Von Einstein zu Newton: I Felder und Raumzeitkrümmung

Wenn Dinge zur Erde fallen oder Planeten um ihre Sonne kreisen, dann ist die Schwerkraft am Werk. Jedenfalls in der klassischen Physik nach Newton. In der Allgemeinen Relativitätstheorie dagegen spricht man nicht von Schwerkraft, sondern von der gekrümmten Raumzeit. Darstellungen dazu, wie Einstein auf die ART kam und welche neuen Effekte sich da ergeben (Gravitationswellen, Ausdehnung des Alls, Schwarze Löcher) gibt es ja ziemlich viele. Aber wie geht eigentlich der Schritt zurück? Im Alltag können wir ja nach wie vor die Newtonsche Physik nutzen und ganz normal von Schwerkraft sprechen? Wie steckt die Newtonsche Theorie in der ART drin? Soweit ich sehe, wird dieser umgekehrte Schritt in den meisten populärwissenschaftlichen Darstellungen nicht erklärt (in den Fachbüchern dagegen schon). Das ist insofern schade, weil man daran eigentlich ganz gut sehen kann, wie die ART funktioniert. Heute machen wir also genau diesen Schritt zurück von Einstein zu Newton.

In der Newtonschen Physik gibt es zwei Gesetze, die wir brauchen, um die Bewegung von Teilchen in einem Schwerefeld (z.B. fallenden Steinen oder Planeten, die sich um die Sonne bewegen) zu beschreiben. Das eine ist das Gravitationsgesetz, das uns sagt, welche Kraft zwischen zwei Körpern wirkt (wir können auch sagen, welches Schwerefeld ein Körper erzeugt), das andere ist das zweite Newtonsche Gesetz, das uns sagt, wie die Bewegung der Körper durch diese Kraft beeinflusst wird, nämlich durch eine Änderung der Geschwindigkeit.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es auch zwei Aspekte, die zusammen regeln, wie sich Teilchen bewegen. In den Worten von Wheeler: “Matter tells spacetime how to curve, spacetime tells matter how to move” [Die Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll, die Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll]. Für den ersten Teil des Satzes sind die Einsteinschen Feldgleichungen zuständig – die sagen vorher, wie sich die Raumzeit krümmt, wenn Materie vorhanden ist. Den zweiten Teil des Satzes regelt das sogenannte Äquivalenzprinzip. Zunächst mal sagt das, dass träge und schwere Masse dasselbe sind und sein müssen – solange keine anderen Kräfte wirken, sind Körper im freien Fall. In ungekrümmter Raumzeit (also ohne Gravitationsfelder) bewegen sie sich dann auf geraden Bahnen mit konstanter Geschwindigkeit, in gekrümmter Raumzeit bewegen sie sich auf den “geradesten” Bahnen, die möglich sind (das diskutieren wir dann später im Detail).

Aber wenn man die beiden Beschreibungen liest, dann merkt man schon, dass sie vollkommen andere Konzepte benutzen – wieso kommt am Ende trotzdem auch in der ART das ganz klassische Verhalten nach Newton heraus, wenn wir nicht gerade Neutronensterne und Schwarze Löcher betrachten?

Wichtiger Hinweis: Ich vereinfache hier die ART so weit, dass sie tatsächlich zur Newtonschen Theorie identische Vorhersagen macht – wir betrachten (das sehen wir gleich im Detail) den Grenzfall sehr kleiner Geschwindigkeiten und sehr schwacher Gravitationsfelder. Im Sonnensystem ist diese Näherung ziemlich gut, aber nicht perfekt – die berühmte Periheldrehung des Merkur ist ja genau das: eine Abweichung von der Newtonschen Theorie. Deshalb geht’s um die hier in diesem Text nicht.

In beiden Beschreibungen – so unterschiedlich sie auch sein mögen – gibt es zwei Teile: Der eine sagt, wie die Materie etwas bewirkt (Newton: “Materie erzeugt Felder”, Einstein: “Materie krümmt die Raumzeit”), der zweite Teil sagt, wie sich die Materie bewegt (Newton: “Kräfte verursachen Beschleunigungen”, Einstein: “Objekte bewegen sich auf möglichst geraden Bahnen durch die Raumzeit”). Also gucken wir uns jetzt im einzelnen an, wie diese beiden Teile jeweils zusammenhängen. Und wie auf diesem Blog üblich tue ich das in zwei Teilen; heute geht es also darum, wie Materie Kräfte erzeugt bzw. die Raumzeit krümmt.

