Mit Quanten-Billards habe ich mich einige Zeit lang selbst wissenschaftlich beschäftigt. Ich möchte im Lauf der Zeit hier einige Einblicke in dieses spannende Gebiet bieten – doch zuerst mal: Was ist das überhaupt für ein Zeug?

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Billard ist ein Spiel, das physikalisch ziemlich leicht zu verstehen ist. Wenn ich mit dem Queue die Kugel anstoße, wird sie sich von mir wegbewegen, wenn die Kugel die Bande trifft, wird sie reflektiert werden, wenn eine Kugel die andere berührt, werden sich beide mit geänderter Geschwindigkeit und Richtung weiterbewegen. Die Gesetze der klassischen Mechanik, die solche Bewegungen und Stöße mit wunderbarer Präzision beschreiben, sind seit langem genau bekannt. Niemand wird von irgendwelchen physikalischen Ereignissen am Billardtisch besonders überrascht sein – höchstens vom Talent der Spieler. Die Physik dahinter erscheint uns recht vertraut. Trotzdem gibt es heute viele Physiker, die sich mit Billardproblemen beschäftigen.

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Die Welt der großen Dinge …

Stellen wir uns nun vor, wir würden die Größe des Billardtisches ändern. Was würde geschehen, wenn unser Tisch mehrere Kilometer lang wäre? Passend dazu stellen wir uns auch noch Billardkugeln groß wie Einfamilienhäuser vor, und auch den Queue lassen wir entsprechend wachsen. Wenn wir selbst nun groß und stark genug wären, um mit diesem Riesenbillard zu spielen – wie würde das Spiel verlaufen? Die Kugeln würden sich genauso bewegen wie vorher. Wenn wir dieses Billardspiel im Fernsehen übertragen würden könnte niemand nur aufgrund der Bahnen der Kugeln sagen, ob es sich um den großen oder um den gewöhnlichen Billardtisch handelt. Die Gesetze der klassischen Mechanik sind auf dieselbe Weise anwendbar, unabhängig von der Größe unseres Systems. Diese Tatsache nennt man Skaleninvarianz.

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… und die Welt des Kleinen

Was geschieht nun, wenn wir den Billardtisch immer kleiner machen? Zunächst überhaupt nichts. Auch auf einem zündholzschachtelgroßen Tisch mit winzigen Kugeln und zahnstocherartigen Queues könnte man – theoretisch – wie gewohnt Billard spielen. Wenn man allerdings die Abmessungen des Tisches weiter verkleinert, bis wir unser Billardspiel nur noch unter einem guten Mikroskop sehen können, bemerken wir, dass die Billardkugeln langsam beginnen, sich etwas ungewöhnlich zu benehmen. Die klassischen Kugelstoß-Gesetze an die wir uns so sehr gewöhnt haben, beschreiben das was wir sehen nur noch näherungsweise. Wenn wir in die Größenordnung von einzelnen Mikrometern (Millionstel Metern) oder gar Nanometern (Milliardstel Metern) kommen, und unsere Billardkugeln nur noch aus einem einzigen Teilchen (einem Atom oder Elektron) bestehen, dann erkennen wir, dass unsere Vorstellung von Kügelchen, die sich auf geraden Linien fortbewegen und aneinanderstoßen, endgültig keine Sinnvolle Betrachtungsweise mehr ist. Wir brauchen die Quantenphysik, um das Verhalten der Teilchen richtig vorhersagen zu können.

Halbleiterbillards

Winzigkleine Billardsysteme können also ein nettes Spielzeugmodell für Theoretiker sein. Ist das alles? Wenn das so wäre, hätten die Physiker wohl schon längst das Interesse daran verloren. Es steckt mehr dahinter. Solche winzigen Billards gibt es wirklich: Statt der Kugel verwendet man ein einzelnes Elektron, den “Tisch” kann man mikrometergroß herstellen – in Halbleiterstrukturen. Der Einfachheit halber hat unser Quanten-Billardtisch nur zwei Löcher: Eines links, das ist der Eingang, durch den das Elektron hereintritt, das andere rechts, dort kann das Elektron hinaus. Es kann sich aber auch, nachdem es mehrmals an den Wänden angestoßen ist, in das Eingangsloch zurückbewegen. Wenn nun immer wieder einzelne Elektronen von links in das Billard eintreten und (zumindest viele von ihnen) rechts wieder austreten, dann wird elektrische Ladung transportiert, es fließt Strom. Unser Billard ist also nun ein winziger elektronischer Bauteil, ein Stromleiter, wie ein Mini-Kabel.

