Die Physik ist ja voll von Gleichungen, wie man auch hier im Blog oft sehen kann, wo es ganze Serien über eine oder einige wenige Gleichungen gibt (klickt rechts bei “Artikelserien”). Leider ist es so, dass solche Gleichungen viele Leute abschrecken. Laut Stephen Hawkings Buch “Kurze Geschichte der Zeit” halbiert jede Gleichung in einem Buch die Verkaufszahlen. Dass das so ist, wurde mir neulich ganz drastisch bewusst, als ich diesen Kommentar las – es lesen also Leute selbst komplizierte Artikel auf meinem Blog, werden aber von Formeln abgeschreckt.
Dafür gibt es sicher viele Gründe. Das Hantieren mit Formeln muss man üben, damit es einem einigermaßen leicht fällt, und auch das Lesen und Interpretieren von Formeln ist nicht immer einfach. Und gerade in der Physik kommt noch etwas hinzu: Manchmal scheinen Formeln quasi “vom Himmel” zu fallen – es wird ein Problem diskutiert oder ein Versuch gemacht, und schwupps wird eine Formel aus dem Hut gezaubert. (So jedenfalls meine Erinnerung an den Physikunterricht in der Schule, und ein Blick in aktuelle Physikbücher zeigt, dass die zwar deutlich lesbarer sind als die, die wir damals hatten, dass aber auch manche Dinge sehr kurz abgehandelt werden.)
Vielleicht hilft es ja, wenn ich euch an einem einfachen Beispiel einmal zeige, dass ihr euch eine durchaus wichtige Gleichung der Physik selbst (naja, mit etwas Unterstützung von mir, aber ich hoffe, in diesem Text ist jeder einzelne Schritt halbwegs nachvollziehbar – falls nicht, bitte einen Kommentar hinterlassen) überlegen könnt, und wo da eigentlich die Fallstricke liegen.
Fangen wir mit einer Scherzfrage an: was ist schwerer, ein Kilo Federn oder ein Kilo Blei?
Im ersten Moment ist man sicher versucht, auf die Frage “Blei” zu antworten – wir alle wissen, dass Blei “schwerer” ist als Federn. Aber Moment – ein Kilo ist ein Kilo, und wenn man auf eine Balkenwaage links ein Kilo Blei und rechts ein Kilo Federn draufpackt, dann ist die Waage logischerweise im Gleichgewicht. Was meinen wir also genau, wenn wir sagen, Blei ist schwerer als Federn?
Irgendwie hängt das wohl von der Menge ab – ein Kilobarren Blei ist ziemlich klein und passt problemlos in eine Hand, während ein Kilo Federn ziemlich viel ist und vermutlich halbwegs ausreicht, um zumindest ein Daunenkissen zu füllen (kurze Internetrecherche – jawohl, ein großes 80×80 Zentimeter-Kissen, das ich im Angebot gefunden habe, ist mit 800 Gramm Daunen gefüllt, wir können es ja etwas dicker machen, dann passen noch ein paar mehr Federn rein.).
Das Ganze hat also etwas damit zu tun, wie viel eine bestimmte Menge eines Materials (Blei oder Federn) wiegt – der Kilobarren Blei ist wesentlich kleiner als das Kissen. Die Größe ist also wichtig. (Anmerkung: “Material” ist nur ein hochtrabendes Wort für “Stoff” – lasst euch nicht von solchen toll klingenden Begriffen abschrecken.)
Wir haben also herausgefunden, dass uns ein Material schwer vorkommt, wenn ein Objekt aus diesem Material mit einem bestimmten Gewicht (ein Kilogramm im Beispiel) klein ist, so wie unser Bleibarren, und leicht, wenn das Objekt eher groß ist (so wie das Daunenkissen). [1] Hinweis: An einigen Stellen vereinfache ich hier etwas, hier zum Beispiel bei meiner Verwendung der Begriffe “Gewicht” und “Masse”. Die Zahl in eckigen Klammern verweist auf eine Fußnote am Ende des Artikels.