Newton

Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich Massen ja an, und zwar mit einer Kraft

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Das habe ich ja gerade erst ausführlich erklärt, falls euch diese Gleichung also einen Schreck einjagt – einfach dem Link folgen. (Dort hatte ich die Massen mit Indices versehen, heute ist es praktischer, die eine (große) Masse mit M und die andere (kleine) mit m zu bezeichnen.

Auf der Erdoberfläche führt diese Kraft ja dazu, dass alle Objekte herunterfallen, und zwar (von Dingen wie Luftwiderstand mal abgesehen) alle gleich schnell. Insofern ist es eigentlich praktisch, den zweiten Körper aus der Betrachtung herausfallen zu lassen. Man definiert dann das Schwerefeld der Erde einfach als die Beschleunigung, die ein Objekt durch die Schwerkraft der Erde erfährt, also

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Dabei habe ich die Masse der Erde jetzt M genannt. S ist das Schwerefeld. An der Erdoberfläche ergibt sich für S gerade der Wert 9,81m/s², also genau die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche.

Für die Verbindung mit der Einsteinschen ART ist es nützlich, auch die Energie eines Teilchens im Schwerefeld zu betrachten, das so genannte Potential. Stellt euch vor, ihr habt ein Teilchen mit Masse m, das (fast) unendlich weit von der (viel größeren) Erde (Masse M) entfernt ist und lasst es los. Das Teilchen fällt auf die Erde zu und gewinnt dabei an Bewegungsenergie. Wo kommt die her? Die kommt gerade aus der Anziehungskraft, das Teilchen verliert also an Energie im Schwerefeld. (Oder anders ausgedrückt: das Schwerefeld leistet Arbeit an der Masse.) Man kann diese Energie im Schwerefeld berechnen – sie ist negativ, weil das Teilchen ja Energie verliert (und wir annehmen, dass es am Anfang genau Energie Null hatte). Heraus kommt

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Weil die Kraft auf das Teilchen proportional zu seiner Masse ist, gilt das auch für seine Energie. Wir können deshalb wie eben beim Schwerefeld die Größe unserer kleinen Masse ignorieren und eine Funktion definieren, die nur unsere große Masse M enthält:

Die Größe φ (das griechische “phi” ) nennt man auch das Gravitationspotential.

Einstein

In der ART gibt es keine Gravitationskraft – oder anders gesagt, man kann das, was sich in der Newtonschen Physik als Gravitationskraft äußert, als einen Effekt der Raumzeitkrümmung interpretieren. Wie Materie die Raumzeit krümmt, regeln die Einsteinschen Feldgleichungen. Die sehen ziemlich harmlos aus, nämlich so (ich ignoriere hier die berühmte “kosmologische Konstante”, die die beschleunigte Expansion des Universums regelt, die gibt es in der Newtonschen Physik ja nicht und sie spielt auch eh keine Rolle im Sonnensystem ):

G = 8π G T/c⁴

Die linke Seite, das G, ist dabei ein Ausdruck, der die Raumzeitkrümmung beschreibt (und dessen mathematische Definition ziemlich fies ist, weiter unten gibt es mehr dazu…). Die rechte Seite enthält zunächst mal ein paar Konstanten – neben dem 8π ist das die Gravitationskonstante G (die gibt’s ja auch im Newton-Gesetz) und die Lichtgeschwindigkeit c. (Bitte nicht verwirrt sein, das fettgedruckte G hat mit dem normal gedruckten G nichts zu tun. Stört normalerweise niemanden, weil man in den Rechnungen eh meist ein finsteres Einheitensystem nimmt, bei dem G=1 ist – hatte ich hier auch erst, aber beim nochmal durchgucken dachte ich, mit Naturkonstanten ist es doch schöner.) Und dann steht da der so genannte Energie-Impuls-Tensor T. Das ist ähnlich wie G eine komplizierte Größe, in ihr steckt die Masse (bzw. Energie, nach E=mc²) an jedem Raumpunkt. Zusätzlich stecken auch noch die “Impulsströme” drin – wenn sich Materie bewegt, hat das einen Einfluss auf die Raumzeitkrümmung. (Das ist ein bisschen ähnlich wie in der Elektrodynamik, wo bewegte elektrische Ladungen für Magnetfelder sorgen.) Außerdem enthält der Energie-Impuls-Tensor auch noch die Spannung innerhalb der Materie – wenn ihr eine Feder dehnt oder staucht, herrscht in der Feder eine Spannung, und die hat einen Einfluss auf die Raumzeitkrümmung – bei normalen Federn ist der allerdings unglaublich mini-winzig und kann getrost vernachlässigt werden. Leute die z.B. Neutronensterne berechnen, müssen den Term aber soweit ich weiß berücksichtigen.