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Bei einer Lampe mit Dimmschalter kann man kontinuierlich einstellen, wie viel Strom fließt. Wenn der Stromfluss in einem Mini-Draht aber nur aus einigen wenigen Elektronen besteht, ist das anders. Ein einzelnes Elektron geht entweder durch den Draht oder eben nicht. Niemals wird man ein halbes Elektron messen. Daraus ergeben sich quanten-Phänomene, die man am Computer berechnen und im Experiment überprüfen kann. Der Quanten-Hall-Effekt, für dessen Erklärung 1985 der Nobelpreis an Klaus von Klitzing vergeben wurde, ist Beispiel für einen Quanten-Effekt, der in solchen Mini-Billards nachweisbar ist. Er ermöglicht Strommessungen mit bisher unübertroffener Präzision.

Weiterlesen: Der Fingerabdruck des Billardtisches


Mehr zum Quanten-klassischen Übergang auf www.naklar.at

Kommentare (14)

  1. #1 Jonas W.
    Mai 22, 2012

    Klingt interessant.

    Wenn ich Billard gespielt habe, habe ich irgwie immer tage- bis wochenlang die Zwangsvorstellung, mir zu überlegen wie eine Billardkugel von den Wänden etc. abprallen würde, wenn sie die Richtung meiner aktuellen Blickrichtung einnimmt.
    Das kann sehr nervig werden ;-). Keine Ahnung, ob jemand das Problem kennt, wenn man sich gerade nciht konzentrieren kann/will und man eine geistige Ablenkung braucht.

  2. #2 MartinB
    Mai 22, 2012

    Ich muss mal wieder nörgeln
    “Diese Tatsache nennt man Skaleninvarianz. ”
    Da habe ich sehr große Zweifel: Die Masse der Bälle steigt mit der dritten Potenz der Längenskala, die Festigkeit des Queues nur quadratisch. Bei deinem Riesenbillard würde beim ersten Stoß das Queue brechen oder sich verbiegen. Die Mechanik ist nur skaleninvariant, wenn es keine Oberflächeneffekte gibt.

    Als ich das Quantenbillard in den 90ern kennengelernt habe, war die theoretisch interessante Frage die nach dem Quantenchaos – wie kann aus der nicht-chaotischen linearen QM das chaotische Verhalten der klassischen Mechanik rekonstruiert werden? Ist man da inzwischen weiter?

  3. #3 Brucer
    Mai 22, 2012

    Und wie würde dann jetzt so ein Quanten-Billiard-Spiel aussehen?

  4. #4 Florian Aigner
    Mai 22, 2012

    @MartinB
    Dass es zwischen Quantenphysik und klassischer Physik einen Unterschied bezüglich der Skaleninvarianz gibt, ist aber jetzt schon klar, oder? Die Schrödingergleichung beinhaltet eben eine Konstante – das Plancksche Wirkungsquantum – auf das man andere Größen in geeigneter Weise beziehen kann. Die Gleichungen der klassischen Mechanik haben das nicht.
    Du hast natürlich recht: Sobald man solche Konstanten in Form von Materialkonstanten wieder in die klassische Mechanik einbaut, sieht die Sache anders aus. Man kann sich behelfen, indem man Materialkonstanten (und auch andere Größen, etwa die Zeit) passend mitskaliert. Allerdings darf man nicht vergessen: Materialeigenschaften kann man berechnen – mit Hilfe der Quantenphysik. Die klassische Mechanik MIT Materialeigenschaften lässt sich daher nicht wirklich losgelöst von der Quantenphysik denken.

    Die Frage nach dem Chaos ist, wie du sagst, eine der spannendsten in diesem Zusammenhang. Darüber werde ich auf jeden Fall hier noch schreiben (kann allerdings nicht ganz versprechen, wie rasch das gehen wird). Mein Eindruck ist: In den Neunzigerjahren gab es einen gewissen Quanten-Chaos-Enthusiasmus, es gab waghalsige Vorhersagen, inwieweit sich Quanten-Billards unterschiedlich verhalten, abhängig davon, ob sie klassisch einer klassischen oder chaotischen Dynamik gehorchen. In praktischen Anwendungen ist der Unterschied dann aber oft nicht besonders groß. Die Quanten-Unschärfe kann die Unterschiede zwischen Chaos und regulären Systemen auswaschen.

  5. #5 MartinB
    Mai 22, 2012

    @Florian
    “Man kann sich behelfen, indem man Materialkonstanten (und auch andere Größen, etwa die Zeit) passend mitskaliert.”
    Das sehe ich nicht, sobald Volumen und Oberflächenkräfte wirken können, spätestens bei Rissausbreitung ist Schluss, weil da Oberflächenenergie eine Rolle spielen.

