Willkommen in Ludmilas Kochstudio. Heute: Wir kochen uns eine grobe Erdatmosphäre. (Und ja, ich verwende Formeln! Und Mathe! Igitt 🙂 )
Dafür brauchen wir – wie ich finde – erstaunlich wenig. Wir werden uns dabei an das Rezept von Held-Suarez-Modell (1) halten. Dieses wurde 1994 von Isaac Held und Max Suarez als “Test” eingeführt wurde, um verschiedene Computerprogramme, die das Erdklima berechnen, miteinander vergleichen zu können, ohne von Details verwirrt oder abgelenkt zu werden.
Das Rezept von Held und Suarez lautet dabei wie folgt:
Zutatenliste:
1. Wie nehmen “einfach” die Navier-Stokes-Strömungsgleichung für ein kompressibles elektrisch neutrales Medium, v ist Geschwindigkeit des Flusses, p ist der Druck, F sind die Kräfte und die Pfeile zeigen, dass das Ganze in den 3 Raumdimensionen stattfindet. Das auf dem Kopf stehende Dreieck ist der Gradient, der uns anzeigt, wie sehr sich eine bestimmte Größe ändert, wenn wir in x-, y- oder z-Richtung gehen.
Auf der linken Seite der Gleichung finden wir dann einen Term, der die Geschwindigkeitsänderung einer Strömung beschreibt, was ich etwas detaillierter hier dargestellt habe:
Ok es hilft nichts, hier muss ich bereits einen kleinen Exkurs einlegen:
Haha! “Einfach”. Guter Witz! Also ne, ernsthaft; so verführerisch einfach die Gleichungen auf den ersten Blick aussehen mögen, die Navier-Stokes-Gleichungen sind – selbst ohne so zusätzliche Schweinereien wie Interaktionen mit magnetischen und elektrischen Feldern – mathematisch immer sehr anspruchsvoll.
In der Regel gibt es keine analytische Lösung, so dass wir nicht darum herum kommen, a) je nach Anwendung einige vereinfachende Annahmen zu Hilfe zu nehmen und selbst dann muss b) das Ganze numerisch – also näherungsweise mit stupider Rechenpower – berechnet werden. Wenn wir denn das Glück haben, dass die Berechnung in einer Zeit konvergiert, die unser Computer auch zu leisten vermag. Weder das eine noch das andere ist immer sicher (wenn ich das jetzt halbwegs durchschaut habe).
Zum Glück gibt es frei verfügbare Programme, die wir für unser Rezept zunächst als Black-Box verwenden können, ohne uns Gedanken machen zu müssen, wie das jetzt numerisch-programmtechnisch im Einzelnen funktioniert. Ich hab hier das MITgcm verwendet. Das ist Open-Source, recht gut dokumentiert und es gibt eine recht gute Support-Gruppe.
Das ist das Gute an Wissenschaft. Jede kann sich, wenn sie es denn unbedingt will, beliebig tief in die Grundmaterie einarbeiten und den Code bis auf die Grundmauern auseinander nehmen und verbessern. Aber wenn es um die reine Anwendung geht und hinterher etwas heraus kommt, das Sinn ergibt, dann vertraue ich zuerst einmal darauf, dass da Generationen von Mathematikern/Meteorologen/Informatiker/Physiker etc. darüber geschaut haben. Besonders vertrauend erweckend finde ich es, wenn das Programm als solches auch ständig angewandt und verbessert wird.
Seht es doch mal so: Wenn wir als Wissenschaftler ständig das Rad neu erfinden müssten, dann hätten wir eine wachsende Anzahl ganz besonders toller Räder, aber wir kämen nie dazu ein Auto oder gar ein Flugzeug zu bauen. Wir sind nun mal alle mit begrenzter Lebensdauer ausgestattet. Ganz abgesehen davon, je nach Anwendung ist es nun wirklich schnuppe, ob mein Rad nun zu 90% einem perfekten Kreis entspricht oder zu 99% oder gar zu 99,9%. Einige Leute mögen das unbefriedigend finden, aber denen empfehle ich immer wieder gerne Isaac Asimov’s Klassiker von 1989: The Relativity of wrong. Ich sollte es mir echt angewöhnen, ein paar Kopien des Essays zu diversen Veranstaltungen mitzunehmen. Ach ja und jede sollte mit dem Prinzip von Fermi-Abschätzungen vertraut sein.
