Nachdem wir beim letzten Mal das Vakuum verstanden haben, können wir uns nun aufmachen, um alle überhaupt möglichen Zustände eines Quantenfelds zu verstehen. Der Sprung von “Nichts” zu “Allem” ist viel einfacher, als ihr vielleicht befürchtet.
Beim letzten Mal haben wir gesehen, dass der Vakuum-Zustand eine doppelte Überlagerung ist: Jede Wellenlänge (oder jeder Wert der Wellenzahl k) trägt zum Vakuumzustand bei und hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die aussieht wie die Wellenfunktion für den Grundzustand des harmonischen Oszillators. Wellen mit hoher Energie tragen dabei weniger bei als solche mit niedriger Energie (ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist schmaler).
Aber was passiert, wenn wir kein Vakuum mehr haben? Die Antwort darauf ist – zumindest für mich – verblüffend.
Nehmen wir wieder unser Quantenfeld φ. Wir wollen es so anregen, dass es ein einzelnes Teilchen enthält, das einen Impuls von ℏk1 trägt. Diesen Zustand schreiben wir kurz als |k1⟩. Langer Rede kurzer Sinn: Wir haben jetzt ein Teilchen mit Impuls k1 (ℏ=1, wie immer…).
Wie sieht nun der Zustand unseres Quantenfeldes aus? Zunächst mal können wir davon ausgehen, dass sich für alle anderen Wellenzahlen k≠k1 nichts ändert, denn die einzelnen Wellen sind ja unabhängig voneinander. Für k1 aber wird sich die Wahrscheinlichkeitsamplitudenverteilung ändern. Im Vakuum (kein Teilchen mit Impuls k1) sah sie ja so aus:
Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546
Sie entsprach genau der Wellenfunktion für den Grundzustand des harmonischen Oszillators.
Da sich die k-Wellen-Komponente unseres Quantenfeldes verhält wie ein harmonisches Oszillator (jedenfalls im Grundzustand), können wir vermuten, dass das auch für die angeregten Zustände gilt. Die Wellenfunktion für den ersten angeregten Zustand unseres harmonischen Oszillators sah ja so aus:
Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546
Wenn wir ein Teilchen mit Impuls k1 haben, dann wird also die Wahrscheinlichkeitsamplitude bei diesem k-Wert nicht durch die Grundzustandsfunktion des harmonischen Oszillators, sondern durch den ersten angeregten Zustand beschrieben. In der schicken 3D-Darstellung vom letzten mal kann man das etwa so veranschaulichen:
Hier habe ich bei einem k-Wert die einfache Gauß-Glocke durch die angeregte Funktion ersetzt. (Korrekterweise müsste die angeregte Funktion natürlich nur bei einer unendlich dünnen Scheibe sichtbar sein, aber dann würde man nichts erkennen.)
Dass das tatsächlich so ist, habe ich hier nicht gezeigt – Hatfield rechnet vor, dass der so erzeugte Zustand tatsächlich ein Eigenzustand zum Impuls k1 ist und dass er auch die richtige Energie hat.
Man erkennt hier schon etwas – zumindest für mich – sehr überraschendes: Der Wert der Amplitude φ(k1) ist nicht nur nicht genau definiert, sondern hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese Verteilung liefert genau dieselbe Wahrscheinlichkeit für positive und negative Werte (geplottet ist ja die Wahrscheinlichkeitsamplitude, die Wahrscheinlichkeit ist das Quadrat davon, das dann links und rechts symmetrisch ist). Im Mittel ist deshalb die Amplitude gleich Null. Das können wir wieder als Erwartungswert schreiben:
Achtung, hier kann man sich leicht verwirren, weil der Begriff “Amplitude” in zwei verschiedenen Bedeutungen auftaucht: φ(k1) ist die Amplitude der betrachteten Wellenzahl im Quantenfeld, also eine Feldamplitude. Dafür, welchen Wert dieser Amplitude wir messen, können wir nur eine Wellenfunktion angeben, also eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. Es gibt also einen Wert der Wahrscheinlichkeitsamplitude für jeden Wert der Feldamplitude. (Ja, man braucht einen Moment, bis man das richtig im Kopf sortiert hat – ich jedenfalls.)
Als Beispiel betrachte ich ein einzelnes Photon. Photonen haben einen Spin und erfüllen deshalb insgesamt eine etwas kompliziertere Gleichung, aber wenn ich einen Polarisationsfilter verwende, dann kann ich ein Photon erzeugen, dass eine genau definierte Richtung seines elektrischen Feldvektors hat (der senkrecht auf seiner Ausbreitungsrichtung steht). Für ein solches Photonenfeld mit genau vorgegebener Komponente des elektrischen Feldes gilt dann die Klein-Gordon-Gleichung.
