Hier noch einmal das Bild der Wellenfunktionen für die Lösung des harmonischen Oszillators:
Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546
Ich habe lediglich eine kleine Änderung vorgenommen: Überall da, wo vorher x stand, habe ich φ hingeschrieben.
Äh, und was bedeutet nun ψ(φ)?
ψ(x) war ja die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass wir bei einer Ortsmessung den Wert x messen. Entsprechend ist (Übersetzungstabelle einsetzen und nicht lange nachdenken) ψ(φ) die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass wir bei einer Messung des Feldes den Wert φ messen.
Betrachten wir den Grundzustand, also den Zustand mit der niedrigsten Energie. Beim harmonischen Oszillator ist auch im Grundzustand unser Teilchen nicht exakt am Ort Null lokalisiert wie in der klassischen Physik, sondern hat eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für Werte ungleich Null. Das können wir so veranschaulichen (anders als beim letzten Mal habe ich dieses Bild und alle die noch kommen so gezeichnet, dass die kleine Kugel nicht genau in der Mitte sitzt und habe den Balken, an dem die Feder sitzt, in die Mitte gezeichnet. Ich hoffe, das verwirrt niemanden, aber anders wären die Bilder, die weiter unten kommen, schwerer zu verstehen. Stellt euch also vor, der Schwarze Balken kennzeichnet die Ruhelage und die Kugel kann nach oben und unten schwingen.):
Auch für unsere QFT an einem Punkt gilt dann dasselbe: Im Zustand mit der niedrigsten Energie ist unser Feld nicht einfach gleich Null, so wie das bei einem klassischen Feld der Fall wäre. Auch hier gibt es eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für alle denkbaren Feldwerte, sehr große Werte sind aber sehr unwahrscheinlich.
Der Zustand mit der niedrigsten Energie ist in der QFT das Vakuum – weniger geht nicht. Und damit sehen wir, dass das Quantenfeld im Vakuum nicht einfach verschwindet, sondern eine Amplitude für Werte ungleich null hat.
Was allerdings verschwindet, ist der Mittelwert über viele Messungen, auch vornehm der Erwartungswert genannt. Es ist also
⟨0| φ |0⟩
wobei das φ mit dem Strich drunter wieder die Messgröße kennzeichnet. |0⟩ ist dabei das offizielle Kürzel für den Vakuumzustand. Man spricht auch vom Vakuumerwartungswert, weil es eben der Erwartungswert für diese Größe im Vakuum ist.
Man könnte meinen, dass ein Vakuumerwartungswert immer gleich Null ist, egal für welche Messgröße, weil im Vakuum ja nichts ist, aber das stimmt nicht. Auch das können wir uns mit Hilfe des harmonischen Oszillators überlegen. Wir betrachten den Erwartungswert nicht des Ortes x, sondern von x2. Weil das Quadrat einer Zahl (auch einer Koordinate) immer positiv ist und weil das Elektron ja durchaus nicht nur im Gleichgewichtszustand bei x=0 gefunden wird, ist dieser Wert nicht Null:
⟨0| x2 |0⟩ ≠ 0 für den harmonischen Oszillator.
Wenn wir viele Messungen machen, dann ist also im Mittel der gemessene Wert von x2 nicht Null.
Genauso ist es auch in unserer Punkt-QFT. Hier ist entsprechend
⟨0| φ2 |0⟩ ≠ 0
In der vollen Feldtheorie, die ein unendliches Volumen beschreibt, divergiert ⟨0| φ2|0⟩ sogar, weil da ein Integral über alle k-Werte eingeht. Anschaulich kann man das wohl so begründen, dass die Messung an exakt einem Punkt eine unendlich starke Lokalisierung bedeutet und damit unendlich hohe Energien notwendig sind – was zum Integral in der Formel passt, wenn k gegen unendlich geht, geht die Wellenlänge ja gegen Null.
Falls ihr es anschaulich komisch findet, dass der Mittelwert (oder Erwartungswert) einer Größe Null sein kann, der vom Quadrat der Größe aber nicht, stellt euch einfach vor, ihr würdet die Augen schließen und dabei Bälle nach links und rechts wegwerfen. Man sieht den Bällen sicherlich an, wo ihr gestanden habt – die mittlere Position der Bälle ist genau euer Standort, also der Nullpunkt. Der mittlere Abstand der Bälle ist aber nicht Null (sonst solltet ihr in Zukunft besser frühstücken!). Das Quadrat dient in den Formeln genau dazu, das Vorzeichen wegzuheben.
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