Ok, wo waren wir? Ach ja, bei unserem Rezept und da bei den Navier-Stokes-Gleichungen.
2. Wir vereinfachen die Gleichungen, weil wir von Atmosphären wissen, dass mit zunehmender Höhe der Luftdruck geringer wird. Genauer gesagt wissen wir, dass der Zusammenhang zwischen Druck und Höhe dem hydrostatischen Gleichgewicht genügt.
3. Zudem nehmen wir an, dass die Windströmung in der Vertikalen i.A. recht klein ist und dass bei einer vertikalen Bewegung die Reibung vernachlässigbar ist. Wie spalten also die Navier-Stokes-Gleichungen von oben in einen horizontalen und vertikalen Teil und streichen im Vertikalen alles, was wir in erster Näherung vernachlässigen können. Nicht wundern, dass unsere vertikale Geschwindigkeit jetzt w heißt.
4. Weiterhin kommt nichts von nichts. Im Großen und Ganzen verschwindet die Atmosphäre nicht irgendwo und wird auch nicht irgendwo neu generiert. Diese Aussage packen wir auch in eine Formel (stimmt so natürlich nicht 100%ig, aber wie gesagt “relativity of wrong” 😉 Und wir müssten schon sehr genau hinsehen, um die Abweichungen von dieser Aussage zu sehen. Wir fahren ja auch nicht mit nem relativistischen Tacho durch die Gegend, nur weil’s “richtiger” wäre.).
5. Bestimme die Höhe jetzt nicht mehr in Metern sondern anhand des Luftdrucks in der entsprechenden Höhe. (Wir führen also eine Koordinatentransformation aus von x,y,z(p) zu x,y,p(z)). Und siehe da: die Gleichungen sehen wieder was einfacher aus.
6. Jetzt müssen wir noch festlegen, innerhalb welcher Grenzen die Gleichungen oben gelten sollen. Wir müssen also die Randbedingungen festlegen. Die sind in unserem Fall durch zwei Dinge festgelegt: Erdboden und Weltall.
7. Kommen wir jetzt zur Reibung, die beliebig komplex sein kann und bei sehr viskosen Stoffen so richtig schwer zu berechnen ist. Zum Glück ist Reibung für die Erdatmosphäre im Allgemeinen global gesehen vernachlässigbar; außer an der Grenze zwischen Erdboden und Atmosphäre. Da müssen wir die Reibung auf jeden Fall berücksichtigen. Held&Suarez machen es sich denkbar einfach und benutzen eine simple pi-mal-Daumen-Annahme bzw. eine Fermi-Abschätzung: Reibung = k mal Geschwindigkeit. Setze k=1 am Boden und lasse k linear so absinken, dass er bei einem Druck von 700 mbar (also in etwa 2-3 km Höhe) null wird. Darüber merkt die Atmosphäre eh nicht mehr, dass da weiter unten ein fester Boden ist.
8. Setze für deine einzelnen Luftpäckchen eine Gleichgewichts-Temperatur an, die zumindest grob für eine bestimmte Höhe und einen Breitenkreis den Wärmehaushalt der Erde nachbilden kann unter Berücksichtigung von Sonneneinstrahlung und der Zusammensetzung der Atmosphäre, die für langwellige Strahlung durchlässig ist, dafür aber im Infraroten recht viel schluckt und gleichzeitig wieder abgibt. (Genaueres dazu gibt es z.B. hier)
Zudem müssen wir auch berücksichtigen, dass insbesondere am Äquator die Luft in Bodennähe durch dieses Wechselspiel an Strahlung von der Sonne, von der Atmosphäre und auch vom Erdboden dermaßen stark erhitzt wird, dass es zur Umwälzungen also zur Konvektion kommt: Ein erhitztes Luftpäckchen steigt wie ein Heißluftballon nach oben. Oben ist aber die Wärmequelle weg und es befindet sich zudem in relativ kühler Umgebung, so dass es abkühlt. Dabei wird es schwerer und sinkt wieder nach unten, wo der Kreislauf wieder von vorne beginnen kann. Das ist auch ungefähr das, was wir in einem Kochtopf sehen, wenn wir Wasser erhitzen. Zum Glück müssen wir die Konvektion nicht in allen Einzelheiten beschreiben. Es genügt, wenn wir das in den Wärmehaushalt einbeziehen und annehmen, dass die Konvektion wiederum einen neuen Gleichgewichtszustand herstellt – was sie in der Realität in der Regel auch tut (Genaueres dazu gibt es hier, genauer gesagt im Abschnitt 4.3.1.).