Falls ihr wissen wollt, wie der EIT aussieht, hier ein Bild von der englischen Wikipedia, das die Komponenten erklärt. Könnt ihr aber getrost ignorieren, ich diskutiere die eh fast alle weg, bis nur noch einer übrig bleibt:

By Maschen, based on File:StressEnergyTensor.svg created by Bamse – Own work, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=24940142

Ihr merkt schon, hier wimmelt es von fiesester Mathematik und alle möglichen Effekte stecken in der Feldgleichung drin.

Aber wir wollen ja nur die Newtonsche Physik der Gravitation wiederentdecken. Damit können wir eine Menge vereinfachen. Im Energie-Impuls-Tensor spielen all die Anteile, in denen die Spannung steckt, überhaupt keine Rolle. Das liegt schlicht daran, dass die Energien klein sind gegen die Ruheenergie der Masse. Nehmen wir beispielsweise an, ihr nehmt einen Kubikmeter Stahl und quetscht ihn elastisch zusammen, so stark, dass er sich plastisch verformen würde, wenn ihr ihn noch stärker quetschen würdet. Die durch die Spannung gespeicherte Energie ist dann etwa eine Billiarde mal kleiner als die Energie der Masse nach E=mc².

[Kleine Rechnung dazu, könnt ihr auch ignorieren: Die Fließgrenze sei 500MPa, was für nen Stahl ein brauchbarer Wert ist. Die gespeicherte Energie ist dann (1/2)σ²/E, wobei das σ die Spannung ist und das E der Elastizitätsmodul (200GPa für Stahl). Das macht eine Energie von 625000J pro Kubikmeter, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Die Energie, die der Stahlwürfel durch seine Masse hat, beträgt allerdings 7.2 ⋅10²⁰ J (also 720000000000000000000J).]

Auch die ganzen Impulsströme können uns egal sein – so lange die Geschwindigkeiten klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit (und das sind sie im Sonnensystem ja) spielen sie keine Rolle.

Auf der rechten Seite der Einstein-Gleichung ist also nur der Teil relevant, der direkt die Masse (oder die Energie mc²) enthält. Hat man einen ausgedehnten Körper, kann man stattdessen auch die Dichte betrachten. (Wie die Terme rechts mathematisch genau aussehen, dazu sage ich hier nichts – wer hinreichend Mathematik kann, kann das in so ziemlich jedem Buch zur ART nachlesen, wer nicht so Mathe-begeistert ist, wird durch die ganzen Terme und so Dinge wie Tensor-Indices nur abgeschreckt. Hier geht’s ums Prinzip, nicht ums herleiten. Falls ihr ne Herleitung braucht – das Buch von Misner Thorne Wheeler zeigt das in Kap. 17.4 und 18 einigermaßen ausführlich, wenn auch in einer etwas anderen logischen Reihenfolge, weil dort umgekehrt die bekannte Newtonsche Physik verwendet wird, um die Konstanten in der Einstein-Gleichung festzunageln.)

Die linke Seite der Gleichung sagt etwas über die Raumkrümmung. Das G ist der Einstein-Tensor, und dessen mathematische Struktur ist auch nicht gerade Mathe-Stoff in der Grundschule, um es vorsichtig auszudrücken. Der Einstein-Tensor enthält unter anderem “nicht-lineare” Terme, das sind solche, bei denen die Raumzeitkrümmung auf sich selbst zurückwirkt, und auch solche Terme, bei denen sich Krümmungen der Raumzeit selbst im Raum ausbreiten können (so wie bei Gravitationswellen). Das sind alles coole und abgefahrene Effekte, aber mit der Newtonschen Physik haben sie nichts zu tun.

