich glaube, die erste – aber die Frage gilt dann ja für alle Durchläufe.

    Bei 278 Titeln in der Wiedergabe kann es also sein, dass der 93. Titel in der 17er-Liste vorkommt, und der 94. dann auch in der Liste folgen würde. Wobei ja dann für den 94. nur noch aus 184 Titeln gewählt würde.

  4. #4 H.M.Voynich
    21. Oktober 2010

    “W(Z1=K oder Z2=K oder … oder Z8=K)”
    ist mir immer noch zu spezifisch.
    Ich würde nach W(Zx=Zy) fragen, mit x,y Element von 1 bis 8 und x≠y.
    Damit dürfte die Wahrscheinlichkeit grob übern Daumen noch eine Größenordnung höher sein.

  5. #5 Ulrich Berger
    21. Oktober 2010

    @ H.M. Voynich:
    Ja, das wäre natürlich genauso legitim oder sogar noch naheliegender.

    @ Patrick:
    Also wenn man alle 278 Titel in zufälliger Reihenfolge durchhört, dass dann mindestens einmal ein “Pärchen” auftaucht, das auch in der 17er-Playlist ein Pärchen ist? Bin grad zu faul zum Nachrechnen, aber das ist jedenfalls keine sehr kleine Wahrscheinlichkeit.

  6. #6 kommentarabo
    21. Oktober 2010

    …

  7. #7 H.M.Voynich
    21. Oktober 2010

    Hab den Daumen doch noch kurz durchgerechnet: ich komme auf 1 zu 86.102.

  8. #8 Patrick
    21. Oktober 2010

    Ja, genau. Und ich dachte auch, allzu klein ist die Wahrscheinlichkeit bestimmt nicht 🙂

    Meine Überschlagsrechnung (nur zum Beweis, dass ich Geisteswissenschaftler bin) war übrigens: grob 14 passende “abfolgen” bei groß 280 Abfolgen insgesamt: 14/280 = 5%

    Ja, schon klar, das ist pseudo-Mathe, aber ich hab was gerechnet!

  9. #9 H.M.Voynich
    21. Oktober 2010

    Korrektur: 1 zu 83.028
    (Hatte versehentlich 27 im Exponenten statt 28.)

  10. #10 Ulrich Berger
    21. Oktober 2010

    @ Patrick:
    Also ich komme auf etwa 11%.

    @ H.M. Voynich:
    Das ist korrekt.

  11. #11 H.M.Voynich
    22. Oktober 2010

    Cool … *stolz wie Oskar*
    Hatte Stochastik nie in der Schule, aber das ermuntert mich zum weitermachen:
    Die Lotterien von 100 Ländern innerhalb von 52 Wochen sind 10.400 Ereignisse, für die es 1+2+3+…+10399 mögliche Paarungen gibt. Der Exponent 8 würde also durch 54.074.800 ersetzt, richtig?
    50 Jahre sind gar nicht nötig. 😉

  12. #12 H.M.Voynich
    22. Oktober 2010

    Noch zur Begründung, warum ich die Ziehung K da raus haben wollte:
    Wenn nicht die erste Ziehung mit der neunten übereinstimmt, sondern die achte mit der neunten, dann wäre das doch noch viel sensationeller, würde von Dir aber nicht mitgezählt werden.
    Und jetzt merke ich, wie wichtig das war, weil die Paarbildung den Exponenten so richtig schön explodieren läßt.

    Hausaufgabe: wieviele Ziehungen braucht man für eine Wahrscheinlichkeit von 99%?
    (In Analysis bin ich so mies, ich würde das den Compi simulieren lassen.)

  13. #13 H.M.Voynich
    22. Oktober 2010

    (Wenn obiges richtig war, muß die Zahl vierstellig sein, denn 50.050 im Exponent ist zu wenig.)

  14. #14 H.M.Voynich
    22. Oktober 2010

    (arghs: 500.000 natürlich.)

  15. #15 SingSing
    22. Oktober 2010

    Eine promovierte Mathematikerin in Texas hat viermal den Hauptgewinn abgeräumt, insgesamt 21 Millionen US-Dollar binnen 17 Jahren. Auch nicht schlecht!

  16. #16 SingSing
    22. Oktober 2010

    Nachtrag: der Weltrekordhalter im Vom-Blitz-getroffen-werden liegt meines Wissens bei drei Mal (er lebt immer noch, könnte die Marke also noch steigern). Statistisch liegt die Chance, vom Blitz getroffen zu werden, viel höher als die auf den Hauptgewinn im Lotto.

    Also denke ich mal, die Chance, dass irgendwo auf der Welt seit Einführung der ersten Lotterie mit Riesen-Hauptgewinn irgendjemand viermal ins Schwarze trifft, ist weit, weit niedriger als 1.