Fragt sich nur: Was genau heißt groß? Ist ein 10 Meter langer dünner Draht aus Eisen größer oder kleiner als eine kleine Eisenkugel, die in eure Handfläche passt?
Was wir brauchen, ist eine Definition von “Größe”, die zu unserem Problem und zu dem, was wir schon wissen, passt.
Dazu jetzt machen wir einen kleinen gedanklichen Kniff (in meinen Augen ist der durchaus nicht so trivial, wie er immer dargestellt wird – in Schulbüchern oder entsprechenden Internetseiten wird darauf jedenfalls nicht eingegangen): Wir haben uns ja überlegt, dass die Größe eine Rolle spielt (wie auch immer wir Größe genau definieren, das müssen wir ja jetzt rausknobeln). Wir können also umgekehrt davon ausgehen, dass zwei Objekte aus dem selben Material (wie zum Beispiel Eisenkugel und Eisendraht) genau dann gleich groß sind, wenn sie gleich schwer sind.
Vermutlich habt ihr gerade nicht diverse Eisenkugeln oder Drähte zur Hand, an denen ihr das ausprobieren könnt. Macht nichts – wir können es an einem anderen Material ausprobieren. Gut geeignet ist Wasser. Wasser habt ihr vermutlich (in unterschiedlicher Form, wie Milch, Orangensaft, Mineralwasser) in eurer Küche. Ihr könnt jetzt unterschiedliche Behälter aus Wasser nehmen, die alle (das Gewicht der Flasche oder Packung ignorieren wir mal – Glasflaschen sind also ungeeignet) 1 Kilogramm wiegen.
Wenn ihr das tut, stellt ihr fest, dass zum Beispiel eine Milchpackung und eine Mineralwasserflasche ganz unterschiedliche Formen haben, aber trotzdem beide 1 Kilogramm wiegen. Was haben diese Behälter gemeinsam? Das steht auf der Packung: Ihr werdet auf allen die Angabe 1Liter finden.
Liter ist ein Volumenmaß – ein Würfel mit einer Kantenlänge von 10 Zentimetern hat genau ein Volumen von 1 Liter. Da aber Materialien ihr Volumen (normalerweise) nicht ändern, wenn man ihre Form ändert, kann auch eure Wasserflasche oder Milchpackung dasselbe Volumen haben. (Bei der ja quaderförmigen Milchpackung könnt ihr, wenn ihr Spaß am Rechnen habt, Länge mal Breite mal Höhe – in Zentimetern – messen und dann die drei Werte multiplizieren; es sollte etwa ein Wert von 1000 herauskommen, weil ein Liter 1000 Kubikzentimeter hat (nämlich 10*10*10) – wahrscheinlich etwas mehr, weil die Packung nicht ganz bis zum Rand gefüllt ist.)
Fazit: Für unsere Frage, wie schwer ein Material ist, müssen wir Objekte vergleichen, die das gleiche Volumen haben.
Aber Achtung: Nicht immer ist das Volumen die richtige Bezugsgröße. Wenn ihr zum Beispiel untersuchen wollt, ob ein Material ein guter elektrischer Leiter ist, dann reicht es nicht, zwei Objekte mit gleichem Volumen zu untersuchen – hier müssen die Objekte auch dieselbe Länge und denselben Querschnitt haben (wobei die Form des Querschnitts aber egal ist). Bei der Festigkeit eines Materials (wie stark kann ich daran ziehen, bevor es zerreißt) ist dagegen die Länge egal, es kommt nur auf den Querschnitt an. Warum das so ist, erkläre ich hier nicht ausführlich (das wären eigene Texte, die kommen vielleicht noch). Mir ist nur wichtig, darauf hinzuweisen, dass der Schritt “Wir betrachten das Volumen des Körpers” meist ganz kommentarlos in Schulbüchern etc. gemacht wird, obwohl er alles andere als selbstverständlich ist.
