Hier noch einmal das Bild der Wellenfunktionen für die Lösung des harmonischen Oszillators:

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Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546

Ich habe lediglich eine kleine Änderung vorgenommen: Überall da, wo vorher x stand, habe ich φ hingeschrieben.

Äh, und was bedeutet nun ψ(φ)?

ψ(x) war ja die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass wir bei einer Ortsmessung den Wert x messen. Entsprechend ist (Übersetzungstabelle einsetzen und nicht lange nachdenken) ψ(φ) die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass wir bei einer Messung des Feldes den Wert φ messen.

Betrachten wir den Grundzustand, also den Zustand mit der niedrigsten Energie. Beim harmonischen Oszillator ist auch im Grundzustand unser Teilchen nicht exakt am Ort Null lokalisiert wie in der klassischen Physik, sondern hat eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für Werte ungleich Null. Das können wir so veranschaulichen (anders als beim letzten Mal habe ich dieses Bild und alle die noch kommen so gezeichnet, dass die kleine Kugel nicht genau in der Mitte sitzt und habe den Balken, an dem die Feder sitzt, in die Mitte gezeichnet. Ich hoffe, das verwirrt niemanden, aber anders wären die Bilder, die weiter unten kommen, schwerer zu verstehen. Stellt euch also vor, der Schwarze Balken kennzeichnet die Ruhelage und die Kugel kann nach oben und unten schwingen.):

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Auch für unsere QFT an einem Punkt gilt dann dasselbe: Im Zustand mit der niedrigsten Energie ist unser Feld nicht einfach gleich Null, so wie das bei einem klassischen Feld der Fall wäre. Auch hier gibt es eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für alle denkbaren Feldwerte, sehr große Werte sind aber sehr unwahrscheinlich.

Der Zustand mit der niedrigsten Energie ist in der QFT das Vakuum – weniger geht nicht. Und damit sehen wir, dass das Quantenfeld im Vakuum nicht einfach verschwindet, sondern eine Amplitude für Werte ungleich null hat.

Was allerdings verschwindet, ist der Mittelwert über viele Messungen, auch vornehm der Erwartungswert genannt. Es ist also
⟨0| φ |0⟩
wobei das φ mit dem Strich drunter wieder die Messgröße kennzeichnet. |0⟩ ist dabei das offizielle Kürzel für den Vakuumzustand. Man spricht auch vom Vakuumerwartungswert, weil es eben der Erwartungswert für diese Größe im Vakuum ist.

Man könnte meinen, dass ein Vakuumerwartungswert immer gleich Null ist, egal für welche Messgröße, weil im Vakuum ja nichts ist, aber das stimmt nicht. Auch das können wir uns mit Hilfe des harmonischen Oszillators überlegen. Wir betrachten den Erwartungswert nicht des Ortes x, sondern von x2. Weil das Quadrat einer Zahl (auch einer Koordinate) immer positiv ist und weil das Elektron ja durchaus nicht nur im Gleichgewichtszustand bei x=0 gefunden wird, ist dieser Wert nicht Null:
⟨0| x2 |0⟩ ≠ 0 für den harmonischen Oszillator.

Wenn wir viele Messungen machen, dann ist also im Mittel der gemessene Wert von x2 nicht Null.

Genauso ist es auch in unserer Punkt-QFT. Hier ist entsprechend
⟨0| φ2 |0⟩ ≠ 0

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In der vollen Feldtheorie, die ein unendliches Volumen beschreibt, divergiert ⟨0| φ2|0⟩ sogar, weil da ein Integral über alle k-Werte eingeht. Anschaulich kann man das wohl so begründen, dass die Messung an exakt einem Punkt eine unendlich starke Lokalisierung bedeutet und damit unendlich hohe Energien notwendig sind – was zum Integral in der Formel passt, wenn k gegen unendlich geht, geht die Wellenlänge ja gegen Null.

Falls ihr es anschaulich komisch findet, dass der Mittelwert (oder Erwartungswert) einer Größe Null sein kann, der vom Quadrat der Größe aber nicht, stellt euch einfach vor, ihr würdet die Augen schließen und dabei Bälle nach links und rechts wegwerfen. Man sieht den Bällen sicherlich an, wo ihr gestanden habt – die mittlere Position der Bälle ist genau euer Standort, also der Nullpunkt. Der mittlere Abstand der Bälle ist aber nicht Null (sonst solltet ihr in Zukunft besser frühstücken!). Das Quadrat dient in den Formeln genau dazu, das Vorzeichen wegzuheben.

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Kommentare (13)

  1. #1 roel
    29. Mai 2012

    @MartinB “Ich könnte natürlich gleich erklären, was bei Hatfield steht, aber vielleicht ist es viel spannender zu sehen, wie ich selbst zu meinen Ideen über das Vakuum gekommen bin.” Ja, bestimmt könntest Du das, aber dann wäre doch nicht MartinB drin, wo MartinB draufsteht. Es ist nicht nur vielleicht spannender mit eigenen Ideen ans Ziel zu kommen, es ist bestimmt spannender und bestimmt verständlicher. Eigentlich bin ich noch nicht so weit, mir fehlen die 2 vorherigen Teile, aber das Nichts interessiert mich zu sehr, als dass ich warten wollte, auch wenn es sich als Vakuum entpuppt.