    Müßte man also den Raum erweitern, der zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit herangezogen wird? Also nicht nur Lotterien, sondern jegliches Glücksspiel und jegliche Wette irgendwo auf der Welt in den letzten 100 Jahren? Dann ist aber die Entscheidung, wo man die Grenze zieht, rein willkürlich, oder?

    Am Ende ist man bei der Menge aller Ereignisse, deren Eintreten für sich genommen unwahrscheinlich war. Dann wäre die vierfache Lottogewinnerin überhaupt nichts Besonderes, ebenso wie die völlig unwahrscheinliche Geburt eines Menschen mit einem spezifischen Genom jeden Tag eine halbe Million Mal auf der Welt eintritt.

  17. #17 Logiker
    22. Oktober 2010

    Vereinfachte Rechnung (ja, ich weiß, ist mathematisch nicht korrekt, kommt aber fast aufs gleiche raus…)

    – Wir haben bei 6 aus 37 2.324.784 Möglichkeiten
    – Bei 8 Ziehungen im Zeitraum eines Monats ergibt das 28 Paarungen [(n-1)*n/2]
    – Wenn es diese Lotterie seit 25 Jahren gibt (ähnlich wie das Mittwoch-Lotto in Deutschland), sind bisher 2.600 Ziehungen erfolgt. dann gibt es 2.593 8er-Ketten (Ziehung 1 bis 8, Ziehung 2 bis 9, … , Ziehung 2.592 bis 2.599, Ziehung 2.593 bis 2.600)

    2.324.784/28/2.593 = 32
    Die Wahrscheinlichkeit, dass so ein ergebnis innerhalb von 25 Jahren auftritt, beträgt also 1/32 oder über 3 Prozent.

    Wenn eine solche Lotterieform in 50 Ländern gespielt wird, beträgt die Eintrittswahrscheinlichkeit 78 %, bei 100 Ländern über 95 %.

    Welch langweiliges Ereignis…….

  18. #18 Ralf
    22. Oktober 2010

    Nette Story, aber da habe ich mal eine Frage/Anmerkung dazu:

    Es geht doch darum, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass innerhalb eines Moats die gleichen Zahlen gezogen werden.
    Das was du berechnet hast, setzt doch aber vorraus, das die erste Ziehung noch nicht durchgeführt wurde, oder?
    Weil wenn die erste Ziehung vorbei ist, dann stehen die Zahlen schon fest. bei der nächsten Ziehung gibt es dann wieder die 1:2.324.784 Wahrscheinlichkeit, das diese Zahlen gezogen werden (Reihenfolge sollte irrelevant sein, wir wollen ja nicht übertreiben ^^) Also nur weil 6 bestimmte Zahlen grad dran waren, ändert sich bei der nächsten Ziehung ja nicht die Wahrscheinlichkeit erneut gezogen zu werden. Wäre das so, könnte man die Zahlen ja mit einer bestimmten Genauigkeit “vorhersagen”, oder?

    Falls mein Beitrag blödsinn ist, bitte ignorieren. Verteidige Montag meine Masterarbeit und kann deshalb im Moment nicht ganz klar denken ^^

    Grüße..

  19. #19 S.S.T.
    22. Oktober 2010

    @SinSing

    Der Blitztreffer-Rekord soll sogar bei sieben (!) liegen. Der Rekordhalter ist inzwischen verstorben, aber nicht an einem Blitz.

    https://www.spiegel.de/spiegel/print/d-52032651.html

  20. #20 volki
    22. Oktober 2010

    @ H.M. Voynich: Um deine Hausaufgabe zu lösen:

    Man benötigt 4627 Ziehungen damit in diesen 2 mal die gleiche Ziehung vorkommt und das mit Wahrscheinlichkeit > 0.99.

    Das rechnet man mit der Formel vom Geburtstagsparadoxon und der Annäherung durch die Stirlingsche Formel und löst dann nach der Anzahl der Ziehungen auf.

    Siehe Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon

    lg
    Volki

  21. #21 Logiker
    22. Oktober 2010

    @ H.M. Voynich: Um deine Hausaufgabe auch für das deutsche 6 aus 49 zu lösen:

    Man benötigt 11.349 Ziehungen damit in diesen 2 mal die gleiche Ziehung vorkommt und das mit Wahrscheinlichkeit > 0.99.

  22. #22 Roland
    22. Oktober 2010

    ” … und ich spiele trotzdem Lotto!” … mein alter Matheprof, nachdem er die Wahrscheinlichkeiten in der Vorlesung einmal durchgekaut hatte.