    So oder so ist das, was in dem Artikel oben steht (wenn ich ein billard einfach auf hausgröße aufblase, könnte ich das nicht unterscheiden) schlicht und einfach falsch und du solltest das meiner Ansicht nach ändern. Da steht nichts von gleichzeitigem Ändern der Materialkonstanten. Siehe auch hier:
    http://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/01/von-grossen-und-kleinen-tieren.php

    “In praktischen Anwendungen ist der Unterschied dann aber oft nicht besonders groß.”
    Darum ging’s ja auch nicht (Praxis? Wen interessiert schon die Praxis?? Pfff…), jedenfalls nicht den Leuten bei uns am iNstitut. Die wollten wissen, wie aus einer linearen Gleichung am ende Chaos erwachsen kann – das zeigte sich dann in den Eigenwerten und -funktionen, die ziemlich verrückt wurden. Leztlich gelöst wurde das theoretische Problem aber während meiner Zeit nicht.

  6. #6 Florian Aigner
    Mai 22, 2012

    Sorry, aber dass die Bahnen der Kugeln skalenabhängig sind, ist sicher richtig – das habe ich oben gesagt. Über die Verbiegung des Queues und Materialeffekte habe ich ganz bewusst nicht geschrieben.

  7. #7 MartinB
    Mai 22, 2012

    @Florian
    Was oben steht ist mindestens missverständlich, die Aussage, die klassische Mechanik sei skaleninvariant, ist definitiv falsch, wie schon die tatsache beweist, dass es eine Reynoldszahl gibt (und eine Froude-Zahl und und und) – man kann Objekte eben nicht einfach hochskalieren, und alles andere bleibt gleich…
    http://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance

    .

  8. #8 Florian Aigner
    Mai 22, 2012

    @Martin
    Ich habe nicht geschrieben, dass die klassische Mechanik skaleninvariant ist. Ich denke, ich habe ziemlich vorsichtig formuliert. Du extrapolierst meine Aussagen und attackierst dann die Extrapolationen.

    Bei den Quantenbillards sieht man sich normalerweise Trajektorien von Punktteilchen an, um sie dann (z.B. über den Faynmanschen Pfadintegral-Formalismus) mit Quantenphysik in Verbindung bringen zu können. Auf diesem Level ist die klassische Dynamik natürlich skaleninvariant. (In diesem Fall muss man mit einer Größenänderung die Energie oder die Zeit mitskalieren.) Billard-artige Bahnen werden genau deshalb so gerne erforscht, weil sie klassisch ungefähr das Simpelste sind, was wir zur Verfügung haben. Man kann einen Phasenraum von Billard-Trajektorien zeichnen, der völlig skaleninvariant ist und nur von der Geometrie des Billard-Tisches abhängt. Dass du als Materialwissenschaftler über Verbiegungen und Verformungen redest, ist nachvollziehbar, aber du wirst dich damit abfinden müssen, dass diese Fragen in der Literatur des Quantum-to-classical crossovers in Billardsystemen nicht vorkommt. In einem kurz gehaltenen Blogeintrag kommen sie daher erst recht nicht vor.

  9. #9 MartinB
    Mai 22, 2012

    @Florian
    Dann verstehe ich diesen Satz nicht:
    “Die Gesetze der klassischen Mechanik sind auf dieselbe Weise anwendbar, unabhängig von der Größe unseres Systems. Diese Tatsache nennt man Skaleninvarianz. ”
    Im Zusammenhang mit dem, was davor steht, suggeriert das doch ziemlich klar, dass ich problemlos ein Billardspiel auf Hausgröße aufblasen kann und sich dabei nichts ändert.

    Aber lass es gern so stehen, wenn du meinst.

  10. #10 sebi
    Mai 22, 2012

    Naja, man nimmt halt an, dass die Kugeln und Queues unendlich hart sind, dann passt das schon mit der Skaleninvarianz.

    Dass die linearen Gleichungen der Qm zu Chaos fuehren ist doch nichts besonderes, das haengt doch unter anderem vom Hamilton-Operator ab, im Billard-Fall wohl von den Randbedingungen. Ich weiss allerdings nicht genau, ob Chaos in der QM wirklich genau definiert ist, allerdings werden oft die statistischen Eigenschaften der Eigenwerte verwendet, um das zu klassifizieren. Abstossung der Eigenwerte bedeutet hierbei Chaos, waehrend keine Abstossung auf ein integrables System hinweisst.

  11. #11 Harleaquin
    Mai 23, 2012

    Spätestens bei Planetengroßen Billardkugeln spielt die Gravitation lustig mit und macht aus dem Spiel ein n-körper Problem, hehe. Dann wirds auch auf dieser Skala wieder interessant. Der Größenbereich, in dem Billard langweilig ist ist nicht sehr groß.

  12. #12 Florian Aigner
    Mai 23, 2012

    @Harleaquin:
    Du findest also, dass Billard genau in der Größenordnung “langweilig” ist, in der man es normalerweise betreibt? Das würde ich einem professionellen Billardspieler lieber nicht ins Gesicht sagen 😉

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    Mai 15, 2013

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