Genauer gesagt ist es das Vektorpotential (bzw. die betrachtete transversale Komponente) die die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt.
Da aber das elektrische Feld die zeitliche Ableitung des Vektorpotentials ist und da die zeitliche Variation hier ja sinusförmig ist, kann man das, was man für’s Vektorpotential aus der Klein-Gordon-Gleichung ableitet, relativ einfach auf das elektrische Feld übertragen.
Eine elektromagnetische Welle veranschaulicht man sich ja gern so:
By SuperManu – Self, based on Image:Onde electromagnetique.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2107870
Man könnte jetzt denken, dass ein einzelnes Photon eine Anregung des Photonenfeldes ist, die ich auch in dieser Weise darstellen kann, aber so ist es nicht. Das Photon ist eine Überlagerung solcher Wellen bei der Feldvektoren, die sowohl nach oben als auch nach unten zeigen, gleichermaßen beitragen. Messe ich das elektrische Feld eines einzelnen Photons, dann kann ich natürlich einen bestimmten Wert des Feldes messen, der von Null verschieden ist, aber gemittelt über sehr viele Photonen ist der Erwartungswert für das Feld Null.
Grafisch kann man das vielleicht etwa so darstellen:
Hier habe ich das elektrische Feld als Überlagerung dargestellt, mit Feldwerten, die in beide Richtungen zeigen. Die Farbe zeigt die Wahrscheinlichkeit (Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude) an – bei Null ist sie schwach, ebenso bei großen Werten der Feldamplitude. Bei einem mittleren Wert der Feldamplitude habe ich jeweils ein Maximum der Wahrscheinlichkeit im positiven und negativen Bereich (Pfeile nach oben oder unten), das genau dem Maximum bzw. Minimum der Wellenfunktion entspricht. (Kleiner Warnhinweis: Das Bild ist nur qualitativ korrekt, ich habe die Farbe nicht exakt mit der Wahrscheinlichkeit berechnet, sondern so eingestellt, dass man das Prinzip gut erkennt.)
An dieser Darstellung erkennt man, dass ein einzelnes Photon überraschenderweise keinen definierten Wert des elektrischen Feldes hat.
Wie kann das sein? Wenn ich zum Beispiel Licht auf eine Linse aus Glas einstrahle, dann werden doch die Atome des Glases durch das elektrische Feld zum Schwingen angeregt. Woher weiß denn nun das einzelne Atom, ob es nach oben oder unten schwingen soll, wenn ein einzelnes Photon vorbeikommt?
Weiß es gar nicht – muss es auch nicht. Das einzelne Photon kommt an und ist in einem Überlagerungszustand aus unterschiedlichen Werten für φ(k1). Zeigt der elektrische Feldvektor in die eine Richtung, wird das Atom in einer Weise angeregt, zeigt er in die andere Richtung, wird das Atom in die andere Richtung angeregt. Es bildet sich ein verschränkter Zustand aus Photon und Atom. Das Atom sendet dann seinerseits eine “elektromagnetische Welle” aus, verändert also das Photonen-Quantenfeld. Die Verschränkung bleibt jetzt erhalten – aber in jedem Fall interferiert das eingestrahlte Photon mit dem Quantenfeld so, dass das Photon abgelenkt wird, und zwar in beiden Fällen in dieselbe Richtung.
Achtung! Dieses Argument hier im Warnbereich habe ich in keinem Buch gefunden, sondern mir selbst zusammengebastelt. Wie üblich übernehme ich keine Garantie, dass ihr nicht durch die Physikprüfung fallt, wenn ihr das jemandem erzählt, auch wenn ich ziemlich sicher bin, dass es korrekt ist (sonst könnte man einzelne Photonen nicht definiert mit Linsen ablenken).
Der Erwartungswert für das Feld φ (wir betrachten jetzt wieder unser einfaches Quantenfeld, keine Photonen mehr) ist zwar gleich Null, aber den Wert Null selbst werden wir in keinem Experiment jemals messen, denn hier hat die Funktion für die Wahrscheinlichkeitsamplitude ja einen Nulldurchgang. Das ist aber nicht immer so, wenn man Teilchenanregungen des Feldes betrachtet. Haben wir zwei Teilchen mit Impuls k1, dann müssen wir entsprechend die zweite angeregte Wellenfunktion des harmonischen Oszillators verwenden:
Basierend auf einem Bild von AllenMcC. – File:HarmOsziFunktionen.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11623546
Hier ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, φ(k1)=0 zu messen, nicht mehr gleich Null. Generell ist es so, dass bei einer ungeraden Teilchenzahl φ(k1) niemals gleich Null ist (die Wahrscheinlichkeitsamplitude verschwindet bei φ(k1)=0), bei einer geraden Teilchenzahl kann man jedoch einen Wert von Null messen, Anschaulich kann man sich das vermutlich so vorstellen, dass bei einer geraden Teilchenzahl die einzelnen Teilchen passend destruktiv miteinander interferieren können, bei einer ungeraden Teilchenzahl geht das aber nicht. (Wieder ein Argument, das in keinem Buch steht, aber für mich vernünftig aussieht.)