Dass das Volumen relevant ist, haben wir herausgefunden, indem wir unsere anfängliche Idee “wie schwer etwas ist, muss mit der Größe zu tun haben” quasi umgedreht haben und gesagt haben “Gut, wenn das so ist, dann definiere ich das Maß der Größe genau so, dass zwei Objekte aus demselben Material dieselbe Größe haben, wenn sie gleich schwer sind.” Das ist eine ganz typische Denkweise in der Physik: Wir haben – aus der Beobachtung – eine grobe Vorstellung davon abgeleitet, wie zwei Dinge zusammenhängen (wie “schwer” ein Material ist hängt von der “Größe” ab), und dann nutzen wir genau diese Vorstellung, um das ganze genauer zu fassen. Am Ende schauen wir dann, ob auf diese Weise tatsächlich etwas sinnvolles herauskommt.
Also: Wenn wir zwei Stoffe vergleichen wollen, um herauszufinden, welcher Stoff uns “schwerer” vorkommt, dann müssen wir von jedem Stoff das gleiche Volumen nehmen. Derjenige Stoff, der dann bei gleichem Volumen ein höheres Gewicht hat, ist “schwerer”.
Es wäre natürlich praktisch, wenn man eine Zahl hätte, die man direkt zwischen unterschiedlichen Stoffen vergleichen kann. Etwas ähnliches kennt ihr aus dem Alltag im Supermarkt: Wenn ihr Angebote unterschiedlicher Firmen vergleichen wollt, dann gibt es oft das Problem, dass ihr einmal z.B. eine 0,5-Liter-Flasche Limonade und einmal eine 0,3-Liter-Flasche habt. Um herauszufinden, welche Limo billiger ist, müsst ihr nur aufs Regal schauen, da steht nämlich der Preis pro Liter.Wenn die 0,5-Liter-Flasche 80 Cent kostet, dann sind das also 1,60Euro pro Liter (80 Cent geteilt durch 0,5 Liter), kostet die 0,3-Liter-Flasche 60 Cent, dann sind das 2 Euro pro Liter (60 Cent geteilt durch 0,3).
Was wir also brauchen, ist eine ähnliche Größe wie der Literpreis bei unserer Limo. Die Situation ist ganz ähnlich, nur dass wir jetzt nicht nach einem Preis fragen, sondern nach einer Masse. Statt einen Limo-Preis in Euro pro Liter auszurechnen, brauchen wir also eine Zahl, die die “Schwere” eines Stoffs kennzeichnet, die wir z.B. in Kilogramm pro Liter angeben können.
Ein Liter Wasser hat eine Masse von 1 Kilogramm, also ist unsere Zahl 1kg/Liter. Zwei Liter Wasser haben eine Masse von zwei Kilogramm, es kommt also wieder 2kg/2Liter=1kg/Liter heraus. Egal wie viel Wasser wir betrachten, wir bekommen immer den Wert von 1kg/Liter heraus. [2] Und weil das so ist, ist unsere Überlegung, die “Größe” eines Objekts über das Volumen zu bestimmen, im Nachhinein gerechtfertigt.
Insgesamt haben wir damit folgendes herausgefunden: Wie “schwer” uns ein Material vorkommt, hängt davon ab, welche Masse ein bestimmtes Volumen hat. Wir können für jedes Material eine Zahl ausrechnen, die angibt, wie viel Kilogramm Masse ein Liter des Materials hat.
Diese Zahl hat einen Namen: Man nennt sie die “Dichte” eines Materials [3]. Die Dichte eines Materials wird also definiert als die Masse pro Volumen (ganz analog zu unserer Limo, wo der Literpreis als Preis pro Volumen definiert war). Und jetzt können wir diese Erkenntnis als Formel schreiben (“Formel? Igitt”!):
Diese Formel sagt genau das aus, was wir uns gerade überlegt haben: Wir betrachten die Größe “Dichte”, und hier steht, wie man sie ausrechnet (ganz genau wie bei dem Liter-Preis für unsere Limonade): Nehmt ein Objekt aus einem Material und teilt seine Masse durch sein Volumen.