  23. #23 Ulrich Berger
    22. Oktober 2010

    @ Roland:

    Naja, wenn seine von-Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion nahe dem status quo eine positive zweite Ableitung hat, dann ist das ja auch kein Drama…

  24. #24 Ulrich Berger
    22. Oktober 2010

    @ alle:

    Siebenmal vom Blitz getroffen werden und solche Geschichten, das ist ja gar nichts. Es passieren ständig Dinge mit einer a-priori-Wahrscheinlichkeit von null!

  25. #25 J.Böhm
    22. Oktober 2010

    Die ursprüngliche Argumentation von U.Berger ist leider auch nicht (ganz) richtig:
    1) Man sollte auch berücksichtigen, dass die dazwischen liegenden Ziehungen nicht übereinstimmen dürfen (Spassverderber)
    2) Es war m.E. die 7 Ziehung nach dem Sienstag, also wäre der Exponent nur 7, nicht 8.
    Es gibt übrigens ein sehr bekanntes Vergleichsproblem: Das Geburtstagsparadoxon, siehe Wikipedia. Wenn man die gleiche Argumentation hier anwendet: Wie groß ist also bei 8 Ziehungen (das könnte eine beliebige 8er Kombination sein, auch Länder-übergreifend) die W’K, dass kein Pärchen entsteht? Und dann von 1 abziehen:
    Mit Maple: k := binomial(37, 6); w := 1-(product(k-i-1, i = 0 .. 6))/k^7; evalf(w);
    0.000012044

    Vielleicht findet ja hier jemand den Fehler? Das würde mich nicht all zu sehr wundern, denn W’K-Rechnung ist eben ein Gebiet, wo es bei unterschiedlichen Unterstellungen auch unterschiedliche Ergebnisse geben kann. Die Frage bleibt, welche Unterstellungen zum jeweiligen realen Problem passen.

    Meine erste Idee war so ähnlich wie bei U.Berger:
    p := 1/binomial(37, 6); evalf(sum((1-p)^i*p, i = 0 .. 6)) : 0.000003011
    Damit berechnet man, mit welcher Wahrscheinlichkeit 6 mal ein anderes und beim siebten Mal eben wieder das gewünschte Ergebnis auftritt. Allerdings hat man dann “übersehen”, dass ja u.U. wieder ein (anderes) Pärchen oder sogar Trippel etc. zwischendurch entstanden sein könnte.

  26. #26 J.Böhm
    22. Oktober 2010

    Die ursprüngliche Argumentation von U.Berger ist leider auch nicht (ganz) richtig:
    1) Man sollte auch berücksichtigen, dass die dazwischen liegenden Ziehungen nicht übereinstimmen dürfen (Spassverderber)
    2) Es war m.E. die 7 Ziehung nach dem Sienstag, also wäre der Exponent nur 7, nicht 8.
    Es gibt übrigens ein sehr bekanntes Vergleichsproblem: Das Geburtstagsparadoxon, siehe Wikipedia. Wenn man die gleiche Argumentation hier anwendet: Wie groß ist also bei 8 Ziehungen (das könnte eine beliebige 8er Kombination sein, auch Länder-übergreifend) die W’K, dass kein Pärchen entsteht? Und dann von 1 abziehen:
    Mit Maple: k := binomial(37, 6); w := 1-(product(k-i-1, i = 0 .. 6))/k^7; evalf(w);
    0.000012044

    Vielleicht findet ja hier jemand den Fehler? Das würde mich nicht all zu sehr wundern, denn W’K-Rechnung ist eben ein Gebiet, wo es bei unterschiedlichen Unterstellungen auch unterschiedliche Ergebnisse geben kann. Die Frage bleibt, welche Unterstellungen zum jeweiligen realen Problem passen.

    Meine erste Idee war so ähnlich wie bei U.Berger:
    p := 1/binomial(37, 6); evalf(sum((1-p)^i*p, i = 0 .. 6)) : 0.000003011
    Damit berechnet man, mit welcher Wahrscheinlichkeit 6 mal ein anderes und beim siebten Mal eben wieder das gewünschte Ergebnis auftritt. Allerdings hat man dann “übersehen”, dass ja u.U. wieder ein (anderes) Pärchen oder sogar Trippel etc. zwischendurch entstanden sein könnte.