Ach ja und das Video hier ist auch recht hilfreich:
9. Jetzt kann die Luft aber frei hin-und her schwappen. Wenn also ein Luftpäckchen mit einer anderer Temperatur als der Umgebungstemperatur vor Ort daherkommt, dann sorge dafür, dass die Temperatur in dem entsprechenden Luftpäckchen sich exponentiell mit der Zeit der Umgebungstemperatur angleicht – und dabei umgekehrt natürlich auch die umgebenden Luftpäckchen aufheizt. (Mein morgendlicher Kaffee verhält sich übrigens auch so. Der heiße Kaffee nähert sich (leider) exponentiell mit der Zeit der Umgebungstemperatur an. Hier ist die Umgebungstemperatur, die durch die Heizung eingestellt wird, die ‘verschriebene’ Temperatur.)
Setze die “Halbwertszeit” für die Annäherung auf einen Wert zwischen 4 Tagen (Am Äquator und da auch nur in Bodennähe) – und ansonsten auf 40 Tage. Der Wärmeaustausch in den Tropen muss deswegen so hoch gesetzt werden, um wieder der Konvektion Rechnung zu tragen. Die sorgt für eine wesentlich schnellere Wärmeangleichung als nur aufgrund von Wärmeabstrahlung bzw. Wärmeleitung. Da wir die Konvektion nicht dynamisch nachbilden, müssen wir sie wiederum über den Wärmehaushalt einbauen.
10. Tja und ansonsten setze die Erdschwerebeschleunigung (9.81 m/s2 reicht da völlig.) , die spezifische Gaskonstante von trockener Luft 287 J/(kg K) und den Isotropenexponenten auf 7/5 (weil wir auf der Erde vorwiegend zweiatomigen Moleküle in der Luft haben). Das ist der wirklich leichte Teil.
Zubereitung:
Jetzt kommen wir zu den eigentlichen Arbeitsschritten:
Zunächst einmal müssen wir die Erdatmosphäre in handliche Stückchen unterteilen. Am besten wir beginnen mit der Höhe, das ist einfacher.
Unterteile z.B. die Erdatmosphäre in 20 vertikale Schichten von je 500 Pa-Dicke. Zur Not gehen auch 10 Schichten mit je 1000 Pascal “Dicke”, wenn der Computer nicht mehr hergibt. Für das horizontale Gitter benutze ich ein so genanntes C32-cube-sphere-grid, das mir die Erdkugel in halbwegs gleich große Teilstückchen unterteilt. Genauer gesagt besteht dieses Gitter aus sechs Kacheln mit jeweils 32 Kästchen. Davon legen wir vier Kacheln am Äquator zentriert aneinander, so dass sie den Globus entlang der Breitenkreise umspannen. Dann pappen wir noch jeweils eine Kachel auf den Nord- und eine Kachel auf den Südpol und decken damit den gesamten Globus ab. Die einzelnen Kästchen sind dabei in der Regel quadratisch – AUSSER an einigen Eckpunkten. Denn natürlich können wir eine Kugeloberfläche nicht wirklich komplett quadrieren. Aber mit so einem Gitter kommen wir schon sehr nahe dran, was die Rechnung insbesondere an den Polen erheblich erleichtert. So sieht das übrigens aus (Quelle: MITgcm Handbuch):
Wir haben jetzt also 192*20 Teilstückchen. In jedes dieser Teilstücke kommen nun die Zutaten von oben hinein.