In den meisten Physikbüchern werdet ihr diese Formel aber nicht so finden. Physikerinnen* haben es oft mit ziemlich langen Formeln zu tun. Die werden schnell unübersichtlich, wenn man alle Größen mit ihrer vollen Bezeichnung reinschreibt (vor allem, weil diese Bezeichnungen manchmal ziemlich lang sein können, in der Materialwissenschaft beispielsweise tauchen in unseren Formeln Größen mit so schönen Namen wie “kritischer Spannungsintensitätsfaktor” auf). Deswegen hat man sich angewöhnt, alle auftauchenden Größen mit Buchstaben abzukürzen. Für die Masse nimmt man meist ein kleines 
*Ja, ich verwende grundsätzlich weibliche Formen, ich hoffe, das stört niemanden. Männer sind na klar auch immer mitgemeint.
Weil es nicht genug Zeichen im Alphabet gibt, hat man irgendwann beschlossen, auch noch griechische Buchstaben zu verwenden. Die Dichte bekommt das Symbol 
Wenn ihr nochmal die Überlegungen nachvollzieht, dann seht ihr, dass diese Formel nichts anderes ist als eine sehr kompakte Schreibweise für das, was wir uns überlegt haben: Die Dichte ist gleich Masse pro Volumen, oder in Formelzeichen gesprochen “rho ist m durch V”. [4]
Aber Achtung: In vielen Büchern steht, dass das hier die “Definition der Dichte” ist. Das ist natürlich auch richtig. Aber mit Definitionen in der Physik (und auch in der Mathematik) ist das so eine Sache – eine Definition ist ja eigentlich einfach nur eine Festlegung, quasi die Einführung eines neuen Begriffs. Wenn man einfach nur sagt “Die Dichte eines Materials ist definiert als Masse pro Volumen”, dann ist das zwar richtig, unterschlägt aber den entscheidenden Punkt: Diese Definition ist auch sinnvoll.
Rein als Definition könnte ich genau so gut die “Lichte” eines Objekts definieren: “Die Lichte ist definiert als Masse pro Länge”. Nach unseren Überlegungen sehen wir aber, dass das keine besonders sinnvolle Aussage ist – ein Eisendraht und eine Eisenkugel hätten ganz unterschiedliche Werte der “Lichte”, obwohl sie aus demselben Material sind. Es gibt (soweit ich sehe) keine physikalische Fragestellung, bei der die “Lichte” irgendwie relevant wäre – deshalb ist die Definition zwar möglich, aber nicht sinnvoll.
Die Dichte ist eine Größe, die wir deshalb so definieren, wie wir es tun, weil sie es erlaubt, eine bestimmte physikalische Fragestellung sauber zu beantworten – nämlich genau unsere Frage vom Anfang: “Was bedeutet es eigentlich, dass ein Material ‘schwerer’ ist als ein anderes?” Wir haben uns ausführlich überlegt, dass die Dichte erlaubt, diese Frage zu beantworten: Das Material mit der höheren Dichte kommt uns “schwerer” vor.
Wasser hat eine Dichte von 1kg/Liter, Blei hat eine Dichte von mehr als 11kg/Liter. Die Dichte von Blei ist höher als die von Wasser, also ist Blei “schwerer”.
Und wenn wir unsere Definition ernst nehmen, dann können wir sie sogar verwenden, um Materialien zu vergleichen, bei denen wir im Alltag kaum einen Unterschied in der Dichte bemerken: Salzwasser beispielsweise hat eine etwas höhere Dichte als Süßwasser. Der Unterschied ist klein, so dass wir ihn nicht bemerken würden, wenn wir einen Liter Süßwasser und einen Liter Salzwasser in die Hand nehmen. Wen wir aber Masse und Volumen genau messen, dann können wir die Dichte bestimmen. Dann würden wir feststellen, dass die Dichte um etwa 3% größer ist als die von Süßwasser. (Merken kann man das allerdings beim Schwimmen – Salzwasser “trägt” besser als Süßwasser, weil seine Dichte größer ist.)