    “Nun warten wir geduldig auf den nächsten Teil…” ja, wie früher auf Weihnachten!
    Und in der Zwischenzeit kommen die beiden letzten Teile dran.

  2. #2 MartinB
    29. Mai 2012

    @roel
    “es ist bestimmt spannender und bestimmt verständlicher.”
    Zumindest für mich – als letzte Woche endlich alles zusammenpasste,wrüber ich seit fast zwei Monaten nachgrüble, war das schon ziemlich klasse.

  3. #3 Theres
    29. Mai 2012

    Tja, dann rechne ich mal mit mindestens drei Monaten … seufz. Ich fange noch mal bei den Feldern an, aber einiges hab ich schon verstanden *freu*

  4. #4 Theres
    29. Mai 2012

    Drei Monate für diesen hübschen Artikel allein, meine ich 😉

  5. #5 Bjoern
    29. Mai 2012

    “The vacuum is boiling sea of nothingness, full of sound and fury…”

    Der Spruch ist gut, den kannte ich noch nicht! 🙂

    (aber Google gibt als Quelle dazu leider auch nur “anonymer Physiker” an…)

  6. #6 Sascha Vongehr
    30. Mai 2012

    Relativistisch gehoert Zeit zur Raumzeit, also ein Punkt-Universum wuerde auch die Ableitungen nach der Zeit rausfallen lassen. Damit must Du also nicht-relativistisch argumentieren und bleiben (not RQFT). Ansonsten weiss ich nicht warum Du den Raum rausschmeisst (um uebersichtlich zu bleiben?). Das Feld ist ja sowieso, zum Beispiel in der string theory, durch Interaktionen von Strings in aufgerollten Dimensionen gegeben. Kannst Du bitte erklaeren was genau der tiefere Sinn des ein-Punkt-Universums hier ist?

    “Und meine leise Hoffnung ist, dass dazu neue Konzepte notwendig sind, die unser Verständnis der Welt genau so stark verändern, wie es die Quantenmechanik getan hat.”
    Die Konzepte sind schon lange da, aber Leute wie Du halten sie fuer Humbug. 😉

  7. #7 oki1811
    30. Mai 2012

    Ich habe eine Frage dazu. In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse , welches durch die Wellenfunktion beschrieben wird… (Wiki)

    Nun sprechen wir von einem Punkt, der kein Teilchen ist und auch keine Masse besitzen kann. Darf man denn da überhaupt damit arbeiten???

    Ist es generell sinnvoll, dass Universum in einem Punkt zu betrachten? Wir haben doch keine Ahnung, es ist noch dazu ein Sonderfall aller anderen Ausdehnungen, rein mathematisch gesehen.

    Und wenn ich den, inzwischen recht populären, Theorien eines Übergangs eines ins nächste Universum folge, kommt dort kein Punkt vor.

  8. #8 MartinB
    30. Mai 2012

    @Theres
    Ich empfehle, nicht alles nochmal zu lesen, sondern nur den Teil, wo ich die Felder einführe, dann diesen hier (und den nächsten, der die Tage kommt).
    Die ganzen Details zum Propagator, zu virtuellen Teilchen und zur Kraftberechnung brauchst du hier nicht.

    Vielleicht sollte ich mal einen Fahrplan bauen, welche Teile dieser Serie von welchen Teilen abhängen, inzwischen wird sie ja doch recht lang…

    @Sascha
    Ein Punkt heißt ein Raum-Punkt – hätte ich echt 0+1-Dimensional dazuschreiben müssen, damit du das verstehst?
    Der Punkt hier ist: QFT in 0+1 Dimensionen = QM

    “Die Konzepte sind schon lange da”
    Stringtheorie? Multiversen? Wir können zwar nichts vorhersagen (bzw. das, was wir vorhersagen, ist falsch – 11 Dimensionen? – oder eine Nachhersage (Stringtheorie sagt die Gravitation vorher? Wirklich? Nur weil sie ein Spin-2-Teilchen enthält?)), aber konzeptionell ist das ganz doll spannend? Bohr et al haben sich seinerzeit durchgesetzt, weil sie Experimente vorhergesagt haben, nicht weil ihre Konzepte so schick waren…

    @oki
    “Ist es generell sinnvoll, dass Universum in einem Punkt zu betrachten?”
    Um eine Anschauung zu gewinnen, ja (denn so habe ich es gemacht). Natürlich lernen wir aus dem Punkt-Universum nicht sehr viel über das tatsächliche Universum, aber es ist hilfreich als Startpunkt für meine Überlegungen, weil die QFT in diesem fall eben genauso aussieht wie die QM für den harmonischen Oszillator.

    Letztlich ist das ein Modell (so wie man für manche Zwecke z.B. die Erde als Punktmasse ansehen darf, auch wenn sie nicht punktförmig ist) – als Modell für das reale Universum ist es ungeeignet, aber als Hilfsmittel, um zu verstehen, was denn nun Vakuumfluktuationen sind, ist es praktisch – zumindest für mich.

