Laut diesem Beispiel wäre ich also hauptsächlich “nicht sehr jung” – aber immerhin noch ein bisschen “jung” und kleines bisschen “sehr jung”. Und auch wenn ichs lieber anders hätte – das Ergebnis beschreibt die Realität doch einigermassen gut. Mit 31 Jahren bin ich zwar noch nicht alt – aber definitiv nicht mehr “jung” oder “sehr jung” – es sei denn, man vergleicht mich mit deutlich älteren Menschen.
Mit Fuzzy-Logik kann man also erstens auch logische Zwischenstufen mathematisch korrekt beschreiben und zweitens kann ein Objekt gleichzeitig (mit verschiedenen Graden der Mitgliedschaft) Mitglied in mehreren Gruppen sein. Also genau das, was man braucht um das Problem der erdnahen Asteroiden zu lösen!
Eine unscharfe Beschreibung der erdnahen Asteroiden
Will man mit Fuzzy-Gruppen arbeiten muss man zuerst mal eine vernünftige Definition finden und dann ebenfalls vernünftige Mitgliedschaftsfunktionen aufstellen.
Natürlich gibt es unzählige Möglichkeiten, Fuzzy-Gruppen zu definieren. Ich habe mich dazu entschieden, Gruppen aufzustellen, die auf der Tatsache basieren, dass die erdnahen Asteroiden sehr oft sehr nahe an die Planeten herankommen. Ich habe also folgende Klassen definiert:
- Asteroiden die mit der Venus kollidieren können
- Asteroiden die mit der Erde kollidieren können
- Asteroiden die mit dem Mars kollidideren können
So wie im obigen Beispiel das Alter die Grundlage für die Berechnung des Grads der Mitgliedschaft war bietet sich hier natürlich die Anzahl der nahen Begegnungen zwischen Asteroid und Planet als Parameter an. Ein Asteroid der beispielsweise der Erde überhaupt nie sehr nahe kommt kann auch nicht wirklich mit der Erde kollidieren und sollte daher kein Mitglied der entsprechenden Gruppe sein. Je mehr nahe Begegnungen es allerdings gibt, desto größer sollte auch der Grad der Mitglieschaft sein – denn desto größer ist auch die Möglichkeit einer Kollision!
Ich habe also die Bahnen aller bekannten erdnahen Asteroiden für eine halbe Million Jahre simuliert und nachgesehen, wieviel nahe Begegnungen es zwischen Asteroiden und Planeten im Durchschnitt gibt. Aus dieser Verteilung lässt sich dann die entsprechende Mitgliedschaftsfunktion berechnen.
Mit diesen Mitgliedschaftsfunktionen können die Asteroiden nun klassifiziert werden und jedem Objekt kann der Grad der Mitgliedschaft zu den verschiedenen Gruppen zugewiesen werden. Die Ergebnisse kann man sich hier ansehen (die Gruppen die ich hier beschrieben habe heissen dort G2, G3 und G4).
Was fängt man nun mit diesen Fuzzy-Gruppen an? Da hat man jetzt viele Möglichkeiten – eine davon sind sogenannte “Alpha-Cuts”. Ein Alpha-Cut ist eine Teilmenge einer Fuzzy-Menge. Man definiert einen bestimmten Grad der Mitgliedschaft (“alpha”) und nimmt aus einer Fuzzy-Menge alle Objekte heraus, deren Grad der Mitgliedschaft größer als dieser Wert ist. Ich kann zum Beispiel die Gruppe der Asteroiden die mit der Erde kollidieren können nehmen und alle Asteroiden heraussuchen, deren Grad der Mitgliedschaft größer als 0,9 ist – all diejenigen Objekte die besonders “stark” zu dieser Gruppe gehören. Diese Asteroiden haben also eine gemeinsame Haupteigenschaft – aber alle haben ja auch noch einen bestimmten Grad der Mitgliedschaft zu den anderen Gruppen! Diese Zusammenhänge kann man nun analysieren und bekommt dann zum Beispiel so eine Grafik:
Die drei Ellipsen repräsentieren drei Alpha-Cuts in denen jeweils alle Asteroiden versammelt sind, die mit einem Grad der Mitgliedschaft größer als 0,9 zu den drei Fuzzy-Gruppen gehören. Nun kann es aber vorkommen, dass ein Asteroid zu zwei oder auch drei verschiedenen Alpha-Cuts gehört. Die Pfeile zeigen also an, wieviel Asteroiden der einen Gruppe jeweils auch zur anderen Gruppe gehören. Man sieht hier deutlich, dass die Gruppe der Asteroiden die mit der Erde kollidieren können hier dominiert. Sie hat nicht nur die meisten Mitglieder; auch Asteroiden aus den anderen Alpha-Cuts gehören wesentlich öfter zu dieser Gruppe als umgekehrt.
Kollisionen mit der Erde
Was kann man daraus schließen? Nun, erstmal, dass es möglich ist quantitative Aussagen über die Langzeitdynamik von Gruppen von erdnahen Asteroiden zu machen – das ursprüngliche Problem ist also gelöst!
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