Wir können – weil’s so schick ist – auch diese Funktion in unser dreidimensionales Diagramm eintragen:
Diesen Zustand können wir entsprechend schreiben als |2 k1⟩. Auch das können wir wieder auf das elektrische Feld von geeignet polarisierten Photonen übertragen. Zwei Photonen können wir uns demnach so veranschaulichen:
Hier haben wir jetzt drei Maxima für die Wahrscheinlichkeit: Eins bei Null und jeweils eins im positiven und negativen Bereich.
Anregungen mit mehr als zwei Teilchen (|3 k1⟩, |4 k1⟩ usw.) zeige ich euch jetzt nicht – das Schema ist immer dasselbe: Sucht einfach die passende Wellenfunktion des harmonischen Oszillators und baut sie in das Diagramm ein.
Viel interessanter ist eine andere Frage: Wie funktioniert eigentlich Laser-Licht? Wenn – wie oben erläutert – der Erwartungswert des elektrischen Feldes für eine beliebige Anzahl von Photonen immer verschwindet, wie kann man dann kohärentes Laserlicht erzeugen? Laserlicht hat eine genau definierte Ausrichtung des elektrischen Feldes, also einen (ziemlich genau) bestimmten Feldwert – für Laserlicht ist diese Darstellung
By SuperManu – Self, based on Image:Onde electromagnetique.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2107870
eigentlich eine sehr gute Beschreibung. Da Laserlicht aber ja aus Photonen besteht, muss der Zustand unseres Quantenfelds zu dieser Zeichnung passen – eine unscharfe Überlagerung wie bei unserem Photonenbild ist nicht möglich.
Übertragen auf unsere Schreibweise mit φ heißt das, dass im Laserlicht φ(k1) einen bestimmten Wert annimmt und eben keine Verteilung hat, die bei positiven und negativen Werten denselben Wert hat.
Wie soll das gehen?
Falls ihr selbst knobeln wollt, schaut euch noch mal den Text über den harmonischen Oszillator an, da haben wir etwas ganz ähnliches gesehen.
Als Spoiler Space hier ein Bild von Roy Glauber, der sich über dieses Problem Anfang der 60er Jahre Gedanken gemacht hat und für die Lösung (naja, ein bisschen mehr hat er schon noch getan) einen Nobelpreis bekommen hat – Ihr habt jetzt also die einmalige Gelegenheit, beim Bloglesen mal eben schnell eine nobelpreiswürdige Entdeckung zu machen.
Falls ihr es noch nicht herausbekommen habt, hier das entscheidende Bild:
Beim harmonischen Oszillator hatten die Zustände mit definierter Energie ebenfalls eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Wellenfunktionen waren zum Teil asymmetrisch, aber für die Wahrscheinlichkeit werden die ja quadriert), und zwar im Ort. Um ein an einem Ort lokalisiertes Wellenpaket zu bekommen, haben wir verschiedene Energiezustände überlagert.
Dasselbe müssen wir jetzt hier auch tun, ihr braucht nur die Übersetzungstabelle von der Quantenmechanik zur QFT zu verwenden: Um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bekommen, die bei einem bestimmten Wert von φ(k1) zentriert ist, müssen wir unterschiedliche Zustände überlagern. Hier in der QFT sind das jetzt Zustände mit unterschiedlich vielen Teilchen. Wir müssen also einen Zustand bauen, der eine Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlich vielen Teilchen mit Impuls k1 ist:
(Wenn ihr den Nobelpreis wollt, müsst ihr natürlich – unter anderem – auch die Werte für die a’s ausrechnen – ist allerdings auch nicht schrecklich schwer.
So etwa sieht dieser Zustand in der 3D-Darstellung aus:
(Anders als bei den anderen Bildern war ich hier etwas schlampig mit der Normierung – die Höhe des Wellenpakets habe ich nicht exakt nachgerechnet, sondern nur geschätzt.)
Was bedeutet das? Es bedeutet anschaulich, dass der Zustand eines Laserstrahls (man nennt das einen kohärenten Zustand) eine Überlagerung aus unterschiedlichen Zuständen mit unterschiedlicher Teilchenzahl ist. Mit anderen Worten: Die Zahl der Photonen in einem Laserstrahl (und damit auch seine Energie) ist nicht wohldefiniert, sondern wir haben eine quantenmechanische Überlagerung. Wenn ihr also zählt, wie viele Photonen in eurem Laserstrahl sind, dann macht ihr dabei den Laserzustand leider kaputt. Wenn ich es richtig sehe, ist so etwas experimentell in dieser Arbeit gemacht worden.