    “Darf man denn da überhaupt damit arbeiten???”
    Klar – es wird natürlich etwas schwierig, sich vorzustellen, was das Feld in diesem Fall für eine physikalische Bedeutung haben soll.

    Man kann sich das übrigens auch anders anschaulich machen, wenn einem der eine Punkt nicht gefällt: Würde man die Lichtgeschwindigkeit sehr klein machen, dann würde die Kopplung zwischen zwei benachbarten Raumpunkten immer schwächer werden – anschaulich deshalb, weil die immer länger brauchen, um Informationen auszutauschen, mathematisch formal sieht man es daran, dass die Ableitung nach der Zeit und die nach dem Ort sich um einen Faktor c unterscheiden. Ich hatte überlegt, ob ich das hier als Anschauung dazuschreiben soll, dachte aber, dass es mehr verwirrt.

    Wie schon in der Einleitung gesagt: Hier lohnt es sich eventuell nicht, zu sehr nach einer Interpretation der Gleichungen zu suchen; die kommt dann wieder, wenn man wieder ein größeres Universum betrachtet (das kommt schrittweise in den nächsten beiden Teilen).

  9. #9 definition
    30. Mai 2012

    Zu der Nullpunktsenergie:

    Also, ich kenn mich zwar mit QFT nicht aus, aber in der einfachen Quantenphysik (mit Schrödinger-Gleichung) kann ich doch immer ne beliebige Konstante zum Hamilton-Operator hinzuaddieren. Und das ändert dann genau garnichts, weil in allen beobachtbaren Größen diese Konstante auf die ein oder andere Weise rausfliegt. (Auch in der klassischen Mechanik kann ich zur Hamilton-Funktion eine beliebige Konstante hinzuaddieren und die Bewegungsgleichungen, in denen die Ableitungen stehen, bleiben unverändert.)
    Worauf ich hinaus will, ist, dass man die Energieskala immer so verschieben kann, dass die Grundzustandsenergie verschwindet. (Geht das in der QFT nicht auch?) Wann immer ein Wert beliebig ist, würde ich ihm nicht allzuviel Bedeutung beimessen, außer der Tatsache, dass es eben diese Eichfreiheit gibt. Ich weiß nicht, ob es soviel Sinn macht, über die Bedeutung von etwas nachzudenken, was ich eher wieder wegtransformieren kann.

  10. #10 MartinB
    30. Mai 2012

    @definition
    Du hast schon recht, das wird in der QFT ja meist auch so gemacht – oft mit einem finsteren Trick namens “Normalordnung” (erst sagt man, wie wichtig Kommutatoren sind, dann tauscht man plötzlich Operatoren herum, wie es gerade passt, damit die NPE verschwindet – darüber werde ich mich irgendwann bestimmt nochmal hier ausführlich aufregen…).

    Zwei Dinge sind aber auf jeden Fall zu beachten:
    1. Du hast ja beim HO den Nullpunkt schon festgelegt, nämlich als das Minimum des potentials. Dass ein Teilchen in der QM diesen Nullpunkt nicht erreichen kann, ist schon eine echte physikalische Aussage.
    2. Die NPE sollte spätestens dann relevant werden, wenn man Gravitation betrachtet – sie ist rechnerisch um einen Faktor 10^120 höher, als mit der ART und unserem Wissen über das Universum vereinbar. Hier kann man jetzt nicht mehr einfach so “wegtransformieren”, weil die Energiedichte selbst messbare Konsequenzen haben müsste.

  11. #11 SCHWAR_A
    1. Juni 2012

    @MartinB:
    Super-Fortsetzung…

    “sie ist rechnerisch um einen Faktor 10^120 höher”

    Das les’ ich öfters, aber ich habe bisher noch keine Begründung/Rechnung dafür gesehen. Kennst Du da eine? Oder führst Du das mal in einem eigenen Artikel aus?

    Vielen Dank im Voraus.
    Herzliche Grüße.

  12. #12 MartinB
    1. Juni 2012

    @SCHWAR_A
    Irgendwo hatte ich neulich zumindest eine Andeutung gesehen, wie man das abschätzt. Ich denke mal, man integriert einfach ?ω/2 über alle ω bis zur Planck-Energie und bekommt daraus die Energiedichte (die Kniffligkeit ist nicht im Integral, sondern in der Volumen-Normierung, da weiß ich nicht genau, wie die geht). Die vergleicht man dann mit der maximalen Energiedichte, die mit kosmologischen Modellen verträglich ist. Falls ich das irgendwann mal genauer weiß, schreibe ich es hin.

    “Super-Fortsetzung…”
    Und das ist noch nicht alles, der spannende Teil kommt ja erst…

  13. #13 Sascha Vongehr
    2. Juni 2012

    Ja – nun – also wenn Du Dich jetzt einfach bloed stellst, dann kann ich Dich jetzt auch nicht mehr ernst nehmen.