Auch das ist wieder etwas ganz Typisches in der Physik: Wir fangen mit einer groben Idee an (unterschiedliche Stoffe sind unterschiedlich schwer), überlegen uns dann genau, was wir eigentlich zu beschreiben versuchen (es kommt auf die Masse pro Volumen an) und verwenden das Ergebnis dann auch da, wo wir nach unserer ursprünglichen Idee keinen Unterschied bemerkt hätten. Unsere Ideen sauber in Formeln zu fassen und damit Zahlen auszurechnen, erlaubt uns also, sie in Bereichen anzuwenden, wo die ursprüngliche Anfangsidee zu unscharf gewesen wäre, als dass wir etwas damit hätten anfangen können.
Und genau das ist der Grund, warum Formeln in der Physik überall auftauchen. Formeln sind zusammengefasste Überlegungen und Beobachtungen – ein langer Blogtext kann am Ende in einer einzigen Formel konzentriert werden.
Ein paar Nachbemerkungen für ganz Genaue
[1] Ich verwende hier Alltagssprache, in der man sagt “das Fahrrad wiegt 15 Kilogramm”. In der Physik trennt man zwischen Masse (gemessen in Kilogramm) und Gewicht (sollte man in Newton messen). Das Gewicht ist eine Kraft – wenn ihr auf dem Mond rumlauft, ist euer Gewicht geringer, eure Masse aber nicht. Das im Einzelnen auseinanderzudröseln wäre aber einen eigenen Blogtext wert. Solange wir auf der Erde sind, spielt diese Unterscheidung keine so große Rolle. Ich hoffe, alle Physiklehrerinnen, die diesen Text lesen, verzeihen mir…
[2] Oft verwendet man die Einheit Gramm pro Kubikzentimeter. Da Ein Kilogramm 1000 Gramm hat und ein Liter 1000 Kubikzentimerer. ist 1g/cm³=1kg/l.
[3] Ob der Begriff “Dichte” gut gewählt ist, darüber kann man streiten. Alle Materie besteht aus Atomen. Es ist aber nicht so, dass die in einem Material mit sehr hoher Dichte unbedingt wesentlich dichter gepackt sind, weil unterschiedliche Atomsorten unterschiedlich viel Masse haben (ein Uranatom ist viel schwerer als zum Beispiel ein Aluminium-Atom). Wenn man aber auch noch in die Atome reinguckt, dann kommt deren Masse nahezu ausschließlich durch die Atomkerne zu Stande – und die wiederum bestehen aus Bausteinen, den Protonen und Neutronen, die alle etwa gleich schwer sind. Insofern hängt die Dichte direkt mit der Anzahl an Kern-Bausteinen pro Volumen zusammen. Insofern ist der Name dann doch wieder nicht so schlecht.
[4] Streng genommen ist die Dichte nicht unbedingt für jedes Material konstant. Die meisten Materialien dehnen sich ja aus, wenn sie sich erwärmen – man muss also eigentlich immer angeben, bei welcher Temperatur die Dichte gemessen wird. Auch der Druck hat einen Einfluss auf die Dichte – wenn man Materialien sehr stark zusammenquetscht, nimmt ihre Dichte zu. Bei Festkörpern und den meisten Flüssigkeiten ist dieser Effekt aber klein. Anders ist es bei Gasen: Die dehnen sich ja immer soweit aus, wie der Behälter, in dem sie sind, es zulässt. Die Dichte von Gasen anzugeben ist nur sinnvoll, wenn wir auch sagen, bei welchem Druck wir das tun.
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