Wie wir gesehen haben, können wir also für unseren Wert k1 beliebige Überlagerungen der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators zusammenbauen, so wie den kohärenten Zustand. Bisher haben wir aber immer nur eine einzige Wellenzahl k1 betrachtet. Auch das ist natürlich nicht unbedingt notwendig. Man könnte also zum Beispiel auch solche Zustände hier bekommen:
Hier habe ich jetzt wieder beim Wert k1 die Ein-Teilchen-Wellenfunktion eingebaut wie oben, aber bei den benachbarten k-Werten habe ich eine Überlagerung von solchen Ein-Teilchen-Wellenfunktionen und dem Grundzustand, so dass der Übergang einigermaßen glatt ist.
Insgesamt können wir bei jedem k-Wert Beiträge von allen möglichen Wellenfunktionen zu unterschiedlicher Teilchenzahl bekommen. In Formeln sieht das ziemlich gruselig aus:
Man überlagert also für jeden k-Wert alle möglichen Teilchenzahlen mit bestimmten Amplituden (aber am Ende alles sauber normieren, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit Eins ergibt.).
Man kann es auch – etwas korrekter und kürzer – als Integral schreiben:
Der Zustand eines Quantenfeldes ist also immer noch eine doppelte Überlagerung: Es werden Wellenfunktionen zu jedem k-Wert überlagert, wobei jede dieser Wellenfunktionen ihrerseits eine Überlagerung von einfachen Zuständen ist. (Entweder – wie hier – Zustände mit definierter Teilchenzahl, oder aber, was auch geht, Zustände mit unterschiedlichem Wert von φ(k).)
Anschaulicher finde ich es allerdings, sich einfach die 3D-Bildchen zu nehmen und sich vorzustellen, wie das Ergebnis des ganzen aussieht, so wie ich es hier für ein paar Beispiele gezeigt habe.
Und diese komplizierte mehrfache Überlagerung von allen denkbaren Teilchenzuständen zu allen möglichen k-Werten kann jetzt jeden beliebigen Zustand unseres Quantenfelds beschreiben.
Zum Abschluss allerdings noch ein Wort der Warnung: In genau dieser Form gilt das hier nur für Teilchen, die keine Ladung tragen. Quantenfelder von Teilchen mit einer Ladung (sei es eine elektrische oder auch eine “schwache” Ladung wie bei einem Neutrino) können nicht in einem Überlagerungszustand mit unterschiedlicher Teilchenzahl existieren – das wäre auch problematisch wegen der Ladungserhaltung. Hier müssen Überlagerungen immer so sein, dass die Zahl der Teilchen festgelegt ist.
Expertenhinweis: Das impliziert auch, dass man niemals die Phase eines geladenen Teilchens messen kann – das ist die globale Eichsymmetrie, wenn ich mich nicht irre.
Zusätzlich habe ich hier alles – wie immer – für ein Teilchen ohne Spin erklärt. Einiges lässt sich, wie wir gesehen haben, auf Photonen übertragen, aber mit Photonen oder Elektronen, die ja auch einen Spin tragen, kommen hier noch ein paar Komplikationen hinzu. Am allgemeinen Prinzip des Zustands als komplizierter Überlagerung allerdings ändert sich nichts mehr. Insofern ist der Titel dieses Textes nur geringfügig übertrieben.
Auch hier gibt es übrigens wieder eine didaktische Katastrophe zu vermelden: Die meisten QFT-Bücher beschränken sich vollständig auf einfache Zustände der Art |1k⟩, |2k⟩, |3k⟩. Überlagerungszustände und ähnliches werden nahezu nie erwähnt, weil man mit ihnen nicht rechnen kann. Das macht es auch so schwer, eine Intuition zu bekommen, wie Quantenfelder funktionieren. (Rühmliche Ausnahme ist auch hier Bob Klauber.)
Und ja, ich geb’s zu: Die letzten Teile dieser Serie waren schon ziemlich heftig, und ob das “für alle” im Titel berechtigt ist, darf vermutlich bezweifelt werden. Anders als bei den anderen Teilen gab es hier allerdings auch keinerlei Hilfestellung durch irgendwelche Lehrbücher (von den Rechnungen bei Hatfield abgesehen), und ich habe versucht, euch auch ein bisschen teilhaben zu lassen, wie ich selbst mir mein Verständnis zusammengereimt habe. Trotzdem seid ihr natürlich – wie immer – eingeladen, in den Kommentaren zu nörgeln, wo etwas unklar oder sonst wie schlecht verständlich ist.
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