  27. #27 J.Böhm
    22. Oktober 2010

    Die ursprüngliche Argumentation von U.Berger ist leider auch nicht (ganz) richtig:
    1) Man sollte auch berücksichtigen, dass die dazwischen liegenden Ziehungen nicht übereinstimmen dürfen (Spassverderber)
    2) Es war m.E. die 7 Ziehung nach dem Sienstag, also wäre der Exponent nur 7, nicht 8.
    Es gibt übrigens ein sehr bekanntes Vergleichsproblem: Das Geburtstagsparadoxon, siehe Wikipedia. Wenn man die gleiche Argumentation hier anwendet: Wie groß ist also bei 8 Ziehungen (das könnte eine beliebige 8er Kombination sein, auch Länder-übergreifend) die W’K, dass kein Pärchen entsteht? Und dann von 1 abziehen:
    Mit Maple: k := binomial(37, 6); w := 1-(product(k-i-1, i = 0 .. 6))/k^7; evalf(w);
    0.000012044

    Vielleicht findet ja hier jemand den Fehler? Das würde mich nicht all zu sehr wundern, denn W’K-Rechnung ist eben ein Gebiet, wo es bei unterschiedlichen Unterstellungen auch unterschiedliche Ergebnisse geben kann. Die Frage bleibt, welche Unterstellungen zum jeweiligen realen Problem passen.

    Meine erste Idee war so ähnlich wie bei U.Berger:
    p := 1/binomial(37, 6); evalf(sum((1-p)^i*p, i = 0 .. 6)) : 0.000003011
    Damit berechnet man, mit welcher Wahrscheinlichkeit 6 mal ein anderes und beim siebten Mal eben wieder das gewünschte Ergebnis auftritt. Allerdings hat man dann “übersehen”, dass ja u.U. wieder ein (anderes) Pärchen oder sogar Trippel etc. zwischendurch entstanden sein könnte.

  28. #28 H.M.Voynich
    22. Oktober 2010

    @J.Böhm:
    “Vielleicht findet ja hier jemand den Fehler?”
    Der Unterschied entsteht dadurch, daß Ulrich gar nicht geschaut hat, ob zwei von 8 Leuten am selben Tag Geburtstag haben, sondern ob eine von 8 am selben Tag Geburtstag hat wie eine weitere, zuvor festgelegte Person.

  29. #29 Ulrich Berger
    22. Oktober 2010

    @ J.Böhm:

    Meine Frage war ja wie gesagt die, von der ich vermute, dass der Journalist sie stellen wollte. Dass diese Frage eigentlich irrelevant ist, habe ich erklärt. Ihre Variante der Frage ist im Grunde ebenso irrelevant, und aus Sicht der Medien noch dazu recht uninteressant. Diese würden den Beginn des “relevanten” Zeitraums sicher mit der Ziehung festlegen, die sich später wiederholt hat.

    D.h. wenn sich z.B. die 34. Ziehung des Jahres bei der 36. Ziehung wiederholt, dann würden die Zeitungen fragen, wie groß die W ist, dass sich eine Ziehung innerhalb von 2 Terminen wiederholt, nicht wie groß die W ist, dass innerhalb von 8 Terminen irgendeine Ziehung doppelt vorkommt.

  30. #30 S.S.T.
    23. Oktober 2010

    @Ulrich Berger

    Siebenmal vom Blitz getroffen werden und solche Geschichten, das ist ja gar nichts. Es passieren ständig Dinge mit einer a-priori-Wahrscheinlichkeit von null!

    Stimmt, z.B. hat beim Bridge jede Kartenverteilung (landläufig gesehen) eine Wahrscheinlichkeit von gegen Null. Aber bei jedem Spiel trifft dieser Fall ein. Man könnte auch sagen, mit Sicherheit trifft ein extrem unwahrscheinliches Ereignis ein.

  31. #31 Sim
    23. Oktober 2010

    Es ist halt immer so ne Sache Wahrscheinlichkeiten nachträglich berechnen zu wollen. Irgendwem passiert halt irgendwann, irgendetwas merkwürdiges. Das müssen ja keine Lottozahlen sein die zweimal hintereinander auftreten das kann ein Nummernschild sein, das dem eigenen gleicht bis auf Permutaion von Ziffern bei gleichem Autotyp oder vorhersagen dass das Telefon klingelt ohne, dass man auf einen Anruf wartet, oder, oder oder. Und dann kann man diese Events immer in irgendwelche mathematischen Modelle pressen, in wie weit das gerechtfertigt ist, ist noch eine ganz andere Frage.

    Im Endeffekt wartet Niemand auf diese “Merkwürdigkeiten” und damit meine ich Dinge die des Merkens würdig sind.

    Eines ist sicher. Eine Welt ohne Merkwürdigkeiten das wäre äusserst merkwürdig.

  32. #32 BreitSide
    25. Oktober 2010

    Haste das Thema Andrea weggeschnappt oder hat Ihr Euch geeinigt?:-)

  33. #33 Ulrich Berger
    25. Oktober 2010

    @ BreitSide:

    Wer zuerst kommt, mahlt zuerst!