Sind die Krümmungen in der Raumzeit klein, dann kann man die sogenannte “linearisierte Theorie” verwenden – dabei wird angenommen, dass die Raumzeit nahezu flach ist und dass die Abweichungen von einer flachen Raumzeit sehr klein sind. Wir können dann – insbesondere, wenn wir einzelne Objekte angucken, die sich im Schwerefeld eines viel schwereren Körpers bewegen, so wie die Erde in dem der Sonne oder ein Satellit auf der Bahn um die Erde – die räumliche und die zeitliche Komponente der Raumzeitkrümmung getrennt voneinander betrachten. (Hinweis: Das geht natürlich nur im geeigneten Bezugssystem; wen ihr euch nahezu lichtschnel bewegt, dann sorgt die Spezielle Relativitätstheorie dafür, dass sich Raum- und Zeit-Verzerrung vermischen. Ist uns aber hier egal, wir machen Newtonsche Physik, sind langsam relativ zur Sonne, alle Geschwindigkeiten sind klein und solche Effekte spielen keine Rolle.)

Die zeitliche Komponente der Raumzeitkrümmung ist nichts anderes als die berühmte Zeitdilatation. Nicht die aus der speziellen Relativitätstheorie (bei der Uhren in schnell bewegten Objekten von außen betrachtet langsamer erscheinen), sondern die der ART. Wenn ihr euch in der Nähe einer Masse befindet (in der Sprache der klassischen Physik “in einem Schwerefeld”), dann geht eure Uhr langsamer als für jemanden im freien Weltall. Der Effekt ist klein, ist aber inzwischen gut nachgewiesen worden.

Die räumliche Komponente der Raumzeitkrümmung äußert sich ähnlich wie die Krümmung auf der Erdoberfläche: Wenn ihr in der Nähe einer Masse ein Dreieck malt, dann ist die Winkelsumme nicht exakt 180° (ist sie auf der Erdoberfläche auch nicht – ihr könnt ein Dreieck vom Norpol zu zwei Punkten auf dem Äquator malen, das drei rechte Winkel hat), wenn ihr einen Kreis malt, dann ist das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang nicht gleich der Kreiszahl π, sondern etwas größer. Diese Effekte habe ich in meiner alten Serie zur Raumzeitkrümmung ausführlich abgehandelt; da wir im zweiten Teil ohnehin sehen werden, dass die Raumkrümmung für die Bewegung von Teilchen im Schwerefeld (in der Newtonschen Näherung) keine Rolle spielt, gehe ich darauf nicht weiter ein.

So, jetzt aber mal ein bisschen mehr auf den Punkt – wie groß ist denn nun der Effekt einer Masse auf die Zeitdilatation und die Raumverzerrung?

Das lässt sich mit der Einsteinschen Feldgleichung ausrechnen. Heraus kommt, dass die Zeit im Abstand R von einer Masse M um den folgenden Faktor verlangsamt ist:

Vergleicht das mit der Formel für das Gravitationspotential oben – ihr seht, dass da zumindest derselbe Ausdruck drinsteht, nur mit einem zusätzlichen Faktor 2/c² versehen.

Die Formel für die Verzerrung des räumlichen Maßstabs ist (bis auf ein Vorzeichen) ähnlich, ich schreibe sie aber nicht extra hin, weil sie nachher eh keine Rolle spielt.

Immerhin: auch wenn wir zwei ganz unterschiedliche Größen betrachtet haben (einmal eine potentielle Energie im Schwerefeld, einmal eine Zeitdilatation), tauchen zumindest dieselben Größen in beiden Theorien auf, sowohl bei Newton als auch bei Einstein. Aber ansonsten haben die beiden Theorien scheinbar wenig miteinander zu tun. Wie wirkt sich die Zeitdilatation auf die Bewegung eines Teilchens aus und führt am Ende dazu, dass sich das Teilchen so bewegt, als würde eine Kraft wirken? Klingt doch ziemlich unglaublich – die Zeit vergeht einen Meter über dem Erdboden eine unglaubliche Winzigkeit schneller als direkt am Erdboden, und das soll dazu führen, dass ein Stein, den ihr werft, auf einer schönen Parabelbahn fliegt?

Dass das tatsächlich funktioniert, schauen wir uns im zweiten Teil an (auf den müsst ihr aber noch etwas warten…).

Quellenangaben:

Neben dem Buch von Misner, Thorne, Wheeler habe ich noch diese Lecture notes verwendet, die sind kurz, aber auf den Punkt, und insbesondere stehen alle Naturkonstanten drin…