3. Zudem nehmen wir an, dass die Windströmung in der Vertikalen i.A. recht klein ist und dass bei einer vertikalen Bewegung die Reibung vernachlässigbar ist. Wie spalten also die Navier-Stokes-Gleichungen von oben in einen horizontalen und vertikalen Teil und streichen im Vertikalen alles, was wir in erster Näherung vernachlässigen können. Nicht wundern, dass unsere vertikale Geschwindigkeit jetzt w heißt.
4. Weiterhin kommt nichts von nichts. Im Großen und Ganzen verschwindet die Atmosphäre nicht irgendwo und wird auch nicht irgendwo neu generiert. Diese Aussage packen wir auch in eine Formel (stimmt so natürlich nicht 100%ig, aber wie gesagt “relativity of wrong” 😉 Und wir müssten schon sehr genau hinsehen, um die Abweichungen von dieser Aussage zu sehen. Wir fahren ja auch nicht mit nem relativistischen Tacho durch die Gegend, nur weil’s “richtiger” wäre.).
5. Bestimme die Höhe jetzt nicht mehr in Metern sondern anhand des Luftdrucks in der entsprechenden Höhe. (Wir führen also eine Koordinatentransformation aus von x,y,z(p) zu x,y,p(z)). Und siehe da: die Gleichungen sehen wieder was einfacher aus.
6. Jetzt müssen wir noch festlegen, innerhalb welcher Grenzen die Gleichungen oben gelten sollen. Wir müssen also die Randbedingungen festlegen. Die sind in unserem Fall durch zwei Dinge festgelegt: Erdboden und Weltall.
7. Kommen wir jetzt zur Reibung, die beliebig komplex sein kann und bei sehr viskosen Stoffen so richtig schwer zu berechnen ist. Zum Glück ist Reibung für die Erdatmosphäre im Allgemeinen global gesehen vernachlässigbar; außer an der Grenze zwischen Erdboden und Atmosphäre. Da müssen wir die Reibung auf jeden Fall berücksichtigen. Held&Suarez machen es sich denkbar einfach und benutzen eine simple pi-mal-Daumen-Annahme bzw. eine Fermi-Abschätzung: Reibung = k mal Geschwindigkeit. Setze k=1 am Boden und lasse k linear so absinken, dass er bei einem Druck von 700 mbar (also in etwa 2-3 km Höhe) null wird. Darüber merkt die Atmosphäre eh nicht mehr, dass da weiter unten ein fester Boden ist.
8. Setze für deine einzelnen Luftpäckchen eine Gleichgewichts-Temperatur an, die zumindest grob für eine bestimmte Höhe und einen Breitenkreis den Wärmehaushalt der Erde nachbilden kann unter Berücksichtigung von Sonneneinstrahlung und der Zusammensetzung der Atmosphäre, die für langwellige Strahlung durchlässig ist, dafür aber im Infraroten recht viel schluckt und gleichzeitig wieder abgibt. (Genaueres dazu gibt es z.B. hier)
Zudem müssen wir auch berücksichtigen, dass insbesondere am Äquator die Luft in Bodennähe durch dieses Wechselspiel an Strahlung von der Sonne, von der Atmosphäre und auch vom Erdboden dermaßen stark erhitzt wird, dass es zur Umwälzungen also zur Konvektion kommt: Ein erhitztes Luftpäckchen steigt wie ein Heißluftballon nach oben. Oben ist aber die Wärmequelle weg und es befindet sich zudem in relativ kühler Umgebung, so dass es abkühlt. Dabei wird es schwerer und sinkt wieder nach unten, wo der Kreislauf wieder von vorne beginnen kann. Das ist auch ungefähr das, was wir in einem Kochtopf sehen, wenn wir Wasser erhitzen. Zum Glück müssen wir die Konvektion nicht in allen Einzelheiten beschreiben. Es genügt, wenn wir das in den Wärmehaushalt einbeziehen und annehmen, dass die Konvektion wiederum einen neuen Gleichgewichtszustand herstellt – was sie in der Realität in der Regel auch tut (Genaueres dazu gibt es hier, genauer gesagt im Abschnitt 4.3.1.).
Ach ja und das Video hier ist auch recht hilfreich:
9. Jetzt kann die Luft aber frei hin-und her schwappen. Wenn also ein Luftpäckchen mit einer anderer Temperatur als der Umgebungstemperatur vor Ort daherkommt, dann sorge dafür, dass die Temperatur in dem entsprechenden Luftpäckchen sich exponentiell mit der Zeit der Umgebungstemperatur angleicht – und dabei umgekehrt natürlich auch die umgebenden Luftpäckchen aufheizt. (Mein morgendlicher Kaffee verhält sich übrigens auch so. Der heiße Kaffee nähert sich (leider) exponentiell mit der Zeit der Umgebungstemperatur an. Hier ist die Umgebungstemperatur, die durch die Heizung eingestellt wird, die ‘verschriebene’ Temperatur.)
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