Dann lassen wir das Ganze 200 Tage lang aufkochen (wir lösen also die Differential-Gleichungen numerisch sowohl räumlich als auch zeitlich) und lassen dann das Ganze insgesamt weitere 1000 Tage köcheln.
Serviere das Endresultat entweder frisch und heiß (also nur den Schnappschuss nach 1200 Tagen Simulation) oder als Konzentrat (also über die letzten 1000 Tage gemittelt)
Es ist angerichtet:
Ich serviere hier mal den Zustand nach 1000 Tagen frisch und dampfend also als Schnappschuss. Ich muss zugeben, ich war schockiert wie gut dieses einfache Modell bereits die grundlegende Dynamik der Erde-Troposphaere (also der unteren Erdatmosphäre) widergibt.
Als wir da hätten die grossen Zirkulationszellen der Atmosphäre:
Das kommt dem, was wir auf der Erde beobachten schon sehr nahe.
Bild: Globale Zirkulations-Zellen aus der deutschen Wikipedia (siehe Link).
Obwohl… Ok in meinem Fall sind die Polarzellen ein bisschen zu weit Richtung Äquator verrückt. Das ist aber nur in diesem einen Schnappschuss so, hab ich aber leider etwas zu spät gesehen. Ich hab noch andere Schnappschüsse gemacht, wo die Polarzellen dann wieder schön brav jenseits der 60 Grad Nord/Süd einsetzen, aber ich hab das Bild jetzt gerade rumfliegen und bin zu faul mir gerade ein Schöneres zu suchen. Ich würde gerne mal jemanden fragen, der sich damit auskennt, ob die Polarzellen wirklich so weit südlich kommen können, oder ob mein Modell da einfach zwischendurch ein bisschen zu dynamisch in den polaren Kreisen ist.
Ich krieg natürlich auch die zugehörigen Windsysteme wie den Passatwind (die Farben stellen die Temperatur in Kelvin dar)
Und natürlich den Jet-Stream. Ihr müsst das Bild unten anklicken, um es in groß anzuschauen. Die weißen Pfeile sind der Wind und die Farben sind wieder die Temperatur in Kelvin. Wir befinden uns hier in einer “Höhe” von 500 mbar. Und ja das herum mäandrierende gehört so (Stichwort baroklinische Instabilität) und beobachten wir auch in der freien Natur (siehe das Video darunter, da nicht von mir ist). Also ich find’s ‘tres chic’ 🙂
So und damit beende ich für heute Ludmila’s Kochstudio. Natürlich gibt es dazu noch viel mehr zu sagen, so denn ich denn dazu komme 🙂 Aber als kurze Einführung reicht’s erstmal und für mich zur Verfestigung meines Verständnisses. Ach und ja, ich bin natürlich, wenn es um die Dynamik geht, blutige Anfängerin. Ich würde mich daher über ein gepflegtes Brainstorming mit erfahrenen Dynamikerinnen freuen (Dynamiker tun’s natürlich auch zur Not :-P). Korrekturen und konstruktive Anmerkungen sind natürlich auch gerne gesehen. Muss nicht im Blog sein. Ich wäre auch bereit in einem Seminar zu erklären, wozu ich das Ganze hier eigentlich brauche 🙂
Nebenbemerkung:
Ganz klar, ich hab massiv verkürzt und vereinfacht. Und zum Kochgeschirr, also Gitter und Integration der Navier-Stokes-Gleichungen könnte frau wirklich ganze Bücher schreiben bzw. sind geschrieben worden, aber es ging mir im Moment eher um die Zutaten. Aber hey, die weiterführende Literatur ist nur einen Klick weit entfernt.
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(1)
Held, Isaac M. (1994-10) A Proposal for the Intercomparison of the Dynamical Cores of Atmospheric General Circulation Models. Bulletin of the American Meteorological Society, 75(10), 1825-1830. DOI: 10.1175/1520-0